第12章 函数与一次函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

所以总利润W(元)与装运苹果的货 车数量x(辆)之间的函数表达式为 W=-1200x+90000. (3)由(2)，知W=一1200x+90000. 因为-1200<0， 所以W随x的增大而减小 因为装运苹果的货车数量不得少于装 运橘子的货车数量； 所以x≥y,即x≥- 32十10，解得 x≥6. 所以当x=6时，W取得最大值，此时 W=82800,y=6. 所以租6辆货车装运苹果、6辆货车 装运橘子才能获得最大利润，最大利 润是82800元： 4.(1)由题图，得m=3072,n= (56-20)÷(1144-1024)=0.3. (2)设在A方案中，当每月使用的流 量不少于1024兆时，每月所需的费 用y(元)与每月使用的流量x(兆)之 间的函数表达式为y=kx十b(k≠0). 把(1024,20)，(1144,56)代人，得 1024k十b=20解得-0.3， 1144k+b=56, b=-287.2 所以y=0.3x一287.2(x≥1024). (3)3072+(266-56)÷0.3= 3772(兆). 由题图，可知当每月使用的流量超过 3772兆时，选择C方案最划算， 5.(1)由题意可知，y甲=60×10十 10(x-10)=10.x+500,yz=(60× 9 10+10x)×0=9x+540. (2)分三种情况讨论： 当y甲<yz时，10.x+500<9x+540, 解得x<40: 当y甲=yz时，10x+500=9.x+540, 解得x=40: 当y甲>yz时，10.x+500>9.x+540, 解得x>40. 因为x≥10， 所以当10≤x<40时，按活动甲付款 更省钱：当x=40时，按两种活动付 款金额一样；当x>40时，按活动乙 付款更省钱。 (3)由题意可知，购买这种羽毛球拍 10副和羽毛球60筒，即x=60. 所以选择活动甲：10×60十500= 1100(元)：选择活动乙：9×60+ 540=1080(元)：同时选择两种优惠 促销活动：10×60+10×(60一10)× 10-1050(元). 9 因为1050<1080<1100， 所以同时选择两种优惠促销活动购买 最省钱，即按活动甲购买10副羽毛球 拍，其余按活动乙购买. 一方法归纳 用一次函数解决方案 问题的一般步骤 (1)析：分析题意，厘清数量 关系 (2)列：列出函数表达式、不等 式或方程 (3)求：求出不同取值时自变 量对应的函数值的大小或函数的 最大值（最小值）. (4)选：结合实际需要选择最 佳方案.注意在选择方案时，要考 虑实际问题中自变量的取值范围， 尤其要看是否为某些特殊解（如正 整数解). 第12章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B解析：由题意，得x十3> 0,且x一1≠0，解得x>一3且x≠1. [变式]x≥0且x≠1 典例2C解析：因为从A地到B地 的前半段路程中，甲先步行到中点，乙 先骑自行车到中点，所以相同的路程， 甲的速度慢，使用的时间长，乙的速度 快，使用的时间短.故选项B,D不符 合题意.又因为甲先步行到中点后改 为骑自行车，乙先骑自行车到中点后 改为步行，甲、乙两人骑车的速度和步 行的速度分别相同，从A地到B地的 所行路程也相同，所以甲和乙最终同 时到达终点.故选项A不符合题意， 选项C符合题意. [变式]B解析：由题图可得，起跑 后1h内，甲在乙的前面，故①正确. 第1小时两人相遇，都跑了10km,故 ②正确.由题图知，乙1h跑了10km, 所以乙所跑的路程y(km)与时间 t(h)之间的函数表达式为y=10x.故 ③正确.因为甲在0.5~1h的速度为 (10一8)÷0.5=4(km/h),所以甲在 第1.5小时跑了8+4×(1.5 13 0.5)=12(km).故④错误.综上所述 正确的结论有3个. 典例3(1)画出函数图象如图所示. (2)y1>y2 理由：因为-2<0， 所以y随x的增大而减小。 因为n>3, 所以(n+3)一(2+1)=2一n<0,即 n+3<2+1. 所以y1>y2 y -1- -4 -+1 543201.2345x -2 +3 4 5 (典例3图) [变式](1)在y=k(x-1)-1(k≠ 0)中，令x=1,则y=k(1一1) 1=-1. 所以该一次函数的图象过点(1，一1). (2)因为点P(x1,y1),Q(x2,y2)在 一次函数y=k(x-1)一1(k≠0)的 图象上，且(x1一x2)(y1一y2)<0, 所以y随x的增大而减小. 所以k<0. (3)分两种情况讨论： ①若>0，则y随x的增大而增大 所以当x=0时，y=一3：当x=3时， y=3. 把x=0,y=-3代人，得一一1= -3,解得k=2. 所以y=2x一3. 令x=3,则y=3,符合题意 ②若<0，则y随x的增大而减小 所以当x=0时，y=3;当x=3时， y=-3. 把x=0,y=3代人，得一k一1=3，解 得k=-4. 所以y=-4x+3. 令x=3,则y=一9≠-3，不合题意， 舍去 综上所述，k的值为2. 典例4(1)因为直线y=kx十b经 过点A(5,0),B(1,4), 5k+b=0, k=一1， 所以 解得 k+b=4, b=5. 所以直线AB对应的函数表达式为 y=-x+5 联立二1十5”解得=3 {y=2x-4, (y=2. 所以点C的坐标为(3,2). (2)由图象可知，关于x的不等式 2x一4>kx十b的解集为x>3. [变式](1)函数图象如图所示 (2)①由函数图象可知，方程x十3 0的解为x=-3. ②当-2≤y≤6时，x的取值范围 是-5≤x≤3. 3201.￥.3.4.56元 典例5(1)设骑行B品牌共享单车 超过l0mim后的函数表达式为y= kx+b. 因为点(10,2)，(20,3)在该函数图 象上 10k十b=2·解得 k=0.1, 所以 20k+b=3, b=1. 所以骑行B品牌共享单车超过10min 后的函数表达式为y=0.1x+1. (2)由图象可得，当x=20时，A,B两 种品牌共享单车的收费金额相同，此 时收费3元. A品牌共享单车每分钟收费为3： 20=0.15(元). 当0<x≤10时，2-0.15.x=0.5,解 得x=10. 当x>10时，(0.1x+1)-0.15.x= 0.5或0.15.x-(0.1x+1)=0.5,解 得x=10(舍去)或x=30. 所以A,B两种品牌共享单车的收费 金额相差0.5元时，x的值为10或30. [变式](1)设象棋的单价为x元， 则五子棋的单价为(x一8)元. 由题意，得100=1200，解得x=48, x8x 经检验，x=48是原分式方程的解，且 符合题意. 所以x-8=40. 所以象棋的单价为48元，五子棋的单 价为40元 (2)设购买五子棋a副，则购买象棋 (30一a)副，总费用为元 由题意，得=40a十48(30-a)= -8a+1440. 因为-8<0， 所以随a的增大而减小. 因为购买五子棋的数量不超过象棋数 量的3倍， 所以a3(30-a),解得a22.5. 因为a为非负整数， 所以当a=22时，取得最小值，此 时=1264,30一a=8. 所以当购买五子棋22副，象棋8副时 费用最低，最低费用为1264元. [综合素能提升] 1.C2.B 3.(1)(0,6)解析：对于直线11： 3 y=2x十6当x=0时，y=6,所以 直线1经过点(0,6).对于直线12： y=kx十6，当x=0时，y=6,所以直 线l2经过点(0,6).所以直线11与12 一定都经过点P(0,6). (2)6解析：由(1)，得OP=6.在 y=2x+6中，令y=0,则号x十6= 3 0,解得x=一4.所以点A的坐标为 (一4,0).因为三角形PAB的面积 AB·OP=9,所以AB=3因为点 B位于点A的右侧，所以点B的坐标 为(-1,0).把B(-1,0)代人y= kx十6，得0=一k十6，解得k=6. 4.(1)因为点P(1,b)在直线l1:y= 2x+1上， 所以b=2×1+1=3. 因为点P(1,3)在直线l2:y=mx十 4上， 所以m十4=3. 所以m=-1. (2)由(1)可知，l2:y=一x+4. 由图象可知，当x<1时，直线，在直 线l2的下方. 所以关于x的不等式2.x+1<m,x+4 的解集为x<1. (3)当x=a时，yc=2a十1，yD= 因为CD=2, 14 所以|2a+1一(4-a)|=2,解得a= 子或a号 所以u的值为兮或号 5.(1)y1=2x. 当0≤x≤20时，y2=2.4x:当x>20 时，y2=2.4×20+1.8(x-20)= 1.8x+12. 所以y1关于x的函数表达式为y,= 2x,y2关于x的函数表达式为 2.4x(0x20), y%=1.8x+12(x>20). (2)当50≤x<60时，在甲文具店购 买这种笔记本的花费较少：当x=60 时，在两家文具店购买这种笔记本的 花费相等：当x>60时，在乙文具店 购买这种笔记本的花费较少， 理由：如图，画出y1,y2关于x的函 数图象. 由图象可知，当50x<60时，y1< y2:当x=60时，y1=y2:当x>60 时，y1>y2 所以当50x<60时，在甲文具店购 买这种笔记本的花费较少：当x=60 时，在两家文具店购买这种笔记本的 花费相等；当x>60时，在乙文具店 购买这种笔记本的花费较少. y/元 120 48F 02060x/本 (第5题) 第13章三角形中的 边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 1.D2.B3.D4.C5.10 或11 6.当腰长为6cm时，底边长为16- 6-6=4(cm),此时三边长为6cm, 6cm,4cm,能构成三角形. 所以另外两边的长为6cm,4cm. 当底边长为6cm时，腰长为(16 6)÷2=5(cm),此时三边长为5cm, 5cm,6cm,能构成三角形.拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第12章整合拔尖 知识体系构建 常量数值保持不变的量 变量，可以取不同数值的量 自变量的取值范围 定义 函数值 函数 列表法 列表达式 函数的表示方法 解析法 待定系数法求表达式：设、代、解、写 图象法 定义 图象 画法：列表、描点、连线 般地，形如y=x十b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数 数与一 正比例函数是当b=0时的一次函数 定义 次函数 形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫作正比例函数 正比例函数 一条直线→过点(0,0)和(1，k】 般用待 图象 画法：两点法 定系数法 求一次函 当k>0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）；当k<0时，y 数表达式 随x的增大而减小（图象是自左向右下降的）：|k越大，y随x的增大而增 性质大（或减小）的速度越快 一次 函数 一元一次一元一次方程x十b=0(k≠0)的解就是一次函数 方程y=x+b（≠0)的图象与x轴的交点的横坐标 与三个“ 元一次解一元一次不等式x十b>0或x十b<0(k≠0)就是求 次”的联系 不等式使一次函数y=kx十b(k≠0)取正值或负值时x的取值范围 二元一次两个一次函数的图象的交点坐标就是两条直线对应的 方程组函数表达式组成的二元一次方程组的解 实际应用，利用一次函数解决实际问题 91高频考点突破 考点一 确定自变量的取值范围 [变式](2025·池州青阳期末)函数y= x 十一的自变量x的 1 的 典例1函数y= x+3 自变量x的取值范围是 取值范围是 考点二函数图象 A.x≠一3且x≠1B.x>-3且x≠1 典例2(2025·安庆太湖期末)甲、乙两人同时 C.x>-3 D.x≥-3且x≠1 从A地到B地，甲先步行到中点后改为骑自行 38 第12章函数与一次函数 车，乙先骑自行车到中点后改为步行.已知甲、[变式]已知一次函数y=k(x一1)一1(k≠0). 乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则 (1)求证：该一次函数的图象过点(1，一1). 甲、乙两人所行的路程与所用时间的关系图象 (2)若点P(x1,y1),Q(x2,y2)在该一次函数的 正确的是（实线表示甲，虚线表示乙） 图象上，当(x1一x2)(y1一y2)<0时，求k的取 路程 路程 ↑路程 个路程 值范围。 (3)当0≤x≤3时，一3≤y≤3，求k的值 时间 时间 0 时间 时间 A B. C. D. [变式](2024·安庆期末)在全民健身赛跑中， 甲、乙两名选手所跑的路程y(km)随时间x(h) 变化的图象如图所示，有下列四个结论：①起跑 后1h内，甲在乙的前面；②在第1小时，两人 跑了10km;③乙所跑的路程y(km)与时间 x(h)之间的函数表达式为y=10x;④甲在第 1.5小时跑了11km.其中，正确结论的个数为 A.4 ↑y/km 20 B.3 -甲 考点四●一次函数与一次方程（组，不等式 C.2 0 (组)的关系 D.1 00.511.52x/h 典例4(2025·六安霍邱期末)如图，直线y= 考点三一次函数的图象和性质 kx十b经过点A(5,0),B(1,4) 典例3已知一次函数y=一2x十4. (1)直线y=2x一4与直线AB相交于点C,求 (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象 点C的坐标. (2)若n>3,点C(n+3,y1),D(2m+1,y2)都 (2)根据图象，写出关于x的不等式2x一4> 在一次函数y=一2x十4的图象上，试比较y1 kx十b的解集， 与y2的大小，并说明理由， =2x-4 (典例4图) 39 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 [变式]已知一次函数y=x+3,完成下列问题：(2)求A,B两种品牌共享单车的收费金额相差 (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此函 0.5元时，x的值. 数的图象. ↑y/元 (2)根据函数图象回答问题： ①求方程x十3=0的解 01020x/min ②当一2≤y≤6时，求x的取值范围. (典例5图) y -b 65432,01.2.3.4.克6x [变式](2024·德州)某校开设棋类社团，购买 了五子棋和象棋.五子棋比象棋的单价少8元， 用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买 的象棋数量相等 (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副， 考点五●一次函数的应用 根据学生报名情况，购买五子棋的数量不超过象 典例5(2025·宿州砀山期末)共享单车是一 棋数量的3倍.购买两种棋各多少副时费用最 种新理念下的交通工具，主要面向1~5km的 低？最低费用是多少？ 出行市场，现有A,B两种品牌的共享单车，收费 金额y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系 如图所示，其中A品牌共享单车的收费方式对 应y1,B品牌共享单车的收费方式对应y2 (1)求骑行B品牌共享单车超过10min后的函 数表达式， 综合素能提升 1.小刚以0.4km/min的速度骑车5min,在原 ↑s/km s/km 地休息了6min,然后以0.5km/min的速度 骑回出发地.设小刚离出发地的距离为 skm,骑车速度为vkm/min,骑车时间为 51115t/min 0 51115t/min C D. tmin.下列函数图象能大致表示这一过程 的是 2.(2024·滁州定远段考)函数y= x3+ ↑v/(km/min) ↑v/(km/min) 0.5- 0.5--- √x一I的自变量x的取值范围是( )》 0.4 0.4 A.x≥1 B.x≥1且x≠3 C.x≠3 D.1≤x≤3 0 51115t/min 051115t/min A. B. 40 第12章函数与一次函数 3 3.已知直线1：y=2x十6与直线12：y 5.(2025·合肥肥东期末)某公司要购 买一种笔记本，供员工学习时使用. kx+6. 在甲文具店不管一次购买多少本， (1)直线11与l2一定都经过点P 每本的价格为2元，在乙文具店购买同样的 (2)已知直线11与x轴交于点A,直线l2与 笔记本，一次性购买数量不超过20本时，每 x轴交于点B(点B位于点A的右侧).若三 本的价格为2.4元；一次性购买数量超过 角形PAB的面积为9，则k的值为 20本时，超过部分每本的价格为1.8元.设 4.(2025·安庆期末)如图，直线l1:y=2x十1 在同一家文具店，一次性购买这种笔记本的 与直线l2:y=mx十4相交于点P(1,b). 数量为x本(x为非负整数) (1)求b,m的值. (1)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金 (2)直接写出关于x的不等式2x+1< 额为y1元，在乙文具店购买这种笔记本的付 m,x+4的解集， 款金额为y2元，分别写出y1,y2关于x的 (3)过点(a,0)且垂直于x轴的直线与直线 函数表达式 L1,l2分别交于点C,D.若线段CD的长为 (2)当x≥50时，在哪家文具店购买这种笔 2,求a的值 记本的花费较少？请说明理由. L1:y=2x+1 L:y=mx+4 (第4题) 41