12.3 一次函数与二元一次方程-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

时，直线y,在直线y2的上方.所以关 于x的不等式(1-k)x+b+1≥0的 解集为x≥一1. 10.x>2解析：因为一次函数y= a.x十b的图象与x轴相交于点A(2, 0),且y随x的增大而减小，所以 ax+b<0的解集为x>2.因为正比 例函数y=mx,y随x的增大而增 大，所以mx>0的解集为x>0.所以 m.x>0, 关于x的不等式组 的解集 ax+b<0 为x>2. 11.(1)x=3 (2)2<x<3解析：由题意知，函数 y2=mx一m的图象过点A(3,2),则 有3m-m=2,解得m=1.所以y2= x一1.由题意知，点B在函数y2= x-1的图象上，令y2=1,得x=2.所 以，点B的坐标为(2,1).如图，设函数 y,的图象向下平移得到函数y3= kx十b'的图象.由图象知，关于x的 不等式k.x十b<x一1的解集为x> 2;关于x的不等式x一1<kx+b的 解集为x<3.所以不等式组k.x十b'< x一1<k.x十b的解集为2<x<3.所 以当y3<y2<y1时，x的取值范围 是2<x<3. y2x-1 A B 23 y=kx+b y3hx+b' (第11题) 12.(1)把P(n,-3)代人y= -2x+3,得-3=-2m+3,解得 =3. 所以点P的坐标为(3，一3). 把P(3,-3)代入y=-x十m, 得-3=-号×3十m,解得m= 2 、3 2 (2)关于x的不等式-2x十m> 一2x十3的解集为x>3. )在y=4号中，令=0，则 1 3 y=-2: 所以函数y=一号x十m的图象与 y轴的交点为(0，-)片 将函数y=一2x十3的图象向左平移 a个单位长度后得到直线l,则易得直 线！对应的函数表达式为y= -2(x+a)+3. 因为直线1与函数)y=一2x十m的 图象的交点在y轴上， 所以把0，-号)代人y=一2(x十 a)十3，得- =-2(0十a)+3,解得 2 9 a41 13.(1)因为y=|x-1= x-1(x≥1)， -x+1(x<1), 且当x=1时， y=0, 所以函数y=|x一1|的图象是以点 (1,0)为端点的两条射线。 易得点(0,1)，(2,1)在函数y=|x-1 的图象上， 如图，分别过点(1,0)，(0,1)及点(1， 0),(2,1)画射线可得函数y=x一1 的图象 (2)x=0或x=4. (3)如图，由图象，可知当x<0或 x>4时，函数y=x一1的图象在函 数y=2x十1的图象的上方. 所以当y=x一1|的函数值大于y= 2x十1的函数值时，x的取值范围是 x<0或x>4 6-53201.￥.34.6x 2 15 6 (第13题) 12.3 一次函数与二元一次 方程 第1课时二元一次方程的 图象解法 1.C2.C3.B4.y=2x-3 10 5.由2x+3y-6=0,得3y= -2x+6. 2 所以y=一3x+2, 图象如图所示 (1)根据图象，可得当y=一4时，x= 9:当y=0时，x=3;当y=2时， x=0. (2)因为直线是由无数个点组成的， 所以这些点的坐标都满足2x+3y 6=0. 所以二元一次方程2x+3y一6=0有 无数组解 3-2-10 89x +2 3 -4 (第5题) 6.D7.A8.C9.D 10.2x-y=-311.2 12.在4x-3y=12中，令y=0,则 4x=12,解得x=3. 所以，点A的坐标为(3,0)。 所以OA=3. 在4x-3y=12中，令x=0,则 -3y=12,解得y=-4. 所以点B的坐标为(0，一4). 所以OB=4. 所以三角形AOB的面积=OA· 0B=2X3×4=6. 13.设他买了x支铅笔，y本练习本， 则有y=10一3x. ①列表： 2 y 7 4 ②描点、连线，在平面直角坐标系中 画出函数的图象如图所示。 ③观察图象，点(1,7)，(2,4)，(3,1) 在函数的图象上，即3.x十y=10的正 x1=1,x2=2,x3=3, 整数解为 y1=7,y2=4,y3=1. 所以他买了1支铅笔、7本练习本或 2支铅笔、4本练习本或3支铅笔、 1本练习本 0 (第13题) 14.(1) |x=1,x=2,x=3, y=3,y=2,{y=1. (2)将点M平移后所得的点M的坐 标为(1+b,3-a). 因为点M'(1+b,3一a)在二元一次 方程x十y=4对应的函数图象上， 所以1+b+3-a=4. 所以a=b. 第2课时二元一次方程组的 图象解法 1.C2. x=1,3.-10 v=2 4.(1)函数图象如图所示. 交点的坐标为(2,1). 2)①方程组一y=1:可化为 (4y=x+2 y=x-1, 1 ,1 v=4x+2 因为两个函数图象的交点的坐标为 (2,1), 所以方程组一y=1, x=2, 的解为 4y=x+2 y=1. ②由图象，可知当x<2时，函数y= x-1的图象总在函数y=子x+号 的图象的下方， 所以不等式x一1<子x十号的解集 为x<2 6 2 543219 2345x 3 4 (第4题) 方法归纳 利用图象解二元一次 方程组的步骤 先将二元一次方程组中的两 个方程分别化为一次函数的形式， 然后在同一平面直角坐标系中准 确地作出函数图象，观察交点的坐 标，交点的坐标就是二元一次方程 组的解 5.A 6.A解析：因为关于x,y的方程组 x+2y=5, 有无穷多组解，所以直线 2z+4y=k x+2y=5与直线2x+4y=k重合. 所以k=10.当k=10时，方程组 kx十2y=1,为 0x+2y=7,因为 5.x+4y=8 5x+4y=8. 102 10x+2y=7, 号≠4，所以方程组6x十4=8 有唯一解」 7.二解析：根据题意可知， x-2y=a+1①， ①十②，得3x 2.x-y=-a+2②， 3y=3,化简得x一y=1,其对应的一 次函数的表达式为y=x一1.因为 1>0,-1<0,所以一次函数y=x-1 的图象经过第一、三、四象限，不经过 第二象限.所以点P一定不会在第二 象限. 8.(32,4800)解析：根据题意，可得 驽马的行走路程s(里)关于行走时间 t(日)的函数表达式为s=150t,良马 的行走路程s(里)关于行走时间 t(日)的函数表达式为s=240(t 12),则两个图象的交点P的坐标是 两条直线对应的函数表达式组成的方 s=150t 程组 s=240(t-12 、的解.解方程组 得=32， 所以点P的坐标为(32， s=4800. 4800). 9.(1)把P(m,6)代人y=-3x, 得一3m=6,解得m=一2. 所以P(-2,6). 把B(3,1)和P(-2,6)代人y=kx+ 3十b=1，.解得6=4. k=一1， b,得-2k+b=6, 所以一次函数的表达式为y= 一x+4. (2)由(1)知，一次函数的表达式为 11 y=-x+4,令y=0,得-x十4=0， 解得x=4. 所以C(4,0). 所以OC=4. 因为P(一2,6)， 所以三角形COP的面积=20C· 1 1n=2×4×6=12. (3)由图象可知，正比例函数y= -3x的图象与一次函数y=kx十b 的图象交于点P(一2,6)， 所以关于x,y的方程组 y+3x=0, 的解为 x=-2, y-kx-b=0 y=6. 10.函数y1=2x-2与函数y2= 一2x+6的图象如图所示. x=2, (1) y=2. (2)1<x<3. (3)当x=0时，易得y1=-2, y2=6. 所以点A的坐标为(0，一2)，点B的 坐标为(0,6). 所以AB=8. 令2x-2=-2x+6,解得x=2,此时 y1=y2=2. 所以点C的坐标为(2,2). 所以三角形ABC的面积=2AB· 1 X8×2=8. Ic-2 (4)因为三角形ABC与三角形ABP 的面积相等， 所以设点P的横坐标为a,则易得 |a=2. 又因为点P异于点C, 所以a=-2. 所以y1=2×(-2)-2=-6. 所以点P的坐标为（一2，一6）. \4y y=2x-2 y2=-2x+6 (第10题) 第3课时一次函数的简单 应用一双一次函数图象问题 1.D2.20 3.(1)由题意，得y1关于x的函数 表达式为y1=10x. 设y2关于x的函数表达式为y2= kx+b(k≠0). 把(0,120)，(10,160)代人，得 b=120, k=4, 解得 10k+b=160, b=120. 所以y2关于x的函数表达式为y2 4x+120. 所以m的值为4. (2)当小明的游泳次数x满足15≤ x<20时，选择套餐一所需的费用较 少：当小明的游泳次数x满足20< x≤30时，选择套餐二所需的费用较 少：当小明的游泳次数为20时，选择 两个套餐所需的费用一样. 理由：由题意，得小明的游泳次数x 的范围是15≤x≤30. 令10x<4x十120，解得x<20 所以当小明的游泳次数x满足15 x<20时，选择套餐一所需的费用 较少. 令10x>4x十120，解得x>20. 所以当小明的游泳次数x满足20< x≤30时，选择套餐二所需的费用 较少 令10x=4x+120,解得x=20. 所以当小明的游泳次数为20时，选择 两个套餐所需的费用一样」 4.D 5.甲解析：设y甲=1x.将(5,100) 代人，得5k,=100,解得k1=20.所以 y甲=20z.设y乙=k2x+100.将(20， 300)代人，得20k2+100=300,解得 k2=10.所以y2=10.x+100.令 y甲=y乙，即20.x=10.x+100,解得 x=10.由题图可知当x<10时， y甲<y乙.所以当小明的人园次数为8 时，选择甲消费卡比较合算. 6.0.8或1解析：由题意，可知甲的 速度是9-30(km/,乙的速度是 60 3.5-0.5=20(km/h).设乙出发xh 时两人恰好相距5km.由题意，得 30(x+0.5)+20.x+5=60或30(x十 0.5)+20x一5=60，解得x=0.8或 x=1.所以乙出发0.8h或1h时两人 恰好相距5km. 7.(1)由题意，得y甲=0.85x. 当0≤x≤300时，yz=x. 当x>300时，yz=300+(x一 300)×0.7=0.7x+90. {x(0x300), 所以y乙= 0.7x+90(x>300). (2)令0.85x=0.7x+90,解得 x=600. 将x=600代人y甲=0.85.x,得y甲= 0.85×600=510. 所以点A的坐标为(600,510). (3)由题图，可得当x<600时，去甲 店购买体育用品更合算： 当x=600时，去两个体育用品专卖 店购买体育用品一样合算： 当x>600时，去乙店购买体育用品 更合算 8.(1)2:200. (2)设线段FG所在的直线对应的函 数表达式为s=kt十b(k≠0). 把F(3,0),G(7,1200)代人，得 3k+b=0, k=300, 解得 7k+b=1200, b=-900 所以线段FG所在的直线对应的函数 表达式为s=300t-900. 所以乐乐从A地到C地对应的函数 表达式为s=300t-900(3≤t≤7). (3)设线段OH对应的函数表达式为 s=k1t(k1≠0,018). 把H(8,1200)代人，得1200=8k1, 解得k,=150. 所以线段OH对应的函数表达式为 s=150t(018). ①当0t≤2时，2001=400-150t, 解得19。 ②当2<t3时，400=150t一400，解 16>3,不合题意，舍去 得1 ③当3<t≤7时，400-(3001 900)=150t-400或(3001一900) 400=1501-40,解得1=号或1=6. 综上所述，乐乐到达C地之前，当两 人到B地的距离相等时，楠楠跑步的 时间为号mim或号min或6min 专题特训三利用一次函数 解决最值与方案问题 1.(1)设A款文创产品每件的进价 是a元，则B款文创产品每件的进价 是(a-15)元. 12 根据题意，得960-780 aa-15,解得a= 80.经检验，a=80是原分式方程的 解，且符合题意， 所以80一15=65（元） 所以A款文创产品每件的进价是 80元，B款文创产品每件的进价是 65元. (2)设总利润为心元，购进A款文创 产品x件，则购进B款文创产品 (100一x)件. 根据题意，得80x十65(100一x)≤ 7400,解得x≤60. 所以心=(100-80)x+(80-65)· (100-x)=5.x+1500. 因为5>0， 所以心随x的增大而增大. 所以当x=60时，W最大=5X60十 1500=1800,此时100-x=40. 所以购进A款文创产品60件，购进 B款文创产品40件，才能使销售完后 获得的利润最大，最大利润是1800元. 2.(1)当0≤x≤20时，y=15x; 当x>20时，y=20×15+15×0.8× (x-20)=12x+60. 15x(0x20), 所以y=12x+60(x>20). (2)设购买甲种跳绳m根，则购买乙 种跳绳(60-m)根. 当10≤m≤20时，=15m+18(60 m)=-3m+1080, 因为-3<0， 所以心随m的增大而减小 所以当m=20时，有最小值，为 -3×20+1080=1020. 当20<m40时，=12m+60+ 18(60-m)=-6m+1140. 因为-6<0， 所以随m的增大而减小. 所以当m=40时，w有最小值，为 -6×40+1140=900. 因为900<1020， 所以购买甲种跳绳40根，乙种跳绳 20根，才能使付款总金额最少 3.(1)由题意，得4x+6y=60. 所以y=一3x+10. (2)由题意，得W=1200×4x+ 1500X6y=480z+90(-号x+ 10)=-1200x+90000.拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 12.3一次函数与二元一次方程 第1课时二元一次方程的图象解法 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.以方程-2x一y=14的解为坐标的点组成的 6.如图，过点Q(0,3)的一次函数与正比例函数 图象是一条直线，这条直线对应的一次函数 y=2x的图象交于点P,能表示这个一次函 表达式为 ( 数图象的方程是 A.y=-2x+14 B.y=2x-14 A.3x-2y+3=0 C.y=-2x-14 D.y=-x+7 B.3x-2y-3=0 01 2.下列有序实数对是二元一次方程3x一y=4 C.x-y+3=0 ( (第6题) 的解的为 D.x+y-3=0 A.(3,2) B.(2,3) 7.二元一次方程2x+5y=32的正整 C.(1,-1) D.(2,-2) 数解有 ( 3.若二元一次方程a.x+by=c对应如图所示 A.3组 B.4组 的直线，则这个二元一次方程可能为( C.5组 D.6组 A.3x-2y=6 y 8.下列图象中，以方程y一2x一2=0的解为坐 B.2x-3y=6 3 标的点组成的图象是 () C.2x-3y=-6 2 D.3x-2y=-6 (第3题) 4.在平面直角坐标系中，以二元一次方程3x一 012 -1012x -1 2y=6的解为坐标的所有点都在一次函数 2 的图象上 A B. 5.已知二元一次方程2x十3y一6=0.把y看成 2 AA 1 x的函数，画出它的图象，并根据图象回答下 -1,012x 列问题： 11012x 1 -2 -2 (1)当y=一4,0,2时，对应的x的值是 C D 多少？ 9.下表中的每一对x,y的值都是二元一次方 (2)从图象上看，二元一次方程2x十3y 程2x十y=6的一组解，则下列结论正确 6=0有几组解？ 的是 ) -3 -2 -101 2 3 y 12 1086420… A.x取任何实数，y≥0 B.当y<4时，x<1 C.当x>0时，y的最大值是4 D.当x增大时，y随之减小 30 第12章函数与一次函数 10.在平面直角坐标系中，将直线y=2x一1向思维拓展 上平移4个单位长度后，所得直线上的每个 14.如图，在平面直角坐标系中，把二 点的坐标所满足的二元一次方程为 元一次方程x十y=4的若干组解 用点表示出来，发现它们都落在同 11.若以二元一次方程x十2y一b=0的解为坐 一条直线上.一般地，任何一个二元一次方 标的点（红，y)都在直线y=一x十6-1 程的所有解用点表示出来，它的图象就是一 条直线.根据这个结论，解决下列问题： 上，则常数b= (1)根据图象判断二元一次方程x+y=4 12.在平面直角坐标系中，以方程4x一3y=12 的正整数解为 (写 的解为坐标的点所组成的直线与x轴交于 出所有正整数解). 点A,与y轴交于点B,O为坐标原点，求三 (2)若在直线上取一点M(1,3),先将点M 角形AOB的面积. 向下平移a个单位长度，再向右平移b个单 位长度得到点M',发现点M'又重新落在二 元一次方程x十y=4对应的函数图象上， 试探究a,b之间满足的数量关系. 34 M(1,3) 2 -3-2-01234x -2 (第14题) 13.已知一支铅笔3元，一本练习本1元，晓华 买铅笔和练习本（两种都要买）共花了10元 钱，他买了多少支铅笔？多少本练习本？请 你用图象法求解。 31 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第2课时二元一次方程组的图象解法 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·合肥期末)既在直线y=一3x一2 5.(2025·安庆期末)如图，直线11：y=3x一1 上，又在直线y=x十6上的点是 与直线l2:y=mx十n相交于点P(1,b),则 A.(1,7) B.(-3,3) 关于y的方程组=3江一·的解为 C.(-2,4) D.(2,8) y=mx-n 2.(2024·蚌埠期末)已知一次函数y=3x一1 与正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图 象的交点坐标是(1,2)，则关于x,y的方程 3x一y=1的解是 组 kx-y=0 3.若关于x,y的二元一次方程组 (第5题) 3x-5y+7=0, x=1, x=2, 无解，则a= A. B. 6.x+ay-5=0 y=2 (y=1 4*已知一次函效y=2一1和y十号 x=一1， x=1, D. y=2 y=4 (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这 x+2y=5, 两个函数的图象，并写出交点的坐标 6.如果关于x,y的方程组 有无穷 2x+4y=k (2)结合图象，求： kx+2y=7, 多组解，那么关于x,y的方程组 ①方程组 x一y=1, 的解. 5x+4y=8 4y=x+21 的解的情况为 ②不等式x-1< 2的解集 A.有唯一解 B.有无穷多组解 C.无解 D.都有可能 :6 5 7.已知P(x,y)是平面直角坐标系内的一个 -- -3 点，且它的坐标是二元一次方程组 2 -1 x-2y=a+1, 的解(a为任意实数)，则当 -5-4-3-2-10 1 2345x 2x-y=-a+2 a的值变化时，点P一定不会在第 象限 (第4题) 8.新考向·数学文化元朝朱世杰的《算学启蒙》 一书中有如下记载：“今有良马日行二百四十 里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二 日，问良马几何日追及之.”这个问题的大意 是现有良马和驽马各一匹，良马每天行走 32 第12章函数与一次函数 240里，驽马每天行走150里，驽马先走思维拓展 12天，然后良马出发，则良马几天可以追上 10.作出函数y1=2z-2与函数 驽马？如图所示为两匹马行走路程s(里)关 y2=一2x十6的图象，设函数 于行走时间t(日)的函数图象，则两个图象的 y1=2x一2的图象与y轴交于点 交点P的坐标是 A,函数y2=一2x十6的图象与y轴交于 ↑s/里 点B,两者相交于点C.利用图象解答下列 问题： 012 t/日 2x-y=2, (第8题) (1)方程组 的解为 2x+y=6 9.(2024·六安期中)如图，正比例函 (2)当y1>0与y2>0同时成立时，x的取 数y=一3x的图象与一次函数y= 值范围是 kx十b的图象交于点P(m,6),一次 (3)求三角形ABC的面积 函数y=kx+b的图象经过点B(3,1),与 (4)若在函数y1=2x一2的图象上存在异 x轴的交点为C 于点C的另一点P,使得三角形ABC与三 (1)求一次函数的表达式 角形ABP的面积相等，请求出点P的 (2)求三角形COP的面积 坐标. (3)结合函数图象，直接写出关于x,y的方 程组y十3=0， 的解 y-kx-b= (第9题)》 33 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第3课时 一次函数的简单应用一双一次函数图象问题 自基础进阶 且不超过30次，请你告诉他选择哪个套餐所 1.(2024·南通)甲、乙两人沿相同路线由A地 需的费用较少，并说明理由 y/元 到B地匀速前进，两地之间的路程为20km. 160 两人前进的路程s(km)与甲的前进时间 120 t(h)之间的对应关系如图所示.根据图象信 息，下列说法正确的是 10 A.甲比乙晚出发1h (第3题) B.乙全程共用2h C.乙比甲早到B地3h D.甲的速度是5km/h ↑s/km y/件 400--- 20 甲 240 40 幻素能攀升 1234t/h 60x/分钟 (第1题) (第2题) 4.(2024·六安裕安期末)如图，某电信公司的 2.某快递公司每天上午9：00至10：00为集中 手机通话收费标准有A,B两类，已知每月应 揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓 缴费用S(元)与通话时间t(分钟)之间的关 库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快 系如图所示.当通话时间为50分钟时，按这 件数量y(件)与时间x(分钟)之间的函数图 两类收费标准缴费的差为 象如图所示，则从9：00开始，经过 分 A.30元B.20元C.15元D.10元 钟时，两仓库的快件数量相同 ↑S/元 B 甲 30 ↑y/元 3.某游泳馆夏季开展宣传营销活动，设计了以 300 20 下两个套餐： 10 100 套餐一：每次收费10元，不收其他费用 050100150t/分钟 05 20x (第4题) (第5题) 套餐二：交120元购买会员卡后，每次游泳收 5.新情境·日常生活某生态体验园推出了甲、乙 费m元. 两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为 设小明的游泳次数为x,按照套餐一所需要 y元，选择这两种卡消费时，y与x之间的函 的费用y1(元)和按照套餐二所需要的费用 数关系如图所示.若小明的入园次数为8，则 y2(元)关于游泳次数x的函数图象如图 选择 消费卡比较合算（填“甲”或“乙”）. 所示 6.A,B两地相距60km,甲、乙两人分别从两地 (1)求y1和y2关于x的函数表达式，并直 出发相向而行，甲先出发.如图，11,12分别表 接写出m的值 示甲、乙两人离A地的距离s(km)与甲所用时 (2)若小明暑假期间准备游泳不少于15次， 间t(h)之间的函数关系，则乙出发 h 34 第12章函数与一次函数 时两人恰好相距5km, 思维拓展 s/km 8.在一条笔直的道路上依次有A,B,C 60 三地，楠楠从A地跑步到C地，同时 乐乐从B地跑步到A地，休息 00.5 2 3.5t/h (第6题) 1min后接到通知，要求乐乐比楠楠早1min 7.新情境·日常生活某校计划到甲、乙 到达C地，两人均匀速跑步，如图所示的折线 两个体育用品专卖店购买一批新的 DEFG和线段OH反映了两人距A地的路 体育用品，两个体育用品专卖店的 程s(m)与楠楠跑步的时间t(min)之间的函 优惠活动如下： 数关系 甲店：所有商品按原价的8.5折出售， (1)a= ,乐乐去A地的速度为 乙店：一次性购买商品总额不超过300元的 m/min. 按原价付费，超过300元的部分打7折 (2)结合图象，求出乐乐从A地到C地对应 设需要购买的体育用品的原价总额为x元， 的函数表达式（写出自变量的取值范围）】 去甲店购买实付y甲元，去乙店购买实付 (3)求出乐乐到达C地之前，当两人到B地 yz元，其函数图象如图所示， 的距离相等时，楠楠跑步的时间. (1)分别求出y甲y乙关于x的函数表达式。 ↑s/m GH (2)求两个图象的交点A的坐标 1200 (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个 400 D 体育用品专卖店购买体育用品更合算 a 3 7 8 t/min ↑y/元 y年 (第8题) 300 0 300 x/元 (第7题) 35