第12章 专题特训3 利用一次函数解决最值与方案问题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

3.(1)由题意，得y1关于x的函数 表达式为y1=10x. 设y2关于x的函数表达式为y2= kx+b(k≠0). 把(0,120)，(10,160)代人，得 b=120, k=4, 解得 10k+b=160, b=120. 所以y2关于x的函数表达式为y2 4x+120. 所以m的值为4. (2)当小明的游泳次数x满足15≤ x<20时，选择套餐一所需的费用较 少：当小明的游泳次数x满足20< x≤30时，选择套餐二所需的费用较 少：当小明的游泳次数为20时，选择 两个套餐所需的费用一样. 理由：由题意，得小明的游泳次数x 的范围是15≤x≤30. 令10x<4x十120，解得x<20 所以当小明的游泳次数x满足15 x<20时，选择套餐一所需的费用 较少. 令10x>4x十120，解得x>20. 所以当小明的游泳次数x满足20< x≤30时，选择套餐二所需的费用 较少 令10x=4x+120,解得x=20. 所以当小明的游泳次数为20时，选择 两个套餐所需的费用一样」 4.D 5.甲解析：设y甲=1x.将(5,100) 代人，得5k,=100,解得k1=20.所以 y甲=20z.设y乙=k2x+100.将(20， 300)代人，得20k2+100=300,解得 k2=10.所以y2=10.x+100.令 y甲=y乙，即20.x=10.x+100,解得 x=10.由题图可知当x<10时， y甲<y乙.所以当小明的人园次数为8 时，选择甲消费卡比较合算. 6.0.8或1解析：由题意，可知甲的 速度是9-30(km/,乙的速度是 60 3.5-0.5=20(km/h).设乙出发xh 时两人恰好相距5km.由题意，得 30(x+0.5)+20.x+5=60或30(x十 0.5)+20x一5=60，解得x=0.8或 x=1.所以乙出发0.8h或1h时两人 恰好相距5km. 7.(1)由题意，得y甲=0.85x. 当0≤x≤300时，yz=x. 当x>300时，yz=300+(x一 300)×0.7=0.7x+90. {x(0x300), 所以y乙= 0.7x+90(x>300). (2)令0.85x=0.7x+90,解得 x=600. 将x=600代人y甲=0.85.x,得y甲= 0.85×600=510. 所以点A的坐标为(600,510). (3)由题图，可得当x<600时，去甲 店购买体育用品更合算： 当x=600时，去两个体育用品专卖 店购买体育用品一样合算： 当x>600时，去乙店购买体育用品 更合算 8.(1)2:200. (2)设线段FG所在的直线对应的函 数表达式为s=kt十b(k≠0). 把F(3,0),G(7,1200)代人，得 3k+b=0, k=300, 解得 7k+b=1200, b=-900 所以线段FG所在的直线对应的函数 表达式为s=300t-900. 所以乐乐从A地到C地对应的函数 表达式为s=300t-900(3≤t≤7). (3)设线段OH对应的函数表达式为 s=k1t(k1≠0,018). 把H(8,1200)代人，得1200=8k1, 解得k,=150. 所以线段OH对应的函数表达式为 s=150t(018). ①当0t≤2时，2001=400-150t, 解得19。 ②当2<t3时，400=150t一400，解 16>3,不合题意，舍去 得1 ③当3<t≤7时，400-(3001 900)=150t-400或(3001一900) 400=1501-40,解得1=号或1=6. 综上所述，乐乐到达C地之前，当两 人到B地的距离相等时，楠楠跑步的 时间为号mim或号min或6min 专题特训三利用一次函数 解决最值与方案问题 1.(1)设A款文创产品每件的进价 是a元，则B款文创产品每件的进价 是(a-15)元. 12 根据题意，得960-780 aa-15,解得a= 80.经检验，a=80是原分式方程的 解，且符合题意， 所以80一15=65（元） 所以A款文创产品每件的进价是 80元，B款文创产品每件的进价是 65元. (2)设总利润为心元，购进A款文创 产品x件，则购进B款文创产品 (100一x)件. 根据题意，得80x十65(100一x)≤ 7400,解得x≤60. 所以心=(100-80)x+(80-65)· (100-x)=5.x+1500. 因为5>0， 所以心随x的增大而增大. 所以当x=60时，W最大=5X60十 1500=1800,此时100-x=40. 所以购进A款文创产品60件，购进 B款文创产品40件，才能使销售完后 获得的利润最大，最大利润是1800元. 2.(1)当0≤x≤20时，y=15x; 当x>20时，y=20×15+15×0.8× (x-20)=12x+60. 15x(0x20), 所以y=12x+60(x>20). (2)设购买甲种跳绳m根，则购买乙 种跳绳(60-m)根. 当10≤m≤20时，=15m+18(60 m)=-3m+1080, 因为-3<0， 所以心随m的增大而减小 所以当m=20时，有最小值，为 -3×20+1080=1020. 当20<m40时，=12m+60+ 18(60-m)=-6m+1140. 因为-6<0， 所以随m的增大而减小. 所以当m=40时，w有最小值，为 -6×40+1140=900. 因为900<1020， 所以购买甲种跳绳40根，乙种跳绳 20根，才能使付款总金额最少 3.(1)由题意，得4x+6y=60. 所以y=一3x+10. (2)由题意，得W=1200×4x+ 1500X6y=480z+90(-号x+ 10)=-1200x+90000. 所以总利润W(元)与装运苹果的货 车数量x(辆)之间的函数表达式为 W=-1200x+90000. (3)由(2)，知W=一1200x+90000. 因为-1200<0， 所以W随x的增大而减小 因为装运苹果的货车数量不得少于装 运橘子的货车数量； 所以x≥y,即x≥- 32十10，解得 x≥6. 所以当x=6时，W取得最大值，此时 W=82800,y=6. 所以租6辆货车装运苹果、6辆货车 装运橘子才能获得最大利润，最大利 润是82800元： 4.(1)由题图，得m=3072,n= (56-20)÷(1144-1024)=0.3. (2)设在A方案中，当每月使用的流 量不少于1024兆时，每月所需的费 用y(元)与每月使用的流量x(兆)之 间的函数表达式为y=kx十b(k≠0). 把(1024,20)，(1144,56)代人，得 1024k十b=20解得-0.3， 1144k+b=56, b=-287.2 所以y=0.3x一287.2(x≥1024). (3)3072+(266-56)÷0.3= 3772(兆). 由题图，可知当每月使用的流量超过 3772兆时，选择C方案最划算， 5.(1)由题意可知，y甲=60×10十 10(x-10)=10.x+500,yz=(60× 9 10+10x)×0=9x+540. (2)分三种情况讨论： 当y甲<yz时，10.x+500<9x+540, 解得x<40: 当y甲=yz时，10x+500=9.x+540, 解得x=40: 当y甲>yz时，10.x+500>9.x+540, 解得x>40. 因为x≥10， 所以当10≤x<40时，按活动甲付款 更省钱：当x=40时，按两种活动付 款金额一样；当x>40时，按活动乙 付款更省钱。 (3)由题意可知，购买这种羽毛球拍 10副和羽毛球60筒，即x=60. 所以选择活动甲：10×60十500= 1100(元)：选择活动乙：9×60+ 540=1080(元)：同时选择两种优惠 促销活动：10×60+10×(60一10)× 10-1050(元). 9 因为1050<1080<1100， 所以同时选择两种优惠促销活动购买 最省钱，即按活动甲购买10副羽毛球 拍，其余按活动乙购买. 一方法归纳 用一次函数解决方案 问题的一般步骤 (1)析：分析题意，厘清数量 关系 (2)列：列出函数表达式、不等 式或方程 (3)求：求出不同取值时自变 量对应的函数值的大小或函数的 最大值（最小值）. (4)选：结合实际需要选择最 佳方案.注意在选择方案时，要考 虑实际问题中自变量的取值范围， 尤其要看是否为某些特殊解（如正 整数解). 第12章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B解析：由题意，得x十3> 0,且x一1≠0，解得x>一3且x≠1. [变式]x≥0且x≠1 典例2C解析：因为从A地到B地 的前半段路程中，甲先步行到中点，乙 先骑自行车到中点，所以相同的路程， 甲的速度慢，使用的时间长，乙的速度 快，使用的时间短.故选项B,D不符 合题意.又因为甲先步行到中点后改 为骑自行车，乙先骑自行车到中点后 改为步行，甲、乙两人骑车的速度和步 行的速度分别相同，从A地到B地的 所行路程也相同，所以甲和乙最终同 时到达终点.故选项A不符合题意， 选项C符合题意. [变式]B解析：由题图可得，起跑 后1h内，甲在乙的前面，故①正确. 第1小时两人相遇，都跑了10km,故 ②正确.由题图知，乙1h跑了10km, 所以乙所跑的路程y(km)与时间 t(h)之间的函数表达式为y=10x.故 ③正确.因为甲在0.5~1h的速度为 (10一8)÷0.5=4(km/h),所以甲在 第1.5小时跑了8+4×(1.5 13 0.5)=12(km).故④错误.综上所述 正确的结论有3个. 典例3(1)画出函数图象如图所示. (2)y1>y2 理由：因为-2<0， 所以y随x的增大而减小。 因为n>3, 所以(n+3)一(2+1)=2一n<0,即 n+3<2+1. 所以y1>y2 y -1- -4 -+1 543201.2345x -2 +3 4 5 (典例3图) [变式](1)在y=k(x-1)-1(k≠ 0)中，令x=1,则y=k(1一1) 1=-1. 所以该一次函数的图象过点(1，一1). (2)因为点P(x1,y1),Q(x2,y2)在 一次函数y=k(x-1)一1(k≠0)的 图象上，且(x1一x2)(y1一y2)<0, 所以y随x的增大而减小. 所以k<0. (3)分两种情况讨论： ①若>0，则y随x的增大而增大 所以当x=0时，y=一3：当x=3时， y=3. 把x=0,y=-3代人，得一一1= -3,解得k=2. 所以y=2x一3. 令x=3,则y=3,符合题意 ②若<0，则y随x的增大而减小 所以当x=0时，y=3;当x=3时， y=-3. 把x=0,y=3代人，得一k一1=3，解 得k=-4. 所以y=-4x+3. 令x=3,则y=一9≠-3，不合题意， 舍去 综上所述，k的值为2. 典例4(1)因为直线y=kx十b经 过点A(5,0),B(1,4), 5k+b=0, k=一1， 所以 解得 k+b=4, b=5. 所以直线AB对应的函数表达式为拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 专题特训三 利用一次函数解 类型一最值问题 1.(2024·眉山)眉山是“三苏”故里，文化底蕴 深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进 了文创产品的销售，某商店用960元购进的 A款文创产品和用780元购进的B款文创产 品数量相同.每件A款文创产品的进价比 B款文创产品的进价多15元. (1)A,B两款文创产品每件的进价各是多 少元？ (2)若A款文创产品每件的售价为100元， B款文创产品每件的售价为80元，根据市场 需求，商店计划再用不超过7400元的总费用 购进这两款文创产品共100件进行销售，问： 怎样进货才能使销售完后获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 2.(2024·合肥期末)某校计划举办运动会，预 计购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的售价为每 根15元，若一次性购买甲种跳绳超过20根， 则超过的部分打8折；乙种跳绳的售价为每 根18元，没有优惠。 (1)若购进甲种跳绳x根，付款y元，求y关 于x的函数表达式 (2)该校计划购买这两种跳绳共60根，且甲 种跳绳不少于10根，且不超过40根，如何分 36 快最值与方案问题 配甲、乙两种跳绳的购买量，才能使付款总金 额w(元)最少？ 3.某水果种植基地计划租几辆货车装 运苹果和橘子共60吨去外地销售， 要求每辆货车只能装一种水果，且 必须装满。 水果 苹果 橘子 每辆车装载量/吨 6 每吨获利/元 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的 货车有y辆，请用含x的代数式来表示y. (2)写出总利润W(元)与装运苹果的货车数 量x(辆)之间的函数表达式， (3)若装运苹果的货车数量不得少于装运橘 子的货车数量，应怎样安排才能获得最大利 润？最大利润是多少？ 类型二方案问题 4.某通信公司就手机流量套餐推出三种方案， 如下表： 方案 A ◇ 每月基本费用/元 20 56 266 每月免费使用流量/兆 1024 2 无限 超出后每兆收费/元 A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每 月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图 所示。 (1)请求出m,n的值， (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于 1024兆时，求每月所需的费用y(元)与每月 使用的流量x(兆)之间的函数表达式. (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超 过多少兆时，选择C方案最划算？ y/元 A方案 B方案 266 -C方案 20日 0102411443072 x/兆 (第4题) 第12章函数与一次函数 5.★(2024·毫州蒙城期末)坚持“五 育”并举，全面发展素质教育，某中 学为丰富学生的第二课堂，准备购 买一批每副售价为60元的羽毛球拍和每筒 售价为10元的羽毛球.购买时，发现商场正 在进行两种优惠促销活动， 活动甲：买一副羽毛球拍送一简羽毛球； 活动乙：按购买金额打9折付款， 学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球 x(x≥10)筒. (1)写出每种优惠促销活动实际付款金额 y甲（元），yz(元)与羽毛球的数量x(简)之间 的函数表达式. (2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优 惠促销活动付款更省钱？ (3)如果商场允许可以任意选择一种优惠促 销活动购买，也可以同时选择两种优惠促销 活动购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和 羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案， 37