13.2 命题与证明-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 13.2 命题与证明 第1课时命题与证明 臼基础进阶 1.下列语句属于命题的是 .∠ADG ∠C( A.你今天打卡了吗 (2)若BD平分∠ABC,DG平分∠ADB,试 B.请戴好口罩 说明∠C与∠ABC之间的数量关系. C.画出两条相等的线段 D D.同位角相等 2.(2024·宿州泗县期末)下列命题中，属于真 2 E 命题的是 ( ) (第5题) A.相等的角是对顶角 B.同旁内角互补 C.能被4整除的整数，一定能被2整除 D.互为倒数的两个数和为0 3.在同一平面内，如果AB⊥EF,CD⊥EF,那 么ABCD.这一推理是 素能攀升 A.垂直的定义 6.(2024·六安太湖期末)下列命题中，属于假 B.平行线的基本事实 命题的是 ( C.等量代换 A.对顶角相等 D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 B.若|x|=1,则x=1 直线互相平行 C.内错角相等，两直线平行 4.(2024·宿州埔桥期末)下列选项中，可以用 D.若x3=0,则x=0 来证明命题“若a>b,则|a|>b|”是假命题 7.下列命题中，其逆命题为直真命题的是() 的反例是 A.若a>0,b>0,则ab>0 A.a=1,b=0 B.a=-1,b=2 B.对顶角相等 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-3 C.两直线平行，同旁内角互补 5.如图，BDEF,∠1=∠2. D.若a=b,则a2=b (1)请判断∠ADG与∠C之间的数量关系， 8.*有下列命题：①在同一平面内，a 并说明理由，请补全下列解答过程， b,c是三条不同的直线，若a与b相 解：判断： 交，b与c相交，则a与c相交；②已 理由：.'BDEF(已知)， 知a,b,c是三条不同的直线，若a⊥b,a⊥c, ∴.∠2= 则b;③若一个角的两边与另一个角的两 .∠1=∠2（已知）， 边分别平行，则这两个角一定相等.其中，假 .∠1= 命题为 (填序号). 48 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 9.新考法·结论开放题(2024·淮北濉溪期末) 的一点，点E,F分别在直线AB,CD上， 请举反例说明命题“对于任意实数x,x2一 EM是∠PEA的平分线，FM是∠PFC的 定大于x”是假命题.你举的反例是x= 平分线，EN⊥EM,FN⊥FM (写出一个值即可). ①若∠EPF=95°，求∠EMF的度数 10.如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B= ②试探究∠EPF与∠ENF之间的数量 ∠D;③∠A=∠C.请从中任选两个作为 关系 条件，另一个作为结论构成一个真命题，并 证明该命题的正确性 X (第11题) (第10题) 思维拓展 11.新考法·阅读理解题阅读理解： 如图①，AB∥CD,P是直线AB CD之间的一点，点E,F分别在直 线AB,CD上，则可推出∠EPF= ∠PEA+∠PFC 小明的思路如下：过，点P向右作PG∥AB, 通过平行线的性质可得结论∠EPF= ∠PEA+∠PFC. (1)请根据小明的思路，写出完整的推理 过程 (2)利用上面的结论解决问题： 如图②，AB∥CD,P是直线AB,CD之间 49 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第2课时 三角形的内角和 自基础进阶 幻素能攀升 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°， 7.如图，△ABC中，∠B=50°，点D,E分别在 则另一个锐角的度数为 ( 边AB,AC上，∠CED=105°，则下列关于 A.40°B.50° C.60° D.70° ∠C与∠ADE的关系中，一定正确的是 2.(2024·六安舒城期末)如果一个三角形的两 个内角分别为50°和30°，那么这个三角形的 A.∠C+∠ADE=95 形状是 B.∠C-∠ADE=25 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.∠C-∠ADE=35 C.钝角三角形 D.无法判断 D.∠C=2∠ADE 3.如图，BD,CE分别是△ABC的高和角平分 线，且相交于点O.若∠BCA=70°，则∠BOE 的度数为 A.60°B.55° C.50° D.40° (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折 叠△CBD,使点B恰好落在边AC上的点E 处.若∠A=22°，则∠BDC的度数为() (第3题) (第4题) A.44°B.60°C.67° D.77 4.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们 9.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B= 学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意 70°，AD是∠CAB的平分线，交边BC于点 想不到的收获.将一副三角尺按如图所示的 D,CE是△ACD的边AD上的高，则∠ECD 方式放置，若AE∥BC,则∠AFD的度数是 的度数为 () A.35° B.30° C.25° D.20° 5.(2024·合肥期末)在△ABC中，AD⊥BC交 线段BC于点D,∠ABC=32°，∠CAD= 21°，则∠BAC= 6.方程思想在△ABC中，∠A:∠B：∠C (第9题) (第10题) 4:5：9,请判断三角形的形状并证明. 10.如图，M,N是△ABC边AB,AC 上的，点，△AMN沿MN翻折后得 到△DMN,△BMD沿BD翻折后 得到△BED,且点E在BC边上，△CND 沿CD翻折后得到△CFD,且点F在边BC 上，若∠A=70°，则∠1十∠2等于() A.65°B.70°C.75°D.85 50 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 1.如图，在△ABC中，∠OBC=号∠ABC. ∠C的度数（用含a和B的代数式表示） ∠0CB-号∠ACB,∠A-60°，则∠B0C的 度数为 (第11题) A.140° B.145° 思维拓展 C.150° D.155 16.如图，点B,C分别位于Rt△PMN 12.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ 的两条直角边PM,PN上，点A ∠F= 与点P在直线BC的同侧，点P在 △ABC内部. (1)若∠A=55°，则∠ABC+∠ACB= °，∠PBC+∠PCB= , ∠ABP+∠ACP= (第12题) (第13题) (2)请猜想∠ABP+∠ACP与∠A之间的 13.方程思想如图，在△ABC中，∠B十∠C= 数量关系，并说明理由 90°，D是边BC上一点，沿线段AD折叠， (3)分类讨论思想若改变点A的位置，使，点 使点B落在点E处(E,B两点在直线AC P在△ABC外，其他条件都不变，则(2)中 的两侧)，当∠EAC=40°时，∠CAD= 的结论是否仍然成立？若成立，请说明理 由；若不成立，请求出∠ABP,∠ACP与 14.分类讨论思想在△ABC中，∠A=50°， ∠A之间的数量关系. ∠B=30°，点D在边AB上，连接CD.若 △ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 15.(2024·滁州天长期末)如图，在△ABC中， D为∠ABC的平分线BD上一点，连接 (第16题) AD,过点D作EF∥BC交AB于点E,交 AC于点F. (第15题》 (1)若AD⊥BD于点D,∠BEF=120°，求 ∠BAD的度数. (2)若∠ABC=a,∠BDA=B,求∠FAD+ 51 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第3课时三角形的外角 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，直线1∥L2,一副三角尺放置在11，l2 6.如图，在锐角三角形ABC中，CD,BE分别 之间，两三角尺的斜边在同一条直线上，含 是AB,AC上的高，且CD,BE交于点P.若 30°角的三角尺的一条直角边在l1上，则∠α ∠A=50°，则∠BPC的度数为 () 的度数为 A.8° B.10° C.12 D.15 (第6题) A.150° B.130° (第1题) (第2题) C.120° D.100° 2.某零件的形状如图所示.如果按照要求 7.新考法·操作题已知一张三角形纸片ABC ∠B=20°，∠BCD=110°，∠D=30°，那么 (如图)，其中AB=AC.将纸片沿过点B的 ∠A的度数是 ( 直线折叠，使点C落到AB边上的点E处， A.50°B.60°C.70° D.80 折痕为BD,再将纸片沿过点E的直线折叠， 3.(2024·宿州泗县期末)若三角形的外角中有 点A恰好与点D重合，折痕为EF,则原三 一个是锐角，则这个三角形是 三角 角形纸片ABC中，∠ABC的度数为( 形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 4.如图，AD平分∠CAE,∠B=30°，∠ACD= 80°，则∠EAD= (第7题) A.60° B.72°C.36°D.90° B D (第4题) 8.如图，将线段AB平移得到线段CD,点P在 5.(2024·毫州利辛期末)如图，在△ABC中， 线段AC的延长线上，点Q在射线OB上， BD是AC边上的高，∠A=72°，CE平分 ∠PCD,∠QBA的平分线所在直线相交于 ∠ACB交BD于点E,∠BEC=115°，求 点E,若∠OAB=a,∠OBA=B,则∠CEB= ∠ABC的度数. (用含α，3的式子表示). B (第8题) (第9题) (第5题) 9.如图，在△ABC中，∠1是它的外角，E为边 AC上一点，延长BC到点D,连接DE,则 ∠1 ∠2（填“>”“<”或“=”）. 52 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 10.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E为思维拓展 BD上一点，EF⊥AC于点F,∠A=38°， 13.新考法·新定义题【概念认识】如图 ∠C=80°，则∠DEF的度数为 ①，在∠ABC中，若∠ABD= ∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫作 ∠ABC的“三分线”.其中，BD是“邻AB 三分线”，BE是“邻BC三分线”， B C (第10题) (第11题) 【问题解决】(1)在△ABC中，∠A=70°， 11.★(2024·阜阳颍州期末)如图， ∠B=45°，若∠ABC的“三分线”BD交AC BA1是∠ABC的平分线，CA1是 于点D,则∠BDA= △ABC的外角平分线，BA2是 (2)如图②，在△ABC中，BP,CP分别是 ∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平 ∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻 分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是 CB三分线”，且∠A=60°，求∠P的度数. ∠ACD的平分线，….若∠A=a,则 【延伸推广】(3)在△ABC中，∠ACD是 ∠A1= ,∠A2022= △ABC的外角，∠ABC的“三分线”所在的 12.如图，BE平分∠ABD,DF平分∠BDC,射 直线与∠ACD的“三分线”所在的直线交于 线DF的反向延长线交BE于点E. 点P.若∠A=m,∠ABC=n,且m>n,直 (1)若∠A=56°，∠C=22°，∠EBD=23°， 接写出∠BPC的度数（用含m,n的代数式 求∠E的度数 表示) (2)若∠A=a,∠C=3,∠E=Y,请直接写 出α，B,Y三者之间的数量关系. ① ② 备用图 (第13题) (第12题) 53综上所述，这个等腰三角形的底边长 是5，腰长是14. C (第12题) 13.(1)220:110. (2)∠E+∠F=180° 理由：因为∠BAD+∠CDA+ ∠ABC+∠BCD=360°，四边形 ABCD的内角∠BAD,∠CDA的平 分线交于点E,∠ABC,∠BCD的平 分线交于点F, 所以∠DAE+∠ADE+∠FBC+ ∠BCF=180. 因为∠DAE+∠ADE+∠E=180°， ∠FBC+∠BCF+∠F=180°， 所以∠DAE+∠ADE+∠E十 ∠FBC+∠BCF+∠F=360°. 所以∠E+∠F=360°一（∠DAE+ ∠ADE+∠FBC+∠BCF)=18O. 13.2命题与证明 第1课时命题与证明 1.D2.C3.D4.D 5.(1)∠ADG=∠C:∠CBD: ∠CBD;等量代换；DG;BC;内错角 相等，两直线平行：=：两直线平行，同 位角相等。 (2)由(1)，得∠C=∠ADG,∠1= ∠CBD. BD平分∠ABC,DG平 分∠ADB, ∴.∠1=∠ADG=∠C,∠ABC= 2∠CBD. .∠ABC=2∠C 6.B7.C 8.①②③解析：在同一平面内，a, b,c是三条不同的直线，若a与b相 交，b与c相交，则a与c可能平行，可 能相交..①是假命题.“若a⊥b, a⊥c,则bc”的前提条件是“在同一 平面内”.②是假命题.若一个角的 两边与另一个角的两边分别平行，则 这两个角相等或互补.∴.③是假命 题.综上所述，假命题为①②③. 方法归纳 判断命题真假的方法 要判断一个命题是真命题， 般需要推理、论证，而判断一个命 题是假命题，只需举出一个反例. 9.0(答案不唯一). 10.答案不唯一，如选择②③作为条 件，①作为结论 已知∠B=∠D,∠A=∠C,则 ∠1=∠2. 证明：∠A=∠C .AB//CD .∴.∠B=∠BFC. ∠B=∠D, ∴.∠BFC=∠D .DE∥BF. ∴.∠DMN=∠2. :∠1=∠DMN, ∴.∠1=∠2. 11.(1)过点P向右作PG∥AB. AB∥CD, ∴.AB//PG//CD. ∴.∠PEA=∠EPG,∠GPF= ∠PFC. ∴.∠EPF=∠EPG+∠GPF= ∠PEA+∠PFC (2)①由(1)，得∠EPF=∠PEA+ ∠PFC=95°，∠EMF=∠MEA+ ∠MFC. :EM是∠PEA的平分线，FM是 ∠PFC的平分线， ∴.∠MEA= ∠PEA,∠MFC= 1 ∠PRC ∴.∠EMF= 1 2∠PEA+2∠PFC ∠BPp=4.5 ②，EN⊥EM,FN⊥FM, .∠MEN=∠MFN=90 由(1)，易知∠EMF=∠MEA+ ∠MFC,∠ENF=∠NEB+∠NFD. :∠MEA+∠NEB=180° ∠MEN=90°，∠MFC+∠NFD= 180°-∠MFN=90°， .'.∠EMF+∠ENF=∠MEA+ ∠MFC+∠NEB+∠NFD= (∠MEA+∠NEB)+(∠MFC+ ∠NFD)=180. 17 又：∠EMF=∠EPP, &∠EPF+∠ENP=18o. 第2课时三角形的内角和 1.B2.C3.B4.75°5.79 6.△ABC是直角三角形. ∠A:∠B:∠C=4:5:9, ∴.可设∠A=4x,∠B=5.x, ∠C=9x. :∠A+∠B+∠C=180°， ∴.4x+5.x+9x=180°，解得x=10°. ∴.∠A=40°，∠B=50°，∠C=90. ∴.△ABC是直角三角形 7.B8.C9.C 10.D解析：如图，依题意，得 1 ∠MBD=∠CBD= ∠ABC, ∠DCB=∠DCN= 2∠ACB, ∴.∠BDC=180°-∠DBC 1 ∠DCB=180°-2 (∠ABC+ ∠ACB)=180-3×180-70) 125°，即∠1+∠2+∠3=125°， ∠1+∠3=∠BDM,∠2+∠3= ∠CDN,∠MDN=∠A=70°， ∠MDB+∠CDN+∠BDC+ ∠MDN=360°，.∠1+∠3+∠2+ ∠3+∠1+∠2+∠3+70°=360°，即 3(∠1+∠2+∠3)-（∠1+∠2）+ 70°=360°..3×125°-（∠1+ ∠2)+70°=360°..∠1+∠2=85. MA B (第10题) 11.A12.36013.25 14.60°或10°解析：分两种情 况讨论：①如图①，当∠ADC=90° 时，∠BDC=90°.∠B=30°， ∴.∠BCD=90°-30°=60°.②如图 ②，当∠ACD=90时，∠A=50°， ∠B=30°，.∠ACB=180°-30° 50°=100°..∠BCD=∠ACB ∠ACD=100°-90°=10°.综上所述， ∠BCD的度数为60°或10. D B D B ② (第14题) 15.(1)EF∥BC,∠BEF=120°， ∴.∠EBC=60°，∠AEF=60, ∠BDE=∠DBC, 又，BD平分∠EBC, ∴.∠EBD=∠DBC=∠BDE=3O°. 又：∠BDA=90°， ∴.∠BAD=60°. (2)如图，过点A作AGBC. .'BD平分∠ABC, i∠Dc子∠AC EF∥BC, ∴.AG//EF /BC. '.∠EDA=∠DAG,∠DBC= ∠EDB,∠C=∠GAC. ∴·∠BDA=∠EDA+∠EDB= ∠DBC+∠DAG=∠DBC+ ∠FAD+∠FAG=∠DBC+ ∠FAD+∠C=R. ∴.∠FAD+∠C=B-∠DBC=B 1 ∠ABC=B-2a. G B (第15题) 16.(1)125:90:35. (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 理由：在△ABC中，∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A. ,∠ABC=∠ABP+∠PBC, ∠ACB=∠ACP+∠PCB, ∴.（∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+ ∠PCB)=180°-∠A. ∴.（∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+ ∠PCB)=180°-∠A. 又，在Rt△PBC中，∠P=90°， ∴.∠PBC+∠PCB=90 .(∠ABP+∠ACP)+90°= 180°-∠A .∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)(2)中的结论不成立」 分三种情况讨论： ①如图①，设AB交PN于点O. ,∠AOC=∠BOP, .∠A+∠ACP=90+∠ABP. .∠A+∠ACP-∠ABP=90. ②如图②，同①，可得∠A+ ∠ABP-∠ACP=90. ③如图③，：∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°，∠P+∠ABP+ ∠ACP+∠ABC+∠ACB=180°， .∠A=∠P+∠ABP+∠ACP. .∠A-∠ABP-∠ACP=90. B ① ② B ③ (第16题) 第3课时三角形的外角 1.D2.B3.钝角 4.65°解析：∠B=30, ∠ACD=80°，∴.∠BAC=∠ACD ∠B=50°.∴.∠CAE=180° ∠BAC=130°.AD平分∠CAE, :∠EAD-∠CAE=65 5.BD是AC边上的高， ..∠BDC=90 :∠BEC=115, ∴.∠DCE=∠BEC-∠CDE=25. :CE平分∠ACB, .∠BCD=2∠DCE=2X25°=50 :∠A=72°， .∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB= 180°-72°-50°=58°. 6B7.B8空或0-生 9.> 18 10.21°解析：，∠A=38°，∠C= 80°，.∠ABC=180°-∠A-∠C= 180°-38°-80°=62°.BD平分 1 ∠ABC,.∠ABD=Z∠ABC 7×62=31,.∠BDC=∠ABD+ ∠A=31°+38°=69°.：EF⊥AC, ∴.∠EFD=90.∴.∠DEF=90°- ∠BDC=90°-69°=21. 11.2a2解析：BA和CA, 分别是∠ABD和∠ACD的平分线， ÷∠A,BD=合∠ABC,∠A,CD= 3∠ACD.又：∠ACD=∠AC+ ∠A,∠A,CD=∠A,BD+∠A1, ·2(∠ABC+∠A)=S∠ABC+ ∠A.∠A,=2∠A.同理，可得 ∠A=2∠A,=∠A,∠A,= 合∠A:=∠A,=分∠A, ∠A:=2∠A.”∠A=a, 1 a ·∠A=2Q,∠A2他=2 方法归纳 与三角形内角、外角平分线的 夹角有关的三个公式 分类两内角平分线的夹角 A 图形 B 公式 ∠D=90°+2∠A 分类 两外角平分线的夹角 图形 D 公式 ∠D=90° 2<A 分类内角、外角平分线的夹角 图形 C E 公式 ∠D=2∠A 12.(1)如图，延长CD交AB于 点G :∠BGD是△ACG的外角， ∴.∠BGD=∠A+∠C=56°+ 22°=78. ∠BDC是△BDG的外角， ∴.∠BDC=∠ABD+∠BGD. .BE平分∠ABD,∠EBD=23°， ∴.∠ABD=2∠EBD=46. ∴.∠BDC=46°+78=124. DF平分∠BIDC, 1 .∠BDF=2∠BDC=62: ,∠BDF是△BDE的外角， ∴.∠BDF=∠EBD+∠E. '.∠E=∠BDF-∠EBD=62° 23°=39°. F (第12题) 13.(1)95或80°. (2)BP,CP分别是∠ABC的“邻 BC三分线”和∠ACB的“邻CB三 分线”， ·∠PBC=3∠ABC,∠PCB= 日∠ACR 在△ABC中，∠ABC+∠ACB= 180°-∠A=180°-60°=120°， ·.∠PBC+∠PCB=3∠ABC+ 3∠ACB=号（∠ABC+∠ACB) 号×120=4. ∴.∠P=180°-（∠PBC+ ∠PCB)=180°-40°=140°. (3)①当BP是“邻BA三分线”，CP 是“邻CA三分线”时，如图①. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+, ÷∠PBC=号∠ABC=号W 2 3n, ∠PCD=号∠ACD=号(m+. 2 ,∠PBC+∠BPC=∠PCD, 号a+∠BC=号m+w. &∠BrC=号n ②当BP是“邻BC三分线”，CP是 “邻CD三分线”时，如图②. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+1, &∠Pc=寸∠ABc- 1 3n, ∠PCD=号∠ACD-号m+. :∠PBC+∠BPC=∠PCD, :子n+∠BPC=子(m+n). ∠BPC=3m. 1 ③当BP是“邻BA三分线”，CP是 “邻CD三分线"”时，如图③. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+I, ÷∠PBC=号∠ABC=号 、2 3n, ∠PCD=3∠ACD=子(m+. :∠PBC+∠BPC=∠PCD, 2 1 ·.3n+∠BPC=3(m+n),. 1 ∠BPC=3m-3u ④当BP是“邻BC三分线”，CP是 “邻CA三分线”时，如图④. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+n, ·.∠PBC=3∠ABC= 1 3, ∠PCD= 2 ∠PBC+∠BPC=∠PCD, 2 3n+∠BPC=3(m+n). ·∠BPC=2 1 3m+3. 综上所述，∠BPC的度数为子m或 11 2 3m或3m-3n或行m+3 ① ② 19 ③ D ④ (第13题) 专题特训四三角形中有关 角的计算 1.B2.D3.27°4.180 5.(1),∠BEC=∠ABE+∠A, ∠A=62°，∠ABE=18°， .∠BEC=62°+18°=80. ,'∠CFE+∠BEC+∠ACD=180°， ∴.∠CFE=180°-∠BEC- ∠ACD=180°-80°-38°=62°. (2).·∠DFE=∠BEC+∠ACD, ∠BEC=∠A+∠ABE, ∴.∠DFE=∠ABE+∠A+ ∠ACD. 又：∠A=∠ABE+∠ACD, ∠DFE=∠BFC, ∴.∠DFE=2∠A 又∠A+∠DFE=210°， .3∠A=210 .∠A=70°. 6.A解析：，AD是边BC上的高， ∠ABC=60°，..∠BAD=30° ∠BAC=50°，AE平分∠BAC, 1 :∠BAE=2 ∠BAC=25 ∴.∠DAE=30°-25°=5°.∠C= 180°-∠ABC-∠BAC=70° .∠DAE+∠C=5°+70°=75. 7.C解析：如图①，当△ABC是锐 角三角形时，BD,CE是△ABC的 高，.∠ADB=∠BEC=90°.在 △ABD中，∠A=45, ∴.∠ABD=90°-45°=45. ∴.∠BHE=90°-45°=45. ∴.∠BHC=180°-∠BHE=135. 如图②，当△ABC是钝角三角形时， BD,CE是△ABC的高，