12.2 一次函数-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 12.2一次函数 第1课时 正比例函数的图象与性质 ☑基础进阶 为直线11，l2,l3,l4,则下列关系正确的是 1.(2025·六安舒城期末)下列式子中，表示y 是x的正比例函数的为 ( A.k1<k2<k3<k4 By=香 B.k2<k1<k4<k3 A.y=x2 C.k1<k2<k4<k3 C.yI D.k2<k1<k3<k4 (第6题) D.y=2x+3 7.易错题(2025·宿州泗县期末)如果 2.当k>0时，正比例函数y=kx的图象大 y=(m一3).xm-8是正比例函数，那 致是 么m= 8.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点 (4,2). (1)写出y与x之间的函数表达式. 3.(2024·合肥肥西期中)已知点（一2，一3）在 (2)求当x=5时，y的值. 正比例函数y=k.x的图象上，则k的值是 (3)求当y=10时，x的值. ( (4)当一2<x≤6时，画出函数图象，并求y A C.6 D 的取值范围。 4.下列函数中，是正比例函数且y随x的增大 而减小的为 ( A.y=-4x+1 B.y=4(x-3)+12 C.y=4(2-x)-8 Dy=香 5.(2024·毫州利辛期中)关于正比例函数 素能攀升 9.(2024·铜陵铜官段考)若正比例函数y y= 4x,下列结论不正确的是 ( (1一2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点 A点2，》在函数y=一的图象上 1 B(x2,y2),当x1<x2时，y1<y2,则m的取 值范围是 () B.y随x的增大而减小 C.图象经过原点 A.mo B.m2o C.m Du 2 D.图象经过第二、四象限 10.新考法·新定义题定义运算“￥”：a*b= 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ab(b>0), k1x,y=k2x,y=k3x,y=k4x的图象分别 -ab(b≤0)， 如1￥(-2)=-1×(-2)= 16 第12章函数与一次函数 2,则函数y=2x的图象大致是（)14.(2024·安庆期末)已知y=y1十y2y1与x 未平第 成正比例，y2与x一3成正比例，当x=一1 时，y=4;当x=1时，y=8,求y与x之间 的函数表达式 11.分类讨论思想(2024·合肥期中)已知正比例 函数y=kx,当一4≤x≤4时，函数有最大 值3，则k的值为 12.已知函数y=(k十3)x. (1)当k满足什么条件时，该函数为正比例 函数？ (2)当k满足什么条件时，该函数的图象经 过第一、三象限？ (3)当k满足什么条件时，y随x的增大而 减小？ (4)当k为何值时，该函数的图象经过点 思维拓展 (1,1)? 15.新考法·规律探究题如图，在平面 直角坐标系中，函数y=2x和 y=一x的图象分别为直线l1,l2, 过点(1,0)作x轴的垂线交L1于点A1,过 点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2 作x轴的垂线交1于点A3,过点A?作 13.如图，正比例函数y=k.x的图象经过点A, y轴的垂线交l2于点A4,过点A4作x轴 点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴于 的垂线交l1于点A…依次进行下去，求 点H,点A的横坐标为4，且三角形AOH 点A2o21的坐标. 的面积为6. (1)求正比例函数的表达式。 (2)在x轴上是否存在一点P,使三角形 AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由， (第15题)》 y=kx H 0 A (第13题) 17 拔尖特训·数学（护科版）八年级上 第2课时一次函数的图象 自基础进阶 7.将直线y=一2x+4向右平移1个单位长度 1.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x一3 后得到的直线与两坐标轴围成的三角形的面 的图象是 积为 3 8.已知一次函数y=(3一k)x十k一1. 3 (1)当及为何值时，它的图象经过 -30 30 03 原点？ -3 (2)易错题当k取何整数时，它的图象不经 A. B. C 0 过第四象限？ 2.(2024·安庆太湖期末)已知k<0,则一次函 (3)当k为何值时，它的图象平行于直线 数y=一kx十k的图象大致是 y=x? 么日7 3.(2025·合肥包河期末)已知直线y=k.x十6 经过点（一1,3），则下列各点中，在该直线上 的是 ( A.(-5,-9) B.(0,5) C.(-2,12) D.(3,12) 4.整体思想已知一次函数y=2x一1的图象 经过点P(a,b),则2b一4a的值为( ) A.1 B.-2 幻素能攀升 C.2 D.-1 9.(2025·安庆期末)一次函数y=k.x十b与 5.(2024·铜陵铜官段考)若一次函数y= y=bx一k在同一平面直角坐标系中的图象 (2k一1)x十k的图象不经过第三象限，则k 可能是 ( 的取值范围是 A.k>0 B0E号 C.k≥0 n 6.在平面直角坐标系中，将一次函数y= 一2x十b的图象向下平移3个单位长度后得 到一个正比例函数的图象.如果点(a,5)在一 次函数y=一2x十b的图象上，那么a的值 为 18 第12章函数与一次函数 10.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别 爸思维拓展 为(2m一2,3)，(m,3),且点A在点B的左 13.学习完一次函数后，小荣遇到了这样一个新 侧.若线段AB与直线y=一2x十1相交，则 颖的函数：y=x一1|，小荣根据学习函数 m的取值范围是 () 的经验，对函数y=x一1|的图象与性质进 1 A.-1≤m≤2 B.-1≤m≤1 行了探究. (1)下表是y与x的几组对应值，请补充 C. D.0m1 完整 11.新考法·规律探究题已知点A1（a1,a2), … -3-2 -1 0 1 23 A2(a2,a3),A3(a3,a4),…,Am（am,am+1) 2 1 (n为正整数)都在一次函数y=x+3的图 (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出 象上.若a1=2,则a22= 以上表中各组对应值为坐标的点，画出该函 12.新考法·新定义题在平面直角坐标 数的图象. 系中，我们不妨把纵坐标是横坐标 (3)小荣通过进一步探究，发现该函数图象 的2倍的点称为“理想点”，如点 的最低点的坐标是(1,0)，结合函数的图象， (一2，一4)，(1,2)，(3,6)…显然这样的 写出一条该函数的其他性质， “理想点”有无数个， y (1)M(2,a)是“理想点”，且在正比例函数 y=kx(k为常数，k≠0)的图象上，求这个正 比例函数的表达式 01 (2)函数y=3x一1的图象上存在“理想点” 吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不 存在，请说明理由. (第13题) 19 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第3课时一次函数的性质 ☑基础进阶 7.已知关于x的一次函数y=(1一3k)x+2k一1. 1.(2025·合肥期末)在一次函数y=(2m+ (1)当及为何值时，该一次函数的图象交 2)x十4中，y随x的增大而增大，那么m的 x轴于点（子9 值可以是 (2)若y随x的增大而增大，求k的取值 A.0 B.-1 C.-1.5D.-2 范围 2.(2024·长沙)对于一次函数y=2x一1，下列 结论正确的是 ( A.它的图象与y轴交于点(0，一1) B.y随x的增大而减小 C当>时y0 D.它的图象经过第一、二、三象限 3.(2024·蚌埠五河期中)已知点（一2，y1),(1, y2)都在直线y=一 3x+1上，则y1与y 大小关系是 幻素能攀升 A.y1>y2 B.y=y2 8.(2024·蚌埠段考)已知A(x1,y1),B(x2 C.yy2 D.无法判断 y2)是一次函数y=(a十2)x-12的图象上 4.(2024·临夏)在一次函数y=kx一1(k≠0) 不同的两个点，若记m=（x1一x2)（y1 中，y随x的增大而减小，则它的图象不经过 y2),则当m>0时，a的取值范围是() 的象限是 A.a<12B.a>12C.a<-2D.a>-2 A.第一象限 B.第二象限 9.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在一次函数 C.第三象限 D.第四象限 y=x十b(k≠0)的图象上，当x1<x2时， 5.(2024·毫州蒙城期中)关于x的一次函数 y2>y1,且b>0,则在平面直角坐标系中， y=(m+1)x+一2，若y随x的增大而增 该一次函数的图象大致为 大，且其图象与y轴的交点在x轴下方，则实 数m的取值范围是 ) A.m<-1 B.m>-2 C.-1<m<2 D.-2<m<1 10.新考法新定义题对于实数a,b,定 6.已知一次函数y=(1-2a)x十a 3如果y 义符号max{a,b}的意义如下：当 随x的增大而减小，那么在平面直角坐标系 a≥b时，max{a,b}=a;当a<b 中，这个函数的图象与y轴的交点在y轴的 时，max{a,b}=b.如max{4,一2}=4， 半轴上（填“正”或“负”） max{3,3}=3.若关于x的函数为y= 20 第12章函数与一次函数 max{2.x一1，一x+2},则该函数的最小值为 思维拓展 ( 15.分类讨论思想当一1≤x≤3时，函数y= A.2B.1 C.0 D.-1 |x一k(k为常数)的最小值为k十3，则k 11.(2024·滁州全椒期中)当1≤x≤5时，一次 的值为 函数y=一2x十3b十4的最小值为一12，则 16.新考法·新定义题定义[p,q]为一 b= 次函数y=px十q的“特征数”. 12.(2024·池州段考)已知直线y=(6 (1)若“特征数”是[k一1，k2-1]的 2a)x+4a一7与y轴的正半轴相交，y随x 一次函数的图象经过原点，求k的值， 的增大而增大，且a为整数. (2)若“特征数”为[2m十1，m十2]的一次函 (1)a= 数的函数值y随x的增大而减小，且它的图 (2)如果一2≤x≤3，那么y的取值范围是 象与y轴的交点在x轴的上方，求整数m 的值 13.已知关于x的一次函数y=(2a+4)x+3 (3)如何平移(2)中一次函数的图象，可以 b,请分别根据下列条件，确定a,b的取值 得到“特征数”为[2m十1,0]的一次函数的 范围。 图象？ (1)y随x的增大而增大 (2)y随x的增大而减小，且图象与y轴的 负半轴相交. (3)图象与y轴的交点在x轴的上方. 14.易错题已知一次函数y=a.x一a十1(a为 常数，且a≠0) )若点(-33)在一次函数y=ar一a十 1的图象上，求a的值， (2)当一1≤x≤2时，函数有最大值2，请求 出a的值， 21 拔尖特训·数学（护科版）八年级上 第4课时 待定系数法求一次函数的表达式 ☑基础进阶 (2)若点(m,一2)在这个函数的图象上，求m 1.(2024·阜阳临泉段考)如果一次函数y= 的值 2kx-3的图象经过点(2，一5)，那么k的 值为 A.2 B.-2 c n号 2.(2024·安庆期末)某一次函数的图象经过点 素能攀升 (1,一2)，且y随x的增大而减小，则这个函 8.如图，在平面直角坐标系中，把直线1沿x轴 数的表达式可能为 方向向右平移2个单位长度得到直线'，则 A.y=2.x-4 B.y=3x-1 直线'对应的函数表达式为 () C.y=-3x+1 D.y=-2x+4 A.y=2x+2 B.y=-2x-2 3.(2024·安庆太湖期末)一次函数y=kx十b C.y=2x-4 D.y=2x-2 的图象经过点A(2,3),每当x增加1个单位 Ay 长度时，y增加3个单位长度，则此函数的表 达式为 0112 0CAx A.y=-3x-5 B.y=3x-3 (第8题) (第9题》 C.y=3x+1 D.y=3.x-1 9.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与 4.(2024·滁州段考)若直线1与直线y= x轴、y轴交于A,B两点，P为线段AB上的 一x一1平行，且直线1过点(3，一5)，则直线 一个动点，且不与点A,B重合，过点P分别 1对应的函数表达式为 作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C,D.已知 5.已知一个一次函数x与y的部分对应值 四边形OCPD的周长为8，则直线AB对应 如下表： 的函数表达式为 () A.y=x+8 B.y=x+4 7.5 6 4.5 C.y=-x+8 D.y=-x+4 写出这个一次函数的表达式： 10.易错题(2024·合肥期中)若一次函数y= 6.已知一次函数y=kx十b(k≠0)的图象经过 kx+b的图象的截距为一4且与两坐标轴 点A(一2,3)，且与x轴的交点B到坐标原 所围三角形的面积为4，则此一次函数的表 点的距离为1，则这个一次函数的表达式为 达式为 11.分类讨论思想☐(2024·六安霍邱 7.(2024·合肥期中)已知y+6与x十1成正比 段考)对于一次函数y=kx十b,当 例，当x=3时，y=2. 0≤x≤1时，2≤y≤3，则该一次函 (1)求y与x之间的函数表达式. 数的表达式为 22 第12章函数与一次函数 12.如图，直线l1:y=x十3与过点A(3,0)的直思维拓展 线l2交于点C(1,m),与x轴交于点B, 14.如图，A是x轴上位于原点左侧的 (1)求直线l?对应的函数表达式， 点，点P(2,p)在第一象限，直线 (2)若点M在直线I1上，MN∥y轴，交直 PA交y轴于点C(0,2),三角形 线l2于点N,且MN=AB,求点M AOP的面积为6.求： 的坐标. (1)三角形COP的面积， (2)点A的坐标及p的值. B O A (第12题) 0 (第14题) 13.如图，直线AB与x轴相交于点A(1,0),与 y轴的负半轴相交于点B,且OB=2OA. (1)求直线AB对应的函数表达式. (2)若直线AB上有一点C,且S三角形OC= 2,求点C的坐标. (第13题) 23 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第5课时一次函数的简单应用一： 分段函数问题 ☑基础进阶 《素能攀升 1.(2024·安庆桐城期中)商户小李以每件7元 4.小明从家步行到公交站台，然后等公交车去 的价格购进某商品若干件到市场去销售，销 单位，下公交车后又步行了一段路程才到单 售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系的 位.如图，图中的折线表示小明所行的路程 图象如图所示，则降价后销售每件商品获得 s(m)与所花时间t(min)之间的函数关系.下 的利润为 ( 列说法正确的是 () A.5元 B.8元C.3元 D.10元 A.小明等公交车的时间为5min ↑y/元 y/km 160 B.小明步行的速度是60m/min 1000 C.小明全程的平均速度为290m/min 600 D.公交车的速度是500m/min 0 4080x/件 2 x/h ↑s/m (第1题) (第2题) 6800 6400 ↑y/L 2.汽车在行驶过程中，路程y(km)与时间x(h) 30 之间的函数关系如图所示.当0≤x≤1时，y 畅 o 关于x的函数表达式为y=60x,则当1≤ 400 0 58 20 25 t/min 0 4 8 12 x/min x≤2时，y关于x的函数表达式为 (第4题) (第5题) 3.新情境·日常生活某市自来水公司为了鼓励 5.一个有进水管与出水管的容器，从 市民节约用水，水费按分段收费标准收取.居 某时刻开始的4min内只进水不出 民每月应缴水费y(元)与用水量x(吨)之间 水，在随后的8min内既进水又出 的函数关系如图所示 水，每分钟的进水量和出水量是恒定的.容器 (1)若用水量不超过10吨，则水费为 中的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如 元/吨. 图所示.有下列说法：①当0≤x≤4时，y与 (2)当用水量超过10吨时，求该函数图象对 x之间的函数表达式为y=5.x;②当4<x≤ 应的一次函数的表达式， 5 12时，y与x之间的函数表达式为y= (3)若某户居民8月共缴水费65元，则该户 居民8月共用水多少吨？ 15;③进水速度为5L/min;④出水速度为 ↑y/元 3.75L/min.其中，正确的有 ( 49 A.1个B.2个C.3个D.4个 25 6.生物活动小组的同学们观 ↑y/cm CD 0 1016x/吨 察某植物生长，得到该植2 B (第3题) 物的高度y(cm)与观察时 6 间x(天)的函数关系如图 0 305060x/天 所示(CD∥x轴).该植物 (第6题) 最高长到 cm. 26 第12章函数与一次函数 7.某通信公司提供了两种移动电话收费方式：爸思维拓展 方式一，收月基本费20元，再以每分钟 9.某风景区门票价格如图所示，有甲、 0.1元的价格按通话时间计费；方式二，收月 乙两个团队，计划在端午节期间到 基本费20元，送80分钟通话时间，超过 该风景区游玩.甲、乙两个团队的游 80分钟的部分以每分钟0.15元的价格计 客人数之和为100，乙团队的人数不超过40. 费.有下列结论：①如图所示的图象描述的 设甲团队的人数为x,如果甲、乙两个团队分 是方式一的收费方法；②若月通话时间少于 别购买门票，那么两个团队所需门票的费用 240分钟，则选择方式二更省钱；③若月通话 之和为y元. 费用为50元，则方式一比方式二的通话时间 (1)写出y关于x的函数表达式，并写出自 多.其中，正确的是 (填序号). 变量x的取值范围， ↑y/元 28 (2)若甲团队的人数不超过80，则甲、乙两个 20 团队联合购票比分别购票最多可节省多 少钱？ 0 80x/分钟 (3)端午节之后，该风景区对门票价格调整 (第7题)》 8.直播已成为一种新型的媒体传播方式，如图 如下：人数不超过40时，门票价格不变；人数 所示的折线反映了某主播直播期间的在线观 超过40但不超过80时，每张门票降价a元： 看人数y(万)与其直播时间t(h)之间的函数 人数超过80时，每张门票降价2a元.在(2) 关系 的条件下，若甲、乙两个团队端午节之后去游 (1)求y与t之间的函数表达式 玩，此时联合购票比分别购票最多可节省 (2)若直播平台规定：主播的直播时间不得 3900元，求a的值， 门票价格/（元/张） 少于号也不得超过4h求该主播直播别间 的在线观看人数的最小值， ↑y/万 40 80 人数 24 (第9题) 23 t/h (第8题) 27100÷5.5= 200 11 (s),小南跑到终点的 时间是2+100÷7=4(s),因为 7 200,所以小南先跑到终点.所 117 以D符合题意. 5.A解析：由题意，易得0时到5时 的最高气温与最低气温的差逐渐增 大：5时到10时的最高气温与最低气 温的差不变：10时到14时的最高气 温与最低气温的差逐渐增大：14时到 24时的最高气温与最低气温的差不 变.只有选项A符合题意】 6.①④解析：由题图，知小亮前 12分钟的速度是(1800-960)÷12= 70(米/分).所以①正确.由题图，知小 亮第19分钟时又回到学校.所以②错 误.小亮返回学校时的速度是 (1800-960)÷(19-12)=120(米/ 分)，所以小亮第15分钟时离家的距 离是960+(15一12)×120= 1320(米).从第21分钟到第41分钟 小亮的速度是1800÷(41一21) 90(米/分)，所以小亮第24分钟时离 家的距离是1800一(24一21)×90= 1530(米).因为1320≠1530，所以 ③错误.小亮第33分钟时离家的距离 是1800一(33一21)×90=720（米）. 所以④正确.综上所述，正确的是 ①④. 易错警示 读函数图象的误区 (1)忽视横、纵坐标分别表示 哪个量，某一变化过程属于哪种 变化. (2)从原，点开始分析每段图象 时，易忽略自变量与函数值如何 变化. 7.(1)甲车加快速度前的速度是 80÷2=40(km/h). (2)到11时，甲车行驶了80+(180一 80)÷(4一2)×(11-8一2)= 130(km). (3)设乙车的速度是xkm/h. 根据题意，得 /11-9)x≤130， (12-9)x≥180， 解得 60x65. 所以乙车的速度大于等于60km/h, 小于等于65km/h. 8.(1)30:40. (2)10. (3)这架运输飞机在加油过程中每分 钟的飞行油耗为(40+30-69)÷10 0.1(t). (4)最多还能飞行69÷0.1÷60= 11.5(h) 12.2一次函数 第1课时正比例函数的图象 与性质 1.B2.A3.A4.C5.A 6.B 7.一3解析：根据题意，得m-3≠ 0且m2一8=1.所以m=-3. 一易错警示 忽略正比例函数的比例系数 k≠0致错 根据正比例函数的定义确定 表达式中字母的值或取值范围时， 要先根据“比例系数k≠0，自变量 x的次数是1”列方程或不等式，再 求解.运用定义求解时，不要忽略 “比例系数≠0”这一条件. 8.(1)把x=4,y=2代入y= kx(k≠0)，得2=4k,解得k=0.5. 所以y与x之间的函数表达式为 y=0.5x. (2)把x=5代入y=0.5x,得y= 0.5×5=2.5. (3)把y=10代人y=0.5.x,得10= 0.5x,解得x=20. (4)把x=-2代入y=0.5x,得y= 0.5×(-2)=-1 把x=6代人y=0.5.x,得y=0.5× 6=3. 画出函数图象如图所示 由图象，可得-1<y≤3. y 4 3--------------升 2 1 -32>10123456x -2F -31 (第8题) 9.C解析：因为正比例函数y= (1一2m)x的图象经过点A(x1,y1) 和点B(x2,y2),当x1<x2时，y1< y2,所以y随x的增大而增大.所以 5 1一2m>0,解得m<行 10.C解析：由题意，知y=2￥x= 2x(x>0),当x>0时，图象是函 {-2x(x≤0). 数y=2x的图象在y轴右侧的部分； 当x≤0时，图象是函数y=一2x的 图象在y轴左侧的部分（包括原点）. 所以只有选项C符合题意， 1.子或号 3 12.(1)根据题意，得k十3≠0，解得 k≠一3. (2)根据题意，得k十3>0，解得 k>-3. (3)根据题意，得k+3<0,解得 k<-3. (4)把(1,1)代入y=(k+3)x,得 k十3=1，解得k=-2. 13.(1)因为AH⊥x轴，点A的横 坐标为4，且三角形AOH的面积 为6， 所以合X4AH=6 所以AH=3. 因为点A在第四象限， 所以点A的坐标为(4，一3). 把A(4,一3)代人y=kx,得一3=4k, 3 解得k=一4 所以正比例函数的表达式为y= -ir. (2)存在 设点P的坐标为(t,0) 因为三角形AOP的面积为9， 所以2×1×3=9，解得1=6或 1=-6. 所以点P的坐标为(6,0)或（一6,0）. 14.设y1=k1x,y2=k2(x一3)，则 y=y1十y2=k1x十k2(x-3). 把x=-1,y=4和x=1,y=8分别 代人，得 解得 k1=4, k2=-2. 所以y=4x一2(x一3)=2x+6. 所以y与x之间的函数表达式为y= 2x+6. 15.在y=2x中，当x=1时，y=2. 所以点A1的坐标为(1,2). 在y=一x中，当y=2时，一x=2,解 得x=一2. 所以点A2的坐标为（一2,2） 同理，可得点A3(一2，一4)，A4(4, -4),A(4,8),A6(-8,8), A2(-8,-16),A8(16,-16), Ag(16,32),… 所以A+1(22,22+1), A+2(-2+1,2a+1),Aw+3（-2201, 一22+2)，An+4(22咖+2，一2咖+2)(n为 自然数). 因为2021=505×4+1， 所以点A221的坐标为（2×2 205×2+1),即(2100,2101). 第2课时一次函数的图象 1.D2.D3.A4.B5.B 6.-17.9 8.(1)因为一次函数y=(3-k)x十 k一1的图象经过原点， 所以k一1=0，解得k=1. (2)因为一次函数y=(3一k)x十k 1的图象不经过第四象限， 所以8-0解得1<3. k-1≥0， 因为取整数， 所以k=1或2. 易错警示 忽略特例致错 本题易忽略正比例函数是一 次函数的特例，而遗漏答案.实际 上，一次函数的图象经过三个象 限，而正比例函数的图象只经过两 个象限，在判断一次函数的图象经 过的象限时，还应考虑函数是正比 例函数的情况，以免造成漏解 (3)因为函数y=(3-k)x+k一1的 图象平行于直线y=x, 所以3一k=1,解得k=2. 9.D 10.A解析：将y=3代人y -2x十1，得3=-2x+1,解得x= 一1.所以直线y=3与直线y= 一2x十1的交点坐标为（一1,3）.因为 点A在点B的左侧，线段AB与直线 y=一2x+1相交，所以2m一2≤ -1≤m,解得-1≤m≤2所以m 的取值范围是-1≤m≤2： 11.6065解析：因为点A1(a1, a2),A2(a2,a3),A3(a3,a4,…, An(an,am+1)都在一次函数y=x十3 的图象上，所以a2=a1十3，a3=a2十 3,a4=a3十3，…，am+1=a,十3.又因 为a1=2,所以a2=5,a3=8,a4 11,…,an=31-1.所以a202=3X 2022-1=6065. 12.(1)因为M(2,a)是“理想，点”， 所以a=4. 因为点M(2,4)在正比例函数y=kx (k为常数，k≠0)的图象上 所以4=2k,解得k=2. 所以正比例函数的表达式为y=2x. (2)存在. 设函数y=3.x-1的图象上的“理想 点”的坐标为(b,2b),则3b一1=2b, 解得b=1. 所以2b=2. 所以函数y=3x一1的图象上存在 “理想点”，它的坐标为(1,2). 13.(1)3:1:0:2. (2)描点、连线，得到函数图象如图 所示. (3)答案不唯一，如当x<1时，y随x 的增大而减小 0 (第13题)》 第3课时一次函数的性质 1.A2.A3.A4.A5.C 6.正 7.(1)因为关于x的一次函数y= (1一3k)x+2k一1的图象交x轴于 点（子o), 所以是(1-3)+2k-1=0,解得 k=-1. (2)因为y随x的增大而增大， 所以1-3k>0,解得<3 8.D解析：因为A(x1,y1),B(x2, y2)是一次函数y=(a十2)x-12的 图象上不同的两个点，所以x≠x2, y1=(a+2)x1-12,y2=(a+2)x2- 12.所以(x1-x2)2>0,y1-y2= (a十2)(x1-x2）.所以m=(x1-x2)· (y1-y2)=(x1-x2)2(a+2).因为 m>0,所以(x1-x2)2(a+2)>0.所 以a+2>0,解得a>-2. 9.A解析：因为点A(x1,y1), B(x2y2)在一次函数y=k.x十b(k≠ 0)的图象上，当x1<x2时，y2>y1, 所以k>0.因为b>0,所以b>0.所 以该一次函数的图象经过第一、二、三 象限. 10.B解析：当2x一1≥一x+2,即 x≥1时，y=2x-1.因为2>0，所以 y随x的增大而增大.当x=1时，y 取得最小值，为1.当2x-1<一x十 2,即x<1时，y=一x+2.因为一1< O,所以y随x的增大而减小.易得此 时y>1.综上所述，当x=1时，y取 得最小值，为1. 11.一2解析：由题意可知，y随x 的增大而减小.因为当1x5时， 一次函数y=一2x十3b+4的最小值 为-12，所以当x=5时，一12= -2×5+3b+4.所以b=-2. 12.(1)2 解析：由题意，得 4-7>0, 6-2a>0, 解得子<a<3.因为a是 整数，所以a=2. (2)-3≤y≤7解析：当a=2时，一 次函数的表达式为y=2x十1.因为 2>0,所以y随x的增大而增大.当 x=-2时，y=2x十1=-3；当x=3 时，y=2x+1=7.所以当-2≤x≤3 时，y的取值范围是一3≤y≤7. 13.(1)因为y随x的增大而增大， 所以2a+4>0,解得a>一2. 所以a>一2，b为任意实数. (2)因为y随x的增大而减小，且图 象与y轴的负半轴相交， 所以2a+4<0,3一b<0,解得a< -2,b>3. (3)因为图象与y轴的交点在x轴的 上方， 所以3一b>0,2a十4≠0，解得b<3, a≠一2， 14)把(-73)代人y=ax 1 a十1，得3=-2a-a十1，解得 4 a=-3 (2)分两种情况讨论： ①当a>0时，y随x的增大而增大， 所以当x=2时，y有最大值2. 把x=2,y=2代人y=a.x-a十1，得 2=2a一a+1,解得a=1. ②当a<0时，y随x的增大而减小， 所以当x=一1时，y有最大值2. 把x=-1,y=2代人y=a.x-a+1, 得2=-a-a十1，解得a=-2 综上所述0的值为一2或1。 易错警示 忽略比例系数k的取值 范围致错 一次函数的增减性是由比例 系数k决定的，如果比例系数k不 确定，那么要注意分类讨论：当≥ 0时，y随x的增大而增大，当x取 最大值时，y有最大值；当<0时， y随x的增大而减小，当x取最小 值时，y有最大值.解决与函数的最 值有关的问题时，易忽略分类讨论 而导致漏解 15.一2解析：分两种情况讨论： ①当x≥k时，函数为y=|x一k|= x一k,此时y随x的增大而增大.因 为当一1≤x≤3时，函数的最小值为 十3，所以当x=一1时，y取得最小 值，即-1一k=k十3，解得k=一2，此 时x≥k成立.②当x<k时，函数 y=x一k=一x十k,此时y随x的 增大而减小.因为当一1≤x≤3时，函 数的最小值为k十3，所以当x=3时， y取得最小值，即一3十k=k十3，此时 无解.综上所述，k的值为一2 16.(1)由题意，得k2-1=0, 所以k=土1. 又因为k一1≠0，即k≠1， 所以k=一1. (2)由题意，得 2m十1<0，解得 m+2>0, 1 -2<m<-2 因为m为整数， 所以m=一1. (3)当m=-1时，m+2=1. 所以将(2)中一次函数的图象向下平 移1个单位长度或向左平移1个单位 长度，可以得到“特征数”为[2m十1， 0]的一次函数的图象 第4课时待定系数法求 一次函数的表达式 1.C2.C3.B4.y=-x-2 5.y=- 2x+76.y=-3x-3 或y=一x十1 7.(1)设y+6=k(x十1) 将x=3,y=2代人，得8=k(3十1)， 解得k=2. 所以y+6=2(x+1). 所以y与x之间的函数表达式为y= 2x-4. (2)因为点(m,一2)在这个函数的图 象上， 所以-2=2m-4,解得m=1. 8.C9.D 10.y=2x-4或y=-2x-4 解析：一次函数y=kx十b的图象的 截距为一4，即b=一4.所以y=kx一 4.设一次函数y=kx十b的图象与 x轴交于点(a,0).因为一次函数y= k.x十b的图象与两坐标轴所围三角形 的面积为4，所以子×4Xa=4,解 得a=士2.所以一次函数的图象与 x轴的交点为(-2,0)或(2,0).①当 交点的坐标为（一2,0）时，将（一2,0） 代人y=k.x-4,得-2k-4=0,解得 k=一2.所以一次函数的表达式为 y=-2.x一4.②当交点的坐标为(2， 0)时，将(2,0)代人y=k.x-4,得 2k一4=0，解得k=2.所以一次函数 的表达式为y=2x一4.综上所述，一 次函数的表达式为y=2x一4或 y=-2x-4. 一易铝警示 忽略分类讨论致错 经过y轴上定点的直线与 x轴围成的面积问题，要分直线与 x轴的交点在x轴的正半轴上和 负半轴上两种情况考虑，否则容易 漏解 11.y=x+2或y=一x+3 解析：当k>0时，因为0≤x1,2 y≤3，所以一次函数的图象过点(0， 2),(1,3).所以 2=b,解得 3=k+b, k=1'所以y=x+2.当为<0时，因 b=2. 为0≤x≤1,2≤y≤3，所以一次函数 的图象过点(0,3)，(1,2.所以 3=b,解得b=3. 2=k+b, k=一1·所以y 一x十3.综上所述，该一次函数的表 达式为y=x十2或y=一x十3. 12.(1)由题意，得点C(1,m)在直线 l:y=x+3上. 把C(1,m)代入y=x+3,得m=4. 所以点C的坐标为(1,4). 设直线l2对应的函数表达式为y= kx+b. 因为直线12过点A(3,0),C(1,4), 所以3k十6=0解得 =-2, (k+b=4, b=6. 所以直线，对应的函数表达式为 y=-2.x+6. (2)在y=x+3中，令y=0,则 x=-3. 所以点B的坐标为（一3,0）. 因为点A的坐标为(3,0)， 所以AB=3-(-3)=6. 设点M的坐标为(a,a十3). 因为MN∥y轴，交直线l于点N, 所以，点N的坐标为(a,一2a+6. 所以MN=|a+3-(-2a+6)|= 3a-3. 因为MN=AB, 所以|3a-3|=6,解得a=3或 a=-1. 当a=3时，a十3=6；当a=-1时， a+3=2. 所以点M的坐标为(3,6)或(-1,2) 13.(1)因为点A的坐标为(1,0)， 所以OA=1. 因为OB=2OA, 所以OB=2. 由题意，得点B在y轴的负半轴上， 所以，点B的坐标为(0，一2). 设直线AB对应的函数表达式为y= kx十b(k≠0). 把A(1,0),B(0,-2)代人，得 k十b=0·解得 k=2, b=-2, b=-2. 所以直线AB对应的函数表达式为 y=2x-2. (2)设点C的坐标为(m,n). 因为S三角形c=2, 所以号×21m=2,解得m=2或 m=-2. 因为点C在直线AB上， 所以当m=2时，n=2×2-2=2:当 m=-2时，n=2X(-2)-2=-6. 所以点C的坐标为(2,2)或（一2， -6). 14.(1)过点P作PE⊥y轴于点E. 因为点P的横坐标为2， 所以PE=2. 因为，点C的坐标为(0,2)， 所以OC=2. 1 所以S三角税0p=2OC·PE= 2×2=2. (2)因为S三角形Ac=S三角形A0P S三角形c0p=6-2=4, 所以20C·0A=4,即号 20A=4. 所以OA=4. 所以点A的坐标是（一4,0）. 设直线AP对应的函数表达式为y= kx十b(k≠0) 把A(-4,0),C(0,2)代入，得 1 一+b=0解得= b=2, b=2. 所以直线AP对应的函数表达式为 1 y=2x+2. 当x=2时，y=3. 所以力=3. 专题特训二 、 一次函数的图象 与系数k,b的关系 1.B2.B3.B4.D 5.a>3解析：由题意，易得 2a+4>0, 解得a>3. -(3-a)>0, 6.(1)依题意，得4a一1=0，解得 1-a<0, (2)依题意，得 解得 4a-1>0, a>1. (3)依题意，得 100解得号 4a-1>0. a<1. 4④依题意，得10之0，.解得子≤ 4a-1≥0,1 a<1. 7.B8.A9.D 10.B解析：因为点(k,b)在第二象 限，所以<0，b>0.所以函数y= x十b的图象经过第一、二、四象限. 所以函数y=.x十b的图象可能是以 N为原点的直线. 11.B12.C13.D14.四 15.三解析：依题意，得m一1= 3,且m>0,所以m=4.所以直线y (1一m)x十m对应的函数表达式为 y=-3x十4，它经过第一、二、四象 限，不经过第三象限. 16.C解析：当k>0时，一k<0, 名<0，正比例函数y=x的图象经 过第一，三象限，一次函数y=一kx一 右的图象经过第二、三，四象限：当 1 <0时，一k>0,一友>0，正比例函 数y=kx的图象经过第二、四象限， 一次函数y=一虹一名的图象经过 第一、二、三象限 17.D解析：在y=a.x十a2与y= a2x+a中，当x=1时，两个函数的 值都是a2十a.所以两个一次函数的 图象的交点的横坐标为1.若a>0,则 一次函数y=a.x十a2与y=a2x十a 的图象都经过第一、二、三象限：若 a<0,则一次函数y=a.x十a2的图象 经过第一、二、四象限，一次函数y= a2x十a的图象经过第一、三、四象限. 综上所述，只有选项D符合题意. 18.D 19.B解析：在y=(m一2).x+2-m 中，当x=1时，y=0.所以一次函数 y=(m一2)x十2一m的图象必经过 点(1,0).选项A中，由一次函数y (m一2)x+2一m的图象，可知 |m-20, (1<2-m2, 解得0<m<1.所以一 次函数y=x十m的图象经过第一 二、三象限，且与y轴的交点的纵坐 标在0和1之间.所以选项A错误. 选项B中，由一次函数y=(m 2)x十2一m的图象，可知 m-2<0, 02-m<1 解得1<m<2.所以一 次函数y=x十m的图象经过第一、 8 二、三象限，且与y轴的交点的纵坐 标在1和2之间.所以选项B正确.选 项C,D中，由一次函数y=(m 2)x+2-m的图象，可知m-2>0, 解得m>2.所以一次函数y=x十m 的图象经过第一、二、三象限，且与 y轴的交点的纵坐标大于2.所以选 项C,D错误. 一方法归纳 在同一平面直角坐标系中识别 两个一次函数图象的关键 在同一平面直角坐标系中识 别两个一次函数图象的关键是由 其中一个函数图象的位置确定待 定系数的正负，再由待定系数的正 负判断另一个函数图象的位置. 第5课时 一次函数的简单 应用—分段函数问题 1.C2.y=100.x-40 3.(1)2.5. (2)设当用水量超过10吨时，该函数 图象对应的一次函数的表达式为y kx+b. 因为，点(10,25)，(16,49)在该函数图 象上， 10k+b=25, k=4, 所以16k十b=49, 解得 b=-15. 所以当用水量超过10吨时，该函数图 象对应的一次函数的表达式为y= 4x-15. (3)因为65>25， 所以该户居民8月用水量超过10吨. 将y=65代入y=4x-15,得4x 15=65,解得x=20. 所以该户居民8月共用水20吨. 4.D解析：由题图可知，小明等公交 车的时间为8一5=3(min),故选项A 错误，不符合题意；小明步行的速度是 400÷5-80(m/min),故选项B错误， 不符合题意：小明全程的平均速度为 6800÷25=272(m/min),故选项C 错误，不符合题意：公交车的速度为 (6400-400)÷(20-8)=500(m/min), 故选项D正确，符合题意. 5.D解析：当0≤x≤4时，设y与x 之间的函数表达式为y=kx(k≠0). 把(4,20)代入，得4k=20,解得k=5. 所以y与x之间的函数表达式为y 5.x(0≤x≤4).所以①正确.当4 x≤12时，设y与x之间的函数表达 式为y=k1x十b(k1≠0).把(4,20)， (4k1+b=20, (12,30)代人，得 解得 12k,+b=30, k1二4’所以v与x之间的函数表 6=15. 达式为y= 4x+15(4<x≤12).所 以②正确.根据图象，得进水速度为 20÷4=5(I/min),所以③正确.设出 水速度为mI/min.因为12一4= 8(min),所以5×8-8m=30-20,解 得m=3.75.所以出水速度为 3.75L/min.所以④正确.综上所述， 正确的有4个， 6.31解析：根据图象，得第50天 时，该植物达到最高，以后就不长了. 设直线AC对应的函数表达式为y= kx+b.将(30,21)，(0,6)代人，得 1 30k+b=21, b=6, k=2'所以y= 解得 b=6. 2x十6.当x=50时，y=31.所以该 植物最高长到31cm, 7.①②③解析：根据题意，得方式 一对应的函数表达式为y1=0.1x+ 20,方式二对应的函数表达式为y2= (20(0≤x≤80)， 所以当 20+0.15(x-80)(x>80). x=80时，y1=28.所以①正确.当 0x80时，0.1x+20>20:当x> 80时，由0.1x+20>20+0.15(x 80),解得80<x<240.所以当0< x<240时，y2<y1.所以②正确.令 y1=50,得0.1x+20=50,解得x= 300.令y2=50,得20+0.15(x 80)=50,解得x=280.因为300> 280,所以③正确.综上所述，正确的是 ①②③. 8.(1)当0t2时，设y=kM(k≠0). 因为函数图象经过点(2,40)， 所以40=2k. 所以k=20. 所以y=20t. 当t>2时，设y=at+b(a≠0). 因为函数图象经过点(2,40)和(3， 24), 所以2at6二0解得a16. 3a+b=24, b=72. 所以y=-16t+72. 当y=0时，0=-16t十72，解得 9 t2 所以y与t之间的函数表达式为 201(012), V- -161+72(2<≤号）. (2)由题意，得号<1<4 当号≤1≤2时y=20y随！的增大 而增大。 所以当1=3 时，y取得最小值，此时 240 y=20×3=3 当2<t≤4时，y=-161+72,y随t 的增大而减小. 所以当t=4时，y取得最小值，此时 y=-16×4+72=8. 因为号>8， 所以该主播直播期间的在线观看人数 的最小值为8万. 9.(1)由题意，得乙团队的人数为 100-x,则100一x40,即x≥60. 当60≤x≤80时，y=130x+ 150(100-x)=-20.x+15000. 当80<x<100时，y=120x+ 150(100-x)=-30x+15000. 所以y关于x的函数表达式为y -20x+15000(60x80), -30.x+15000(80<x<100). (2)由(1)，知当甲团队的人数不超过 80时，y=-20x+15000(60≤x≤ 80). 因为-20<0， 所以y随x的增大而减小. 所以当x=60时，y最大=13800. 当甲、乙两个团队联合购票时，费用为 100×120=12000(元) 所以甲、乙两个团队联合购票比分别 购票最多可节省13800-12000= 1800(元). (3)在(2)的条件下，当60x80 时，y=(130一a)x+150(100 x)=-(20+a)x+15000. 因为-(20+a)<0, 所以y随x的增大而减小. 9 所以当x=60时，y最大=13800一 60a. 当甲、乙两个团队联合购票时，费用为 100(120-2a)=(12000-200a)元. 所以13800-60a-(12000 200a)=3900,解得a=15. 所以a的值为15. 第6课时 一次函数与一次 方程、一次不等式 1.C2.B3.B4.05.x<1 6.函数y=- 2x十3的图象如图 3 所示. (1)如图，因为直线与x轴的交点的 坐标为(2,0)， 3 所以方程-之x十3=0的解为x=2, (2)如图，因为当x<2时，y>0, 3 所以不等式-之x+3>0的解集为 x<2. (3)如图，因为直线过点（一2,6）， (4,-3), 所以当-3≤y<6时，-2<x≤4. 0 (第6题) 7.B解析：当y=2时，2x=2,解得 x=1.所以A(1,2).所以当x=1时， y=kx十b=2.x=2,即关于x的方程 kx十b=2x的解为x=1. 8.C解析：因为关于x的方程 2x十b=0的解是x=一2，所以函数 y=2x十b的图象过点(-2,0).又 1 因为号>0，即y随x的增大而增大， 所以函数y=2x十b的图象经过第 一、二、三象限. 9.D解析：因为y1一y2=(1一k)· x+b+1,所以(1-k)x+b+1≥0即 为y1一y2≥0.由图象可得当x≥-1 时，直线y,在直线y2的上方.所以关 于x的不等式(1-k)x+b+1≥0的 解集为x≥一1. 10.x>2解析：因为一次函数y= a.x十b的图象与x轴相交于点A(2, 0),且y随x的增大而减小，所以 ax+b<0的解集为x>2.因为正比 例函数y=mx,y随x的增大而增 大，所以mx>0的解集为x>0.所以 m.x>0, 关于x的不等式组 的解集 ax+b<0 为x>2. 11.(1)x=3 (2)2<x<3解析：由题意知，函数 y2=mx一m的图象过点A(3,2),则 有3m-m=2,解得m=1.所以y2= x一1.由题意知，点B在函数y2= x-1的图象上，令y2=1,得x=2.所 以，点B的坐标为(2,1).如图，设函数 y,的图象向下平移得到函数y3= kx十b'的图象.由图象知，关于x的 不等式k.x十b<x一1的解集为x> 2;关于x的不等式x一1<kx+b的 解集为x<3.所以不等式组k.x十b'< x一1<k.x十b的解集为2<x<3.所 以当y3<y2<y1时，x的取值范围 是2<x<3. y2x-1 A B 23 y=kx+b y3hx+b' (第11题) 12.(1)把P(n,-3)代人y= -2x+3,得-3=-2m+3,解得 =3. 所以点P的坐标为(3，一3). 把P(3,-3)代入y=-x十m, 得-3=-号×3十m,解得m= 2 、3 2 (2)关于x的不等式-2x十m> 一2x十3的解集为x>3. )在y=4号中，令=0，则 1 3 y=-2: 所以函数y=一号x十m的图象与 y轴的交点为(0，-)片 将函数y=一2x十3的图象向左平移 a个单位长度后得到直线l,则易得直 线！对应的函数表达式为y= -2(x+a)+3. 因为直线1与函数)y=一2x十m的 图象的交点在y轴上， 所以把0，-号)代人y=一2(x十 a)十3，得- =-2(0十a)+3,解得 2 9 a41 13.(1)因为y=|x-1= x-1(x≥1)， -x+1(x<1), 且当x=1时， y=0, 所以函数y=|x一1|的图象是以点 (1,0)为端点的两条射线。 易得点(0,1)，(2,1)在函数y=|x-1 的图象上， 如图，分别过点(1,0)，(0,1)及点(1， 0),(2,1)画射线可得函数y=x一1 的图象 (2)x=0或x=4. (3)如图，由图象，可知当x<0或 x>4时，函数y=x一1的图象在函 数y=2x十1的图象的上方. 所以当y=x一1|的函数值大于y= 2x十1的函数值时，x的取值范围是 x<0或x>4 6-53201.￥.34.6x 2 15 6 (第13题) 12.3 一次函数与二元一次 方程 第1课时二元一次方程的 图象解法 1.C2.C3.B4.y=2x-3 10 5.由2x+3y-6=0,得3y= -2x+6. 2 所以y=一3x+2, 图象如图所示 (1)根据图象，可得当y=一4时，x= 9:当y=0时，x=3;当y=2时， x=0. (2)因为直线是由无数个点组成的， 所以这些点的坐标都满足2x+3y 6=0. 所以二元一次方程2x+3y一6=0有 无数组解 3-2-10 89x +2 3 -4 (第5题) 6.D7.A8.C9.D 10.2x-y=-311.2 12.在4x-3y=12中，令y=0,则 4x=12,解得x=3. 所以，点A的坐标为(3,0)。 所以OA=3. 在4x-3y=12中，令x=0,则 -3y=12,解得y=-4. 所以点B的坐标为(0，一4). 所以OB=4. 所以三角形AOB的面积=OA· 0B=2X3×4=6. 13.设他买了x支铅笔，y本练习本， 则有y=10一3x. ①列表： 2 y 7 4 ②描点、连线，在平面直角坐标系中 画出函数的图象如图所示。 ③观察图象，点(1,7)，(2,4)，(3,1) 在函数的图象上，即3.x十y=10的正 x1=1,x2=2,x3=3, 整数解为 y1=7,y2=4,y3=1. 所以他买了1支铅笔、7本练习本或 2支铅笔、4本练习本或3支铅笔、