第11章 专题特训1 平面直角坐标系中点的规律探究-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

7.(1)如图，三角形A1B,C,即为所 求作 (2)(4,-2):(1,-4):(2,-1). (3)三角形ABC的面积为3×3 ×1×3-×1×2-×2× 1 7 3 2 0 (第7题) 8.D解析：因为将点A(m+1,n 2)先向左平移2个单位长度，再向上 平移4个单位长度得到点A',所以 A'(m-1,n+2).因为点A'(m-1, n十2)在第二象限，所以m一1<0， n+2>0.所以m<1,n>-2. 9.C解析：本题相当于把原来的点 P在平面直角坐标系中先向右平移 3个单位长度，再向下平移2个单位 长度.所以平移后点P的横坐标为 -2+3=1,纵坐标为4一2=2，即平 移后点P的坐标为(1,2). 易错警示一 混淆点的平移与平面直角 坐标系的平移致错 本题的易错点是误把平面直 角坐标系的平移当作点的平移，用 一2一3=一5,4+2=6，得出平移 后点P的坐标是（一5,6），而错选 A实际上，将平面直角坐标系向某 一方向平移相当于将点向相反方 向平移 10.D解析：因为点A(2,3)经过此 次平移后的对应点为A,(5,一1)，其 横坐标增加了3个单位长度，纵坐标 减少了4个单位长度，所以点P(a,b) 平移后的坐标也进行相应的变化.因 为点P(a,b)经过平移后的对应点为 P,(c,d),所以c=a+3,d=b一4，即 a-c=一3，b一d=4.所以a+b-c d=(a-c)+(b-d)=-3+4=1. 11.(2,2)解析：因为点B的坐标为 (3,0),所以OB=3.因为OE=4,所 以BE=OE-OB=4-3=1.所以三 角形AOB向右平移了1个单位长 度.所以点C的坐标为(2,2) 12.(3,-1)或(0，-3) 13.(1)由题意，得|2-a|=|3a+ 6l,所以2-a=3a+6或2-a= -(3a+6). 当2-a=3a+6时，解得a=-1, 此时点P的坐标为(3,3). 当2-a=-(3a十6)时，解得a= 一4，此时点P的坐标为(6，一6. 综上所述，点P的坐标为(3,3)或 (6,一6). 一易错警示 对点到两坐标轴的距离理解 不全面致错 解答本题时，容易受思维定式 的影响，误认为若点到两坐标轴的 距离相等，则，点的横、纵坐标就相 等，从而导致漏解.解題时，应根 据点到坐标轴的距离的意义，先 确定相应横、纵坐标的绝对值，再 分类讨论 2-a<0, (2)由题意，得 解得 3a+6>0, a>2 (3)向左平移5个单位长度，向下平 移4个单位长度 14.(1)+3:-1:D:+1. (2)(7,3). (3)因为P>A<m十3，n十2>，格点 A的坐标为(1,2)， 所以xp=1-(m+3)=-m-2, yp=2-(n十2)=一n,即格点P的 坐标为(-m一2，-n). 因为PQ<m十1，-2>， 所以xQ=-m-2+m+1=-1, yQ=一n十n-2=一2，即格点Q的 坐标为（一1，一2）. 因为1一（一1）=2,2一(-2)=4， 所以从格点Q先向右走2个单位长 度，再向上走4个单位长度到格点A. 所以这只蚂蚁从格点Q到格点A的 行走路线为Q>A<+2,十4>. 专题特训一平面直角 坐标系中点的规律探究 1.A解析：由题意，得OAm=2nm 2 (n为正整数).因为2024÷4=506， 所以n=506.所以OA2024=2×506= 1012(m).易得因为AgA2n⊥x轴， AAa=1m,所以20A· ×1012×1=506(m2). A1A20-2 所以三角形OA19A224的面积是 506m. 2.A解析：由题意，得点A1的横坐 标为1=2一1，点A2的横坐标为3= 2-1,点A3的横坐标为7=2一1， 点A4的横坐标为15=24一1…所 以按这个规律平移得到，点A,(n为正 整数)的横坐标为2”一1.所以点 A2s的横坐标为222s一1. 3.A解析：由题意，得在第2= 4(分钟)时，粒子所在的位置是(0,2)， 开始向右、向下运动：在第32=9（分 钟)时，粒子所在的位置是(3,0)，开始 向上、向左运动：在第4=16（分钟） 时，粒子所在的位置是(0,4)，开始向 右、向下运动；在第52=25（分钟）时， 粒子所在的位置是(5,0)，开始向上、 向左运动：….所以在第452=2025（分 钟)时，粒子所在的位置是(45,0)，开始 向上、向左运动.所以在第2024分钟 时，这个粒子所在位置的坐标是(44,0). 4.B解析：根据题意，得A,(1,1), A2(-1,3),A3(-4,0),A4(0,-4), 所以A5(5,1),A6（-1,7),A?(一8， 0),Ag(0,一8)…每四个点看成一 个循环，第1个(n为正整数)，点的坐 标依次为(n,1),(一1，n十1)，（一n 1,0),(0,一n),按此顺序依次循环. 因为10÷4=2…2，所以A0为第 3组第2个数.所以An(一1,11). 5.(一1,1)解析：由题意可得，长方 形的周长为12个单位长度，因为物体 甲、物体乙的速度分别为1个单位长 度/秒、2个单位长度/秒，所以两个物 体每次相遇的时间间隔为十2 12 4(秒).所以易得两个物体的相遇，点为 (-1,1),(一1，一1)，(2,0)，…，依次 循环.因为2023÷3=674…1，所以 两个物体第2023次相遇，点的坐标为 (-1,1). 6.(1)60.解析：如图，可以发现这 些正整数可看作围成多层正方形，从 内到外每条边上正整数的个数依次多 2,所有正方形每条边上正整数个数的 平方数都在第四象限的角平分线上 (即正方形右下角).其规律为点 (n,一n)对应的正整数是(2n十1)2， 而且每条边上有(21+1)个正整数. 因为易得点(1,4)在第四层正方形的 边上，该层每边有2×4十1=9（个）正 整数，所以右下角的点(4，一4)对应的 正整数是9×9=81.所以点(1,4)对 应的正整数是81一8一8一5=60. (2)因为点(n,一n)在第n层正方形 的边上，该层每边有(2m十1)个正整 数，右下角的点(，一)对应的正整 数是(21十1)2， 所以易得点(，n)对应的正整数是 (2n+1)2-3×2n=4n2-2n+1. 37363534333231 …171615 14 13 130 181 5 43 12 t29 6 1 2 19 0 11 28x 201 71 910 27 21 2223242526 (第6题) 方法归纳 探究点的坐标变化 规律的方法 探究点的坐标变化规律时，要 重点关注三个方面：一是前后出现 的点之间的关系：二是点的坐标与 序号之间的联系：三是点的坐标是 否循环变化， 7.C解析：因为点A22n的坐标为 (一3,2)，所以根据题意，可知点A219 的坐标为(-3，一2)，点A2018的坐标 为(1，一2)，点A2017的坐标为(1,2)， 点A2m6的坐标为（一3,2）…总结 规律，可得Aw+1（1,2),A4n+2（1, -2),A4n+3(-3,一2)，An+4（一3， 2).所以A,(1,2),即x=1,y=2.所 以x+y=3. 8.(一2，一1)解析：由题意，P1(2 0),P2(1,4),P3(-3,3),P4(-2, 一1)，P(2,0),…,由此发现，每四个 点为一个循环.因为2024÷4=506， 所以点P224的坐标和点P4的坐标 相同，为（一2，一1）. 9.(1)(16,3)(32,0)(2)(2”,3) (2n+1,0) 10.(1)点A,的坐标为(2,1一1)，点 B1的坐标为(n一1,2)，点A的坐标 为(1十tn一t),点B,的坐标为(n一 t,1+t). (2)B.解析：当1+t=n时，t=n 1,此时n一t=n一（一1）=1.所以经 过(n一1)次操作，点A,B的位置互换 (3)当n为奇数时，1十t=n一t,解得 1=01 2 当n为偶数时，1十t=n一t十1或1+ 1=一1一1，解得1=号或1=”2是 2· 综上所述，当n为奇数1=”时， A,B,两点之间的距离最近：当n为 偶数1=号或1=”2时，A,B,丙 2 点之间的距离最近 第11章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)因为点M在x轴上， 所以2m一8=0，解得m=4. 所以m十3=7. 所以点M的坐标为(7,0). (2)因为点M在第四象限， 所以+3>0，解得-3m<4. 2m-80, [变式](1)因为点P(2m-6,m十 2)在y轴上， 所以2m一6=0，解得m=3. 所以m+2=5. 所以点P的坐标为(0,5). (2)点P在第二象限. 理由：因为点P的纵坐标比横坐标 大9， 所以m+2=2m一6十9，解得m= 一1 所以2m-6=-8,m+2=1. 所以点P(一8,1)在第二象限. 典例2(2,65)解析：因为线段 OB,OC,OA的长度分别是1,2,3，且 OC平分∠AOB,超市表示为(3， 3 20°)，学校表示为(1,110°)，所以易得 ∠AOB=90°，∠A0C=45.因为 20°+45°=65°，所以公园可表示为 (2,65). [变式](4,4) 典例3C [变式]A 典例4如图，过点C作CE⊥x轴于 点E,过点D作DF⊥x轴于点F, 易得AF=1,EF=1,BE=2,DF= 4,CE=3. 所以S三角能Ae=2AF·DF=2, S梯无形CEF= 2(CE+DF)·EF= 3.5,S三角形BCE= BE CE-3. 所以S四边无AxD=2+3.5十3=8.5，即 四边形ABCD的面积是8.5. yA 0 3 C 2 1Al HFEB 012345x (典例4图) [变式]16 [综合素能提升] 1.D2.A 3.A解析：观察题图，易知当n为 正整数时，点P的坐标为(n,0),且 当n为奇数时，动点P3m→P+1为向 下移动，当n为偶数时，动点P3m> Pm+1为向上移动，因为2019=3× 673,所以点P29的坐标是(673,0). 所以易得，点P2的坐标是(673，一1). 4.(-1,-1) 5.(-2,5)解析：根据定义，可得 2(2,5)=(2,-5),○(2，-5)= (-2,5).所以○(2(2,5))=○(2， -5)=（-2,5). 6.(1)因为点P的坐标为(2m十4， m-1),点Q的坐标为(2，-3)，且 PQ∥y轴， 所以2m十4=2，解得m=-1. 所以m-1=-2. 所以点P的坐标为(2，一2) (2)因为点P在第一、三象限的角平 分线上， 所以2m+4=m-1,解得m=一5.拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 专题特训一平面直角坐标， 类型一沿坐标轴运动的点的坐标规律探究 1.(2024·芜湖段考)在平面直角坐标系中，一个 智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按 向右向上→向右→向下的方向依次不断移 动，每次移动1m.其行走路线如图所示(1个 单位长度表示1m),第1次移动到点A1,第 2次移动到点A2,·,第n次(n为正整数)移 动到点A.三角形OA19A224的面积是( y As A A 0 A AsAs Ag A12x (第1题) A.506m B.505m2 C.505.5m2 D.1012m 2.如图，在平面直角坐标系中，将点A1(1,1)先 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单 位长度，得到点A2;将点A2先向上平移2个 单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点 A3;将点A3先向上平移4个单位长度，再向 右平移8个单位长度，得到点A4…按这个 规律平移得到点A2023,则点A223的横坐 标为 A.22023-1 B.22023 C.22024-1 D.22024 4 01234x (第2题) (第3题) 3.(2024·安庆桐城期中)如图，一个粒子在第 象限内及x轴、y轴上运动，在第1分钟， 它从原点运动到点(1,0)；第2分钟，它从点 (1,0)运动到点(1,1)，而后它接着按图中箭头 6 系中点的规律探究 所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动， 且每分钟运动1个单位长度，则在第2024分 钟时，这个粒子所在位置的坐标是 () A.(44,0) B.(45,0) C.(44,1) D.(45,1) 类型二做“回”字形运动的点的坐标规律探究 4.(2024·滁州天长期中)如图，在平面直角坐 标系中，把一个点从原点开始向上平移1个 单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点 A1(1,1);把点A1向上平移2个单位长度， 再向左平移2个单位长度，得到点A2(一1， 3);把点A2向下平移3个单位长度，再向左 平移3个单位长度，得到点A3(一4,0)；把点 A?向下平移4个单位长度，再向右平移4个 单位长度，得到点A4(0,一4)，…；按此做法 进行下去，则点A。的坐标为 () A.(9,1) B.(-1,11) C.(-12,0) D.(-1,7) yt B A(2,0) -20 D -1E (第4题) (第5题) 5.如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴 或y轴，物体甲和物体乙都从点A(2,0)同时 出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物 体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒的速 度匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单 位长度/秒的速度匀速运动，则两个物体第 2023次相遇点的坐标是 6.*在平面直角坐标系中，把正整数按！ 如图所示的顺序排列，每一个点对 应着一个正整数，例如：点(0,0)对 应的正整数是1，点(1,2)对应的正整数 是14. (1)点(1,4)对应的正整数是 (2)探究点(n,n)对应的正整数的规律， 37363534333231 …171615 14 71330 18 43 12↑29 6 12 19 0 1128x 20 8910 127 211 2223242526 (第6题) 类型三与新定义有关的点的坐标规律探究 7.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),我们 把P(y一1，一x一1)叫作点P的“友好点”. 已知点A1的“友好点”为A2,点A2的“友好 点”为A3,点A3的“友好点”为A4…这样 依次得到各点.设点A1的坐标为(x,y),若 点A220的坐标为（一3,2），则x十y的值是 A.-5B.-1C.3D.5 8.在平面直角坐标系中，点P(x,y)经过某种 变换后得到点P'(一y+1,x+2),我们把 P'(-y+1,x+2)叫作点P(x,y)的终结 点.已知点P1的终结点为P2,点P2的终结 点为P3,点P3的终结点为P4,这样依次得 到点P,P2,P3,P4,…,Pm,…,若点P1的 坐标为(2,0)，则点P224的坐标为 类型四图形变换中点的坐标规律探究 9.如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形 OAB变换成三角形OA1B1,第二次将三角形 OA1B1变换成三角形OA2B2,第三次将三角 第11章平面直角坐标系 形OA2B2变换成三角形OA3B3. (1)观察三角形的变换规律，若将三角形 OA3B3变换成三角形OA4B4,则点A4的坐 标是 ,点B4的坐标是 (2)若按此变换规律将三角形OAB进行 n次变换，得到三角形OA,B,,则，点A的坐 标是 ,点B,的坐标是 A B 024681012141618x (第9题) 10.如图，点A(1,n),B(n,1),我们定 义：将点A向下平移1个单位长 度，再向右平移1个单位长度，同 时将点B向上平移1个单位长度，再向左平 移1个单位长度称为一次操作，此时平移后 的两点记为A1,B1,t次操作后两点记为 A,,B. (1)直接写出点A1,B1,A,B,的坐标（用 含n,t的式子表示)， (2)下列判断正确的是 () A.经过n次操作，点A,B的位置互换 B.经过(n一1)次操作，点A,B的位置互换 C.经过2n次操作，点A,B的位置互换 D.不管几次操作，点A,B的位置都不可能 互换 (3)当t为何值时，A,,B,两点之间的距离 最近？ y A(1,n) B(n,1) 0 (第10题)