专题2.2 一次函数（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题2.2 一次函数 教学目标 1.理解一次函数的概念，能根据实际问题中的相等关系得到一次函数解析式。 2.理解一次函数的图象是一条直线，能用描点法画出一次函数的图象。 3.掌握一次函数的性质，理解k，b的值与一次函数图象位置的关系。 4.会用待定系数法求一次函数的解析式。 5.会利用一次函数、正比例 函数的相关知识解决实际问题。 教学重难点 教学重点:一次函数相关概念;图象与性质;待定系数法;实际应用方程与函数关系. 教学难点:一次函数概念理解;图象性质应用;实际问题建模;数形结合思想. 知识点01 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 要点：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 【即学即练】1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握形如，a、b是常数的函数叫做一次函数成为解题的关键． 根据一次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：一次函数有，，共3个． 故选B． 2．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的表达式即可求解． 【详解】解：正比例函数的表达式为， ∴、，不是正比例函数，不符合题意； 、，不是正比例函数，不符合题意； 、，是正比例函数，符合题意； 、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查正比例函数的概念，掌握正比例函数的表达式是解题的关键． 知识点02 正比例函数的图象与性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．必过点（0,0）、（1，k）. 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 【即学即练】（23-24八年级上·安徽滁州·期末）正比例函数经过第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为： 知识点03 一次函数的图象与性质 1.一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意： ①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 2.一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意： ①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 3.一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【即学即练】1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 2．（2024八年级上·安徽·专题练习）若点、都在函数（为常数）的图象上，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴该一次函数随的增加而减小， ∵， ∴． 故选：B 知识点04 确定一次函数的表达式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 【即学即练】已知一次函数的图象经过M（0，2），N（1，3）两点，求此一次函数的解析式． 【答案】一次函数解析式为y=x+2 【知识点】求一次函数解析式 【分析】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把M（0，2），N（1，3）代入得到关于k，b的方程组，求出k和b的值即可． 【详解】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 依题意得， 解得， ∴一次函数解析式为y=x+2． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 知识点05 一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【即学即练】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知，两店都以30元/千克的价格销售同一种烘糕，且同时做优惠活动： 店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售； 店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠． 在活动期间，李阿姨购买千克烘糕，，店所需的费用分别为，，与的函数图象如图所示，回答下列问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少． 【答案】(1)； (2)当时，李阿姨到店购买优惠；当时，李阿姨到、两店购买一样优惠；当时，李阿姨到店购买优惠 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）根据题意列出的函数关系式，利用待定系数法求得的解析式； （2）结合分类讨论和解不等式，分三种情况为李阿姨涉及购买方案即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 当时，设， 由题意得， 解得． ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，即时，解得， 当时，李阿姨到点购买优惠； 当时，即时，解得， 当时，李阿姨到、两店购买一样优惠； 当时，即，解得， ，李阿姨到点购买优惠； 综上：当时，李阿姨到店购买优惠；当时，李阿姨到、两店购买一样优惠；当时，李阿姨到店购买优惠． 知识点06 一次函数与一元一次方程的关系 任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 【即学即练】（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数y＝﹣x+2． (1)求该直线与坐标轴的交点坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ． 【答案】(1)与x轴的交点坐标为（4，0）， 与y轴的交点坐标为（0，2） (2)见解析 (3)x=4． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、利用图象法解一元一次方程 【分析】（1）分别令x=0和y=0即可求出与y轴和x轴的坐标； （2）根据（1）中结果即可画出图象； （3）直接根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当x=0时，y＝0+2=2， ∴与y轴的交点坐标为（0，2）． 当y=0时，0＝﹣x+2，∴x=4， ∴与x轴的交点坐标为（4，0）． （2）解：如图， （3）解：图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为x=4． 故答案为：x=4． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数图象，以及利用函数图象解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 知识点07 一次函数与一元一次不等式的关系 一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大． （1）将点和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值即可； （2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与过点的一次函数交于点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：根据函数的图象，可得不等式的解集为：． 题型01 利用一次函数、正比例函数的概念求字母的值 【例1】（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)当，时，这个函数是正比例函数 【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键． （1）直接利用一次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 【例1-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若函数是关于x的正比例函数，则 ． 【答案】5 【知识点】正比例函数的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义是解题的关键； 运用正比例函数的定义可得，， 再求解关于m、n的方程即可. 【详解】解：函数是关于x的正比例函数， ，， 解得：，， ， 故答案为：5． 【例1-2】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选A． 题型02 函数图象与坐标轴的交点 【例2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与x轴交点的横坐标是 ，与y轴交点的纵坐标是 ． 【答案】 3 6 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的图象与坐标轴的交点坐标的求法是解题的关键．令，得到，令，则，即可求得答案． 【详解】解：令，则 解得 直线与x轴交点的横坐标是3， 令，则 与y轴交点的纵坐标是6． 故答案为：3；6． 【例2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线与直线交于轴上一点，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，根据题意，求出直线与轴的交点，再根据题意，把该坐标代入直线中，即可求出． 【详解】解：∵直线交于轴上一点， ∴当时，， 解得：， ∴直线于轴交点为， ∵直线经过点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）函数图象向上平移3个单位后，对应函数图象与y轴交点纵坐标为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】根据函数图象向上平移3个单位后解析式为，当时，，解答即可． 本题考查了平移，图象与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：根据函数图象向上平移3个单位后解析式为， 当时，． 故函数图象与y轴交点纵坐标为2， 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知直线与直线相交于轴上一点，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据题意，求出直线与轴的交点，再根据题意，把该坐标代入直线中，即可求出． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴直线与轴交点为， ∵直线经过点， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03 k、b的符号与函数图象的关系 【例3-1】（一个函数图象问题）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若实数，满足，且，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此根据已知条件判断出的符号即可得到答案． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴， ∴函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 【例3-2】（两个函数图象问题）（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限．解题的关键是用数形结合的思想进行解答． 【详解】解：正比例函数与一次函数的自变量系数分别是和，而，则两直线不可能平行．故A、C不符合题意； B、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）以下是一次函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，根据一次函数中的，得出该函数经过第一、二、四象限，即可作答． 【详解】解：依题意，一次函数中的， ∴该函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数经过第二、三、四象限，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数经过第二、三、四象限，得出，，则，，一次函数经过第一、二、三象限，据此即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过第二、三、四象限， ∴，， 则，， ∴一次函数经过第一、二、三象限， 故选：B． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，直线和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据各选项中的函数图象判断出、异号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与轴的交点位置，即可得解．一次函数，时，一次函数图象经过第一、三象限，时，一次函数图象经过第二、四象限，时与轴正半轴相交，时与轴负半轴相交． 【详解】解：当直线经过第一、二、三象限时， ，， ． 应经过第一、三、四象限，故A错误，B正确； 当直线经过第一、二、四象限时， ，， 应经过第一、二、三象限，故C、D错误；． 故选：B． 【变式3-4】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数：（m、n是常数且、）和一次函数：的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象．分情况讨论的符号，逐一判断一次函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：当时，则， 一次函数：的图象经过第一、二、四象限，一次函数：的图象经过第一、三、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第一、三、四象限，一次函数：的图象经过第一、二、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第一、二、三象限，一次函数：的图象经过第二、三、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第二、三、四象限，一次函数：的图象经过第一、二、三象限， 综上，只有选项D符合题意， 故选：D． 题型04 利用正比例函数及一次函数的性质解题 【例4-1】（利用正比例函数的性质解题）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 【例4-2】（由一次函数的性质判断y值的变化趋势）设，关于x的一次函数． （1）y随x的增大而 ； （2）当时y的最大值是 ．（用含k的式子表示） 【答案】 减小 k 【知识点】不等式的性质、判断一次函数的增减性 【分析】将一次函数进行化简，然后判断的系数与0的关系即可；根据一次函数的增减性，得到时，最大，即可求解． 【详解】解：原函数可化为， ∵， ∴ ∴． ∴y随x的增大而减小， ∵． ∴当时，y最大为k． 故答案为减小， 【点睛】此题考查了一次函数的增减性，解题的关键是求得的系数并判断出其与0的关系． 【例4-3】（利用一次函数的性质判断字母的值或取值范围）（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数（），当时，y的最小值为4，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】当时，y随x的增大而增大，结合时y的最小值为4，此时时，，代入，得到，舍去；当时，y随x的增大而减小，结合时y的最小值为4，此时时，，代入，得到，符合题意，解答即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， 由时y的最小值为4， 此时时，，代入， 解得，舍去； 当时，y随x的增大而减小， 由时y的最小值为4，此时时，，代入， 解得，符合题意． 故答案为：． 【例4-4】（利用一次函数的性质比较大小）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，都在一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及一次函数的增减性，先求出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴且， 解得， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）正比例函数的值随值的增大而减小，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的增减性可知，进一步求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图像上的点坐标特征以及一次函数性质，熟记直线上任意一点坐标都满足函数关系式，利用坐标求出值是解题关键．当y随x的增大而减小时，为负值，分别将各选项坐标代入函数式，求出值，即可得出结论． 【详解】解：A．当点P坐标为时，，解得， ∵， ∴y随x的增大而增大，符合题意，此选项正确； B．当点P坐标为时，，解得， ∵， ∴y随x的增大而减小，不符合题意，此选项错误； C．当点P坐标为时，，解得，不符合题意，此选项错误； D．当点P坐标为时，，解得， ∵， ∴y随x的增大而减小，不符合题意，此选项错误． 故选：A． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点，是函数图象上的两个点， ， ∴． ∴， 故答案为：． 【变式4-4】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点 ； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系． （1）函数解析式化成，当时，，据此可求得答案； （2）分和两种情况讨论，把和分别代入解析式，列出关于a的不等式组，据此求解即可． 【详解】解：（1）关于x的一次函数， 当时，即时，， ∴此函数恒过定点， 故答案为：； （2）∵一次函数的值有正有负， ∴， 当时，随的增大而增大， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴没有解集，不符合题意，舍去； 当时，随的增大而减少， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴， 综上，实数a的取值范围是． 故答案为：． 题型05 用待定系数法确定一次函数的表达式 【例5-1】（根据两对对应值确定一次函数的表达式）（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象过和两点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点在这个函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． （1）用待定系数法，进而可得出答案； （2）把点代入一次函数，解方程即可． 【详解】（1）解：设此一次函数的表达式为， 把和代入，得 ，解得． ∴此一次函数的表达式为； （2）解：把点代入一次函数，得 ， 解得． 【例5-2】（根据一次函数的图象确定一次函数表达式）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线经过，两点，求直线的表达式． 【答案】． 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，由图可得点，设直线的表达式为，把点，代入得，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 【例5-3】（根据其他信息图象确定一次函数表达式）（24-25八年级上·安徽·期末）已知正比例函数． (1)若它的图象经过第一、三象限，求k的取值范围； (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象经过第一、三象限，可得，即可求解； （2）将点代入函数解析式中，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图象经过第一、三象限 ∴， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：将点代入函数解析式中，得：， 解得：， 所以正比例函数解析式为． 【例5-4】（根据平移规律确定一次函数表达式）（22-23八年级上·安徽池州·期末）如图一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，点C在直线上，过点C作轴，垂足为D，将直线沿y轴方向向下平移若干单位长度得到的直线l恰好经过点D，若，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】待定系数法求得一次函数的解析式，设平移后的解析式为，将点代入即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴， 依题意，设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点、是该函数图象上的两点，试比较a、b的大小； 【答案】(1) (2) 【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数解析式 【分析】本题考查求一次函数的解析式，比较函数值的大小： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据一次函数的增减性，进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 由题意，得：，解得：， ∴； （2）∵，， ∴随的增大而减小， ∵点、是该函数图象上的两点，且， ∴． 【变式5-2】如图，八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质；设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，则， ∵直线l将这八个边长为1的正方形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知与成正比例，且时，．求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 根据正比例函数的定义可设，然后时，，代入求出k即可 得到y与x之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意设， 则， 解得， 则， 所以y与x之间的函数关系式为． 【变式5-4】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象向上平移个单位得到的，并且与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数相交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或． 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移规律等知识点，根据一次函数图象的平移规律得出的值是解题关键． （1）先根据一次函数图象的平移规律可得，再将点代入求解即可得； （2）先根据（1）的结论求出点的坐标，代入，即可求得． 【详解】（1）解：根据函数图象平移关系可得，一次函数的解析式为：； （2）解：点是与轴的交点坐标， 时，， 即点坐标为，故， 设点的坐标为， 由的面积为2可得， ， 解得， 当时，， 点的坐标为， 把代入， 解得， 当时，， 点的坐标为， 把代入， 解得， 的值为或． 题型06 一次函数的应用 【例6-1】（用表格叙述函数关系，用一次函数解决实际问题）（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【答案】(1)且为整数) (2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． （1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴； 函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数； （2）解：， ， ， 因为取整数， 所以x可取20，21，22，23，24，25，26， 所以有种方案. 在中， 随的增大而增大， 所以当时，最省钱，费用元， 答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元． 【例6-2】（用图象叙述函数关系，用一次函数解决实际问题）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 【答案】(1) (2)出租车出发4小时后距离景点甲地60千米 (3)高铁站与服务区乙地相距100千米． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意分和两种情况，然后分别利用待定系数法求解即可； （2）首先求出出租车出发4小时后距离高铁站的距离，然后列式求解即可； （3）首先求出去时的速度为，返回时的速度为，设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时，然后根据去时和返回时乙地到景点的距离相等列出方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将代入得， 解得 ∴； 当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将，代入得， 解得 ∴ 综上所述，； （2）解：将代入 ∴（千米） ∴出租车出发4小时后距离景点甲地60千米； （3）解：1小时50分钟（分钟）（小时） ∵去时的速度为，返回时的速度为， ∴设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时 根据题意得， 解得 ∴（千米） ∴高铁站与服务区乙地相距100千米． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示． 甲种 乙种 进价/（元/本） 3 5 售价/（元/本） 4.5 7 (1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本； (2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？ (3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本 (2)该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱 (3)是，理由见解析 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用 （1）设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，根据“该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本”，列出方程求解即可； （2）设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本，根据题意构建一次函数，再列出关于x的不等式得x的取值范围，再根据一次函数的的性质求最值即可； （3）设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，得出关于的一次函数，再利用一次函数的性质解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，由题意得： ， 解得：，， 答：甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本； （2）解：设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本， 则， 由题意得， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，费用最少， 即该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱； （3）解：学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案．理由如下： 设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，则： ， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，利润最大， 即学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案． 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【答案】(1)当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元 (2)， (3)①A；②或时，两种品牌共享电动车收费相差4元 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）由图象可得当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）利用待定系数法确定；即可． （3）①由骑行时间，结合图形判断品牌更省钱；②根据题意，当时，构建方程，当时，构建方程，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元． （2）设，经过， ， 得， ． 当时，； 当时， 设，函数经过，， 则 解得 ， ∴； （3）解：①∵骑行时间， ∴当骑行时间小于，A品牌更省钱． ②当时，， 得． 当时，， 变形得， 解得（舍去）或， 或时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【变式6-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某网店在30天内销售一种产品．图1是该产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．（注：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．） (1)第18天的日销售量为______件． (2)求第15天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多多少元？ 【答案】(1)190 (2)元 (3)875元 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息． （1）先当时，设与之间的函数关系式为，再分别把代入进行计算，即可作答； （2）求解一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可得解； （3）先求解当时，得，再求出第15天的日销售利润，然后求出当时，得产品日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的函数关系式：再求出第25天的日销售利润，则即可得解． 【详解】（1）解：依题意，当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得 ， 解得， ∴当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得． 故答案为：190． （2）解：根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为． 当时，， ∴第天销售一件产品的利润是元； （3）解：依题意，把代入，得． 由（2）得第天销售一件产品的利润是元； 第15天的日销售利润（元）； 根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得， ∴与之间的函数关系式为． 当时，． 由图2得， 当时，（元）， ∴（元）， ∴第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多875元． 题型07 两个一次函数图象的问题 【例7】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 【答案】(1)甲龙舟队的与函数关系式为；乙龙舟队的与函数关系式为 (2)甲龙舟队出发或或或，两支龙舟队相距180米 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度路程时间分别求出甲、乙两支龙舟队的速度，再根据路程速度时间分别求出甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式即可； （2）根据的取值范围，当两支龙舟队相距180米时分别列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：设甲龙舟队的与函数关系式为， 把（25，3000）代入，可得，解得， ∴甲龙舟队的与函数关系式为， 设乙龙舟队的与函数关系式为， 把代入，可得：， 解得：， 乙龙舟队的与x函数关系式为； （2）解：由（1）中得到函数关系式可知， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得或； 当时，得， 解得． 综上所述，或或或． 答：甲龙舟队出发分或分或分或分时两支龙舟队相距180米． 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店．图2是小明步行时离学校的路程（米）与行走时间（分）之间的函数关系的图象． (1)小明家到学校的距离为_____米，图中的值是_____； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)经过多少分时，小明距离学校100米？ 【答案】(1)240，18 (2) (3)3.5分或8.5分 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）观察图象可知小明家到学校的距离；根据速度路程时间求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到新华书店的距离，再根据时间路程速度求出小明从家到新华书店所用时间，即的值； （2）利用待定系数法解答即可； （3）分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明家到学校的距离为240米； 小明步行的速度是（米分）， 小明家到新华书店的距离为（米， 则小明从家到新华书店所用时间为（分， ． 故答案为：240，18． （2）解：设线段所表示的与之间的函数表达式为． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段所表示的与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 当时，令，可得， 解得．     答：经过3.5分或8.5分时，小明距离学校100米． 【变式7-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（）与充电时间t（h）的函数图象分别为图 2中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)在目前电量为的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用　　　　h． (2)求线段的函数表达式． (3)已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时．若该汽车目前电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶，接着用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求a的值． 【答案】(1)8 (2)， (3)4 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据点的横坐标计算即可； （2）利用待定系数法求解； （3）根据图象，得到用快速充电器将其充满电所用的时间；根据图象，求出普通充电器的充电速度，由内消耗的电量计算用普通充电器将其充满电所用的时间，根据“充电一耗电一充电”三段时间之和为14h列方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：8； （2）解：设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； 设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； （3）解：根据图象可得，用快速充电器将其充满电用时1小时，正常行驶小时后耗电，普通充电器的充电速度为：， ∴用普通充电器再次充满用时：， 由题意得：， 解得：． 题型08 一次函数与几何图形的综合 【例8】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 【答案】(1)； (2)6 (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解； （2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解； （3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解． 【详解】（1）解：由题意，， ∴，． ∴． ∴，． ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意，联立方程组， 解得， ∴C的坐标为． ∴； （3）解：由题意，如图， ∵过点C的直线将的面积分为， ∴或， ∴或， ∴D的坐标为或， 又∵C的坐标为， 同理，由待定系数法求得直线的解析式为或． 【变式8-1】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法和利用数形结合思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法将点、的坐标代入所设的表达式中，解出，的值，再代回所设的表达式即可； （2）根据待定系数法求出直线的表达式，继而求出，，设，利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 代入点得，解得， 直线的表达式为：． （2）设的表达式为，把，代入， 得，解得， 直线的表达式为：， 令，则， 点的坐标为，即， ， 点是直线上一动点， 设， ， ， 面积等于， ，解得， 或． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）直线经过，两点，点的坐标为． (1)求和的值； (2)点为线段上一点，点为直线上一点，． ①如图1，若，求点坐标； ②如图2，若，求点坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将，两点代入直线解析式求解即可； （2）①先求出直线的解析式，再设出、两点的坐标，根据列方程求解即可； ②设出、两点的坐标，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：直线经过，两点， ，解得：； （2）解：①由（1）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点为线段上一点， 设， 点为直线上一点，， ， ， ， ， ； 点坐标为； ②设， 点为直线上一点，， ， ， ， ， ； 点坐标为． 【变式8-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，线段经过平移得到线段，其中点B的对应点为点C，点D在第一象限，直线交x轴于点F． (1)点D坐标为 ； (2)线段由线段经过怎样平移得到？ (3)求的面积． 【答案】(1) (2)向右平移5个单位，再向上平移3个单位 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查坐标与图形变化的性质-平移，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据点移动到的平移规律可得结论． （2）根据点移动到的平移规律可得结论． （3）求出直线的解析式，可得点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到点． 故答案为：． （2）解：线段经过向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段． （3）解：设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ， ， ， ∴． 【变式8-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式： (2)点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点坐标是解决本题的关键． （1）待定系数法求出的解析式即可； （2）先求出点坐标得到，设点的坐标为，利用三角形面积公式流程关于的方程求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得， ， 点，在直线上， ∴，解得， 直线的解析式为：； （2）解：由直线解析式可知点即， 设点的坐标为，则， 解得：或14， ∴或． 题型09 一次函数与一元一次不等式组的综合 【例9-1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 【例9-2】（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【知识点】不等式组的分配问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【变式9-1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 【变式9-2】（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】(1)； (2)种； (3)安排型车厢节，型车厢节运输运费最少，最少运费为元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出一次函数解析式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴共有种安排车厢的方案； （3）解：∵，， ∴的值随的增大而减小， ∴当时的值最小，即安排型车厢节，型车厢节运输运费最少， 此时，最少运费元． 【变式9-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情． 某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y （单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可． 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． 【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个足球， 根据题意，， 由得， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：该商场采购x个篮球，设利润为W，根据题意，得， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为2300， 答：商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：该商场采购x个篮球，根据题意，得， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得， 综上，满足条件的m值为． 题型10 一次函数的规律探究问题 【例10】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】一次函数的规律探究问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 【变式10-1】在直角坐标系中，正方形、、、…、．按如图所示的方式放置，其中点、、、…、，均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数的规律探究问题 【分析】先求解的坐标，再求得直线的解析式，再求解、的坐标得出规律，求出的坐标，再求出的坐标即可， 【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为， ∴正方形边长为1，正方形边长为2， ∴的坐标是，的坐标是：， 代入得 ， 解得： ． 则直线的解析式是：， ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标是1，的纵坐标是2， 在直线中，令，则纵坐标是：， ∴ ∴正方形、、…、的边长分别为：、、…、， ∴、、…、的坐标依次为：、、、…、， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，正方形的性质，求解的解析式是解本题的关键． 【变式10-2】（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的规律探究问题 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论k取何值，直线与的交点均为定点；先求出与x轴的交点和与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴直线经过点； ∵直线：， ∴直线：经过点． ∴无论k取何值，直线与的交点均为定点． ∵直线与x轴的交点为， 直线：与x轴的交点为， ∴， ∴； ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为． （1）直线的表达式为 ； （2）的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查了一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律． （1）根据待定系数法求出； （2）设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解． 【详解】解：（1）∵直线经过点且截距为， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：． （2）设，，，，， 则有， ， ， 过点作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： ∵，，，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， 同理可得：， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即的纵坐标是． 故答案为：． 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线在轴上的截距是，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若正比例函数的图象经过点，则该正比例函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正比例函数的解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．用待定系数法即可求该函数的解析式，即可解答． 【详解】解：设这个正比例函数的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴这个正比例函数的解析式为， 当时，，则该正比例函数的图象必经过点，不过点， 当时，，则该正比例函数的图象必经过点，不过点， 当时，，则该正比例函数的图象必经过点，不过点， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.令，则， 一次函数的图象与轴交于点， 故该选项正确，不符合题意； B.， 随的增大而增大， 故该选项正确，不符合题意； C. 令，则， ， 故该选项正确，不符合题意； D. ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限 故该选项错误，符合题意； 故选： D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线经过点，则该函数的图象经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键；把代入求出k，再逐项判断所给点是否在图象上即可得解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ， 、当时，，则该函数的图象经过，故本选项符合题意； 、当时，，则该函数的图象不经过，故本选项不符合题意； 、当时，，则该函数的图象不经过，故本选项不符合题意； 、当时，，则该函数的图象不经过，故本选项不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意； B、不是一次函数，故此选项不符合题意； C、中自变量的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（是常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性和实数的大小比较，熟知：时，y随x增大而增大；时，y随x增大而减小是解题的关键．根据，可得y随x增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一次函数平行于直线，可得到的值，然后，将点代入函数表达式，即可求出的值． 【详解】解：一次函数平行于直线， ， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故选：D． 8.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】由图象经过第一、三、四象限可知一次函数的，即可求出，再根据不等式的性质得到，即可判断所处象限．本题考查了一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式组，点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图得出一次函数经过第一、三、四象限 由题意得，， ∴， ∴， ∴点所在的象限为第一象限 故选：A． 9．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点，在直线上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义．根据题意得到，将代入函数的解析式，求出函数值作差即可． 【详解】解：点，在直线上，且， ∴， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等，向下平移，横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后令求解即可得解． 本题考查了两直线平行的问题，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 【详解】解：∵直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线与轴交点坐标为． 故答案为： 12．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义条件：自变量次数为1，且自变量系数不等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知和是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，可得出． 【详解】解：∵一次函数中， 随的增大而增大， 又，是一次函数的图象上的两个点，且， ． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则W与s之间的关系式是： ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，解本题的关键是理解题意，能够根据图象信息利用待定系数法求函数解析式． 【详解】解：设W与s的关系解析式为， 当时，， 把代入上式得， ， 解得， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 【答案】 7 0或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入一次函数，得， 解得． 故答案为：7； （2）当时，y随x的增大而增大， 当时，， 解得． 当时，y随x的增大而减小， 当时，， 解得． 综上，当或时，该一次函数有最大值8． 故答案为：0或． 三、解答题 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）甲乙两城相距150千米，一辆汽车从甲城去乙城，在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．求y与x之间的函数表达式．    【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了根据函数图象求一次函数解析式，掌握一次函数的图象特征是解题的关键．由图象知，函数图象分两段，一段是正比例函数，一段是一次函数，分别用待定系数法即可求解，综合得y与x之间的函数表达式． 【详解】解：当时，y与x之间的函数表达式为， 由图象知，当时，， 即， ∴， ∴； 设当时，y与x之间的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ∴． 综上所述： ． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若点，都在该函数图象上，则 ．（填“”或“”） 【答案】(1)与之间的函数解析式为 (2) 【知识点】比较一次函数值的大小、正比例函数的性质、正比例函数的定义 【分析】（1）利用正比例函数的定义得到，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与之间的函数解析式； （2）先判断出函数的增减性，进而可得出结论． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 当时，， ， 解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知函数解析式为， ， 随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点在直线上 【知识点】求一次函数解析式、列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、代入进行计算，即可作答． （2）把代入，算出，即可作答． 【详解】（1）解：设所求的一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过、两点 ∴， 解得， 所求的解析式为； （2）解： 依题意，当时，， 点在直线上． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得，于是解析式变为，把当时，代入解析式解答即可． （2）利用描点法画图象即可． 本题考查了直线的平行条件，待定系数法，画函数图象，熟练掌握平行的条件，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象与直线平行， 得， 故直线的解析式变为， 把当时，代入解析式得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据描点法画图象，，画图如下： 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、正比例函数的性质、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出平移前的解析式，再根据平移法则得到新的解析式． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，图象经过点， ， 得， 故正比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， 一次函数，即， 一次函数图像经过点， 解得， 一次函数解析式为：， 将这个一次函数的图象向下平移4个单位，得到． 21．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）共享单车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享单车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌共享单车的收费方式对应，品牌共享单车的收费方式对应． (1)求骑行品牌共享单车超过后的函数表达式； (2)求两种品牌共享单车收费相差元时的值． 【答案】(1) (2)两种品牌收费相差元时的值为 10或30 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，利用数形结合的思想作答是解答本题的关键． （1）根据图像中的数据，点在该函数图像上，代入所设的表达式中，即可求出函数表达式； （2）根据图像，先求出品牌电动车每分钟收费情况，然后根据品牌共享电动车超过 后的函数表达式为，列出相应方程，求出答案． 【详解】（1）解：设骑行品牌共享电动车超过 后的函数表达式为， ∵点在该函数图像上， ， 解得：， 即骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为； （2）解：由图像可得：当分钟时，两种品牌收费相同，此时收费3 元； 品牌电动车每分钟收费为：（元）， 由题意可得：或， 解得：或， 即两种品牌收费相差元时的值为 10或30． 22．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，                                                                     则总费用     整理得：                                      ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式； （3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得， ， 即w（元）与x（张）之间的函数表达式为； （3）解：∵计划每种票至少购买20张， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴，21，22， ∴共有三种购票方案， 方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张； 方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张； 方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张； 当时，w取得最小值，此时， 答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一次函数 教学目标 1.理解一次函数的概念，能根据实际问题中的相等关系得到一次函数解析式。 2.理解一次函数的图象是一条直线，能用描点法画出一次函数的图象。 3.掌握一次函数的性质，理解k，b的值与一次函数图象位置的关系。 4.会用待定系数法求一次函数的解析式。 5.会利用一次函数、正比例 函数的相关知识解决实际问题。 教学重难点 教学重点:一次函数相关概念;图象与性质;待定系数法;实际应用方程与函数关系. 教学难点:一次函数概念理解;图象性质应用;实际问题建模;数形结合思想. 知识点01 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 要点：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 【即学即练】1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 正比例函数的图象与性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．必过点（0,0）、（1，k）. 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 【即学即练】（23-24八年级上·安徽滁州·期末）正比例函数经过第二、四象限，则k的取值范围是 ． 知识点03 一次函数的图象与性质 1.一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意： ①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 2.一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意： ①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 3.一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【即学即练】1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·安徽·专题练习）若点、都在函数（为常数）的图象上，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 知识点04 确定一次函数的表达式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 【即学即练】已知一次函数的图象经过M（0，2），N（1，3）两点，求此一次函数的解析式． 知识点05 一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【即学即练】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知，两店都以30元/千克的价格销售同一种烘糕，且同时做优惠活动： 店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售； 店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠． 在活动期间，李阿姨购买千克烘糕，，店所需的费用分别为，，与的函数图象如图所示，回答下列问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少． 知识点06 一次函数与一元一次方程的关系 任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 【即学即练】（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数y＝﹣x+2． (1)求该直线与坐标轴的交点坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 知识点07 一次函数与一元一次不等式的关系 一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 题型01 利用一次函数、正比例函数的概念求字母的值 【例1】（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【例1-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若函数是关于x的正比例函数，则 ． 【例1-2】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型02 函数图象与坐标轴的交点 【例2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与x轴交点的横坐标是 ，与y轴交点的纵坐标是 ． 【例2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线与直线交于轴上一点，则 ． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）函数图象向上平移3个单位后，对应函数图象与y轴交点纵坐标为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知直线与直线相交于轴上一点，则 ． 题型03 k、b的符号与函数图象的关系 【例3-1】（一个函数图象问题）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若实数，满足，且，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（两个函数图象问题）（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）以下是一次函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数经过第二、三、四象限，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，直线和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数：（m、n是常数且、）和一次函数：的图象可能为（   ） A． B． C． D． 题型04 利用正比例函数及一次函数的性质解题 【例4-1】（利用正比例函数的性质解题）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【例4-2】（由一次函数的性质判断y值的变化趋势）设，关于x的一次函数． （1）y随x的增大而 ； （2）当时y的最大值是 ．（用含k的式子表示） 【例4-3】（利用一次函数的性质判断字母的值或取值范围）（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数（），当时，y的最小值为4，则k的值是 ． 【例4-4】（利用一次函数的性质比较大小）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，都在一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）正比例函数的值随值的增大而减小，则的取值范围为 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 【变式4-4】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点 ； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是 ． 题型05 用待定系数法确定一次函数的表达式 【例5-1】（根据两对对应值确定一次函数的表达式）（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象过和两点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点在这个函数图象上，求m的值． 【例5-2】（根据一次函数的图象确定一次函数表达式）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线经过，两点，求直线的表达式． 【例5-3】（根据其他信息图象确定一次函数表达式）（24-25八年级上·安徽·期末）已知正比例函数． (1)若它的图象经过第一、三象限，求k的取值范围； (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 【例5-4】（根据平移规律确定一次函数表达式）（22-23八年级上·安徽池州·期末）如图一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，点C在直线上，过点C作轴，垂足为D，将直线沿y轴方向向下平移若干单位长度得到的直线l恰好经过点D，若，则直线l的函数表达式为 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点、是该函数图象上的两点，试比较a、b的大小； 【变式5-2】如图，八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知与成正比例，且时，．求y与x之间的函数关系式． 【变式5-4】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象向上平移个单位得到的，并且与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数相交于点，且的面积为，求的值． 题型06 一次函数的应用 【例6-1】（用表格叙述函数关系，用一次函数解决实际问题）（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【例6-2】（用图象叙述函数关系，用一次函数解决实际问题）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示． 甲种 乙种 进价/（元/本） 3 5 售价/（元/本） 4.5 7 (1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本； (2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？ (3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由． 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【变式6-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某网店在30天内销售一种产品．图1是该产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．（注：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．） (1)第18天的日销售量为______件． (2)求第15天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多多少元？ 题型07 两个一次函数图象的问题 【例7】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店．图2是小明步行时离学校的路程（米）与行走时间（分）之间的函数关系的图象． (1)小明家到学校的距离为_____米，图中的值是_____； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)经过多少分时，小明距离学校100米？ 【变式7-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（）与充电时间t（h）的函数图象分别为图 2中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)在目前电量为的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用　　　　h． (2)求线段的函数表达式． (3)已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时．若该汽车目前电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶，接着用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求a的值． 题型08 一次函数与几何图形的综合 【例8】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 【变式8-1】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）直线经过，两点，点的坐标为． (1)求和的值； (2)点为线段上一点，点为直线上一点，． ①如图1，若，求点坐标； ②如图2，若，求点坐标． 【变式8-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，线段经过平移得到线段，其中点B的对应点为点C，点D在第一象限，直线交x轴于点F． (1)点D坐标为 ； (2)线段由线段经过怎样平移得到？ (3)求的面积． 【变式8-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式： (2)点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 题型09 一次函数与一元一次不等式组的综合 【例9-1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【例9-2】（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【变式9-1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【变式9-2】（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【变式9-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情． 某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y （单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 题型10 一次函数的规律探究问题 【例10】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【变式10-1】在直角坐标系中，正方形、、、…、．按如图所示的方式放置，其中点、、、…、，均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    【变式10-2】（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则 ． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为． （1）直线的表达式为 ； （2）的纵坐标是 ． 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若正比例函数的图象经过点，则该正比例函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线经过点，则该函数的图象经过（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 8.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 二、填空题 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点，在直线上，且，则 ． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 12．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知和是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是 ． 14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则W与s之间的关系式是： ． 15．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）甲乙两城相距150千米，一辆汽车从甲城去乙城，在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．求y与x之间的函数表达式．    17．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若点，都在该函数图象上，则 ．（填“”或“”） 18．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 21．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）共享单车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享单车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌共享单车的收费方式对应，品牌共享单车的收费方式对应． (1)求骑行品牌共享单车超过后的函数表达式； (2)求两种品牌共享单车收费相差元时的值． 22．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$