第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第13章整合拔尖 知识体系构建 三角形，概念、基本要素与表示 不等边三角形 按边分类 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 三角形的分类 等边三角形 锐角三角形 求三角形的边长时，要判 三角形中的 按角分类 直角三角形 断能否组成三角形 边角关系 钝角三角形 边：任何两边的差<第三边<任何两边的和 三 三角形中的边角关系 角：三角形的内角和等于180 角形中的边角关系、命题与证明 角平分线 三角形中的三条重要线段 中线→重心 都是线段“ 高线 结构：条件（题设）+结论（题断） 命题 真命题：基本事实、定义、定理及其推论 分类 假命题：举反例说明 原命题：如果p,那么q 互逆命题 命题 逆命题：如果q,那么p 与证明 证明：演绎推理的过程（有理有据） 证明的步骤 证明 推论1：直角三角形的两锐角互余 三角形内角和 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形 定理的推论 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 9]高频考点突破 考点一三角形的三边关系 [变式](2024·六安霍邱期末)以下列长度的各 典例1一个等腰三角形的周长为18cm. 组线段为边，能组成三角形的是 () (1)已知腰长是底边长的2倍，求三边长. A.4 cm,1 cm,2 cm B.6 cm,8 cm,4 cm (2)已知其中一边长为4cm,求另两边长， C.5 cm,12 cm,6 cm D.3 cm,5 cm,2 cm 、考点二三角形中的三条重要线段 典例2如图，AD为△ABC的中线，BE为 △ABD的中线， 56 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 (1)在△BED中作边BD上的高EF. [变式]如图，ABCD,直线EF分别交AB,CD (2)若△ABC的面积为60，BD=5,求EF 于点E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分 的长 线相交于点P.求证：△EPF是直角三角形 D (典例2图) [变式](2024·合肥期末)如图，AD,BE分别 考点四三角形的内角和定理及其推论 是△ABC的高、中线，若SA4BE=8,BC=8,则 典例4新考法·新定义题我们将内角互为对顶 AD的长为 () 角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如：在图 ①中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角 ∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对 顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角 A.2 B.4 C.6 D.8 形”有如下性质：∠A十∠B=∠C+∠D, 考点三命题与证明 (1)如图①，在“对顶三角形”△AOB与△COD 典例3如图，现有以下3个论断：①BDEC; 中，∠AOB=70°，则∠C+∠D= ②∠D=∠C;③∠A=∠F (2)如图②，在△ABC中，AD,BE分别平分 (1)请以其中两个为条件，另一个为结论构造命 ∠BAC和∠ABC,若∠C=60°，∠ADE比 题，你能构造哪几个命题？ ∠BED大6°，求∠BED的度数. (2)你构造的命题是真命题还是假命题？请说 明理由。 ① G (典例4图) B (典例3图) 57 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 [变式]“8字”的性质及应用： (2)如图②，以图中给的字母为顶点的“8字”有 (1)如图①，AD,BC相交于点O,得到一个“8 多少个？ 字”ABCD,求证：∠A十∠B=∠C十∠D, (3)如图②，若BE,DE分别平分∠ABC和 7B ∠ADC,利用(1)中的结论，试说明∠E= 0 2(∠A+∠C). ① ① 综合素能提升 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E为AC上 度数为 的两点，且AE=DE,BD平分∠EBC.下列 A.104°B.128° C.138°D.156 说法中，不一定正确的是 D 3 A.BC是△ABE的高 A -B B.BE是△ABD的中线 COD C.BD是△EBC的角平分线 D (第4题) (第5题) B D.∠ABE=∠EBD=∠DBC 5.如图，将△ABC沿DE,HG,EF分别翻折， (第1题) 2.(2024·淮南凤台期末)已知三角形两边的长 三个顶点均落在点O处，且EA与EB翻折 后重合于线段EO.若∠DOH=78°，则 分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是 ∠FOG的度数为 () A.78°B.102°C.112°D.120° A.1 B.2 C.8 D.11 6.如图，∠MON=90°，点A,B分别在射线 3.下列命题中，属于真命题的是 OM,ON上运动，BE平分∠NBA,BE的反 A.相等的角是对顶角 向延长线与∠BAO的平分线交于点C,则 B.若a十b=0,则|a=|b ∠ACB的度数是 0 C.同角的余角互余 D.负数没有立方根 C 4.如图所示为一款手推车的简易平面示意图， M 其中AB∥CD,∠1=24°，∠2=76°，则∠3的 (第6题) 58 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在9.如图，AD是△ABC的角平分线，M AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在边 是射线AD上一点，MN⊥BC于点 AC上的点B'处.若∠ADB′=20°，则 N,∠B=a,∠C=B,且a>B. ∠A= (1)如图①，当点M与点A重合，a=50°， 3=30时，求∠DMN的度数 (2)如图②，当点M在线段AD上（不与A, B----D (第7题) D两点重合)时，求证：∠DMN-a-A. 8.(2024·合肥期中)探究下列问题： A(M) (1)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整 数，且满足a2+b2-8a-12b+52=0,求 ND B ND △ABC的最长的边长c的值， (2)已知a2+2b2-2ab+4b+4=0,求ab (第9题) 的值 59∴.∠AEC=∠BDC=90°.∴.∠A+ ∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD= 90°.，∠ACE=∠HCD, ∴.∠BHC=∠A=45.综上所述， ∠BHC的度数是135或45. ① D H ② (第7题) 8.48解析：由题意，得∠ABA,= ∠A1BC,∠ACA1=∠A1CD, '∠ABC+∠A=∠ACD, ∠A,BC+∠A,=∠A,CD= 合∠AD2ZA,度+2∠A, 2∠A1CD=∠ACD.∴.2∠A,BC+ 2∠A1=∠ABC+∠A=∠ACD. ∴.2∠A1=∠A.同理，可得2∠A2= ∠A1·∴.4∠A2=2∠A,=∠A. ∠A2,∠A,∠A的度数和为84， .∠A+∠A,+∠A2=4∠A2+ 2∠A2+∠A2=84..∠A2=12. ∴.∠A=4∠A2=4X12°=48. 9.(1)CD是△ABC的高， ∴.∠CDB=90. ∠ABC=64°，BE是△ABC的角 平分线， ·∠ABE=7∠ABC=X 1 64°=32°」 ∴.∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+ 32°=122 (2)∠A=80, ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 180°-80°=100° :BE,CD是△ABC的角平分线， 1 ·∠OBC=2∠ABC,∠OCB= 2∠ACB. ·∠OBC+∠OCB=号（∠ABC+ ∠ACB)-2X10=0 ∴.∠BOC=180°-（∠OBC+ ∠OCB)=180°-50°=130° 10.C 11.A解析：延长DC交AE于点 F.AB∥CD,∠BAE=92, ∴.∠EFC=∠BAE=92°， :∠DCE=∠EFC+∠E=115, .∴.∠E=∠DCE-∠EFC=115° 92°=23° 方法归纳 添加辅助线化分散为集中 当利用题目中的已知条件和 已有的图形不能解决问题时，往往 需要考虑添加辅助线，将不相关、 分散的条件进行转移与转化，构造 出一些基本的几何图形，搭建已知 和未知之间的桥梁 12.∠A=60°，∠F=45,∠B= ∠D=90° .∠C=90°-∠A=90°-60°=30， ∠DEF=90°-∠F=90°-45°=45. DE⊥BC, ∴.∠CED=90° ∴.∠CEH=∠CED+∠DEF= 90°+45°=135°. 在△CEH中，∠C=30°，∠CEH= 135°， ∴.∠CHE=180°-∠C-∠CEH= 180°-30°-135°=15. 13.A解析：如图，设DA'交AC于 点F.由折叠的性质，得∠A=∠A' ,∠BDA'=∠A+∠AFD, ∠AFD=∠A'+∠CEA', ∴.∠BDA'=∠A+∠A'+∠CEA. ∠A=a,∠CEA'=B,∠BDA'= y,∴.y=a+a+3=2a+3. A E D形F B (第13题) 14.(1)60 (2)3=2a解析：如图，连接AA'.由 折叠可知，∠BAC=∠DA'E=a, :∠1=∠DAA'+∠AA'D,∠2 ∠EAA'+∠AA'E,∴.∠1+∠2= 20 ∠DAA'+∠EAA'+∠DA'A+ ∠EA'A=∠BAC+∠DA'E= 2∠BAC=2a,即3=2a. B D A (第14题) 第13章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)设底边长为acm,则腰 长为2acm. ,这个等腰三角形的周长为18cm, 2u+2a十a=18,解得a=18 5 2a-05 三边长是9cm,的cm9cm (2)当4cm为腰长时，设底边长为 x cm. .4+4十x=18,解得x=10,此时， 三边长是4cm,4cm,10cm,不符合三 角形的三边关系，不能组成三角形. 当4cm为底边长时，设腰长为ycm. ∴.y十4+y=18,解得y=7,此时，三 边长是7cm,7cm,4cm,符合三角形 的三边关系. 综上所述，另两边长是7cm,7cm. [变式]B 典例2(1)如图，EF即为所求作. (2)AD为△ABC的中线，BE为 △ABD的中线， 1 .SaA=ZSAC,S△BE= 2S△Am. 1 ·SAmE=4S△ANc· '△ABC的面积为60，BD=5, x5EP=1×0 ∴.EF=6. B (典例2图)》 [变式]B 典例3(1)①由BD∥EC,∠D= ∠C,得到∠A=∠F! ②由BD∥EC,∠A=∠F,得到 ∠D=∠C. ③由∠A=∠F,∠D=∠C,得到 BD//EC. (2)①“由BDEC,∠D=∠C,得到 ∠A=∠F”是真命题. 理由：，BDEC, .∠ABD=∠C ,∠D=∠C, .∠ABD=∠D. .AC∥DF. .∠A=∠F ②“由BD∥EC,∠A=∠F,得到 ∠D=∠C”是真命题. 理由：BD∥EC, ∴.∠ABD=∠C. ,∠A=∠F, ∴.ACDF. .∠D=∠ABD ∴.∠D=∠C ③“由∠A=∠F,∠D=∠C,得到 BDEC”是真命题： 理由：∠A=∠F, .AC∥DF ∴.∠D=∠ABD. ∠D=∠C, ∴.∠ABD=∠C. .BD//EC. [变式]：ABCD, .∠BEF+∠DFE=180 又EP,FP分别平分∠BEF, ∠DFE, .∠PEF= Z∠BEF,∠PFE= ∠DFE 1 .∠PEF+∠PFE= -(∠BEF+ ∠DFE)=×180=90 .∠P=90°. ∴.△EPF是直角三角形 典例4(1)110. (2)如图，AD,BE分别平分 ∠BAC和∠ABC, .∠1=∠2，∠3=∠4 又∠C=60, ∴.∠BAC+∠ABC=180°-∠C= 180°-60°=120 ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=120. .2∠1+2∠3=120° .∠1+∠3=60°. 由图，知△ABF与△DEF为“对顶三 角形”， ∴.∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60 ①. 又：'∠ADE比∠BED大6， ∴.∠ADE-∠BED=6②. 联立①②，得 (∠ADE+∠BED=60°， ∠ADE-∠BED=6°， 解得 ∠ADE=33°， ∠BED=27. ∴.∠BED=27. B (典例4图) [变式](1)：∠A+∠B+ ∠AOB=180°，∠C+∠D+ ∠COD=180°，∠AOB=∠COD, ∴.∠A+∠B=∠C+∠D. (2)图②中有ABCD,BEDC,ABED 共计3个“8字” (3),BE平分∠ABC,DE平分 ∠ADC, ·.∠ABE=∠CBE=7∠ABC, ∠CDE=∠ADE=S∠ADC. :∠A+∠ABE=∠E+∠ADE, ∠C+∠CDE=∠E+∠CBE, :∠E=(ZA+∠C. [综合素能提升] 1.D2.C3.B4.B5.B 6.45 7.35°解析：∠ACB=90°， .∠A十∠B=90°.由折叠的性质， 得∠CB'D=∠B.:∠CB'D= ∠A+∠ADB'=∠A+20, ∴.∠B=∠A+20.∴.∠A+∠A+ 20°=90°..∠A=35. 8.(1)a2+b2-8a-12b+52=0, .a2-8a+16+b2-12b+36=0. ∴.(a-4)2+(b-6)2=0. .(a-4)2≥0，(b-6)2≥0， 21 ∴.a-4=0,b-6=0. .a=4,b=6. ,△ABC的三边长为a,b,c, '.6-4c6+4,即2c10 △ABC的最长边的长为c, .c≥6. .6≤c<10. a,b,c都是正整数， ∴.c的值为6或7或8或9. (2)a2+2b2-2ab+4b+4=0, ∴.a2-2ab+b2+b2+4b+4=0. ∴.(a-b)2+(b+2)2=0. ·(a-b)2≥0，(b+2)2≥0， ∴.a-b=0,b+2=0. .a=b=-2. .ab=4. 9.(1)在△ABC中，∠BAC=180° ∠B-∠C=180°-a-3=180° 50°-30°=100. :AD平分∠BAC, 1 .∠DAC=2∠BAC=50 :MN⊥BC, ∴.∠MND=90°. .∠NAC=90°-∠C=90°- 30°=60. ∴.∠DMN=∠NAC-∠DAC= 60°-50°=10° (2)在△ABC中，∠BAC=180°- ∠B-∠C=180°-a-3. AD平分∠BAC, ·∠DAC= ·∠BAC=90°- (a+8), ∴.∠ADN=∠DAC+∠C=90° 号a+0tg=02a-m .·MN⊥BC, ∴.∠MND=90° .∠DMN=180°-∠MND ∠ADN=180°-90°-90+2(a 第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.B2.A3.B 4.(1).△ABC2△DEB,