专题03 与平面直角坐标系有关的规律探究问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题03 与平面直角坐标系有关的规律探究问题 目录 1 类型一、沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1 类型二、沿斜线运动的点的规律探究 9 类型三、绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 16 类型四、沿曲线运动的点的规律探究 23 类型五、平面直角坐标系中图形的变换规律探究 28 39 类型一、沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第55个点是第10列最上面一个数，，然后对应得出坐标规律求解即可． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第55个点是第10列最上面一个数， ∵第10列有10个数，y轴上方比下方多一个， ∴x轴上方有5个，x轴上有1个，x轴下方有4个， ∵x轴上的点的坐标为 ∴最上面的点的坐标为． 故选C． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 而， ， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：． 故选：B． 3．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平面直角坐标系，正确找到规律是解题的关键．先求出凸形的周长为，根据的余数为4即可求解． 【详解】解：，，，， 凸形的周长为， 的余数为4， 细线另一端所在位置的点的坐标是 故选：C． 4．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，…，按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查点坐标的规律探究，由图可知，个坐标的纵坐标为一循环，因此判断对应的坐标是，那么纵坐标为，横坐标每多一个循环则大，可算出横坐标为，然后直接求解即可． 【详解】解：观察图形可知，n为正整数时，的纵坐标为0，1，3，， 纵坐标为0的点： 纵坐标为1的点： 纵坐标为3的点： 纵坐标为的点： 可以看出纵坐标为1，3，时，n取连续的两个数为一组，则10个10个的增加， ∵，纵坐标为1的规律 ∴的纵坐标为1，正好是往右循环202次， 又∵每个循环横坐标加4， ∴横坐标为 ∴ 故选：D 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2023与2的商和余数，继而得解． 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， 则， ∴第2023次的坐标是：， 故选C． 【点睛】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律． 6．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点 ，点第次向上平移个单位至点，接着又向右平移个单位至点，然后再向上平移个单位至点，向右平移个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标 ．    【答案】 【分析】根据题得出前若干个点的坐标进而即可得到进而即可解答． 【详解】解：∵，，……， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—平移，学会探究规律的方法是解题的关键． 7．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向左、向下、向左的方向依次不断移动得，，，，，…，每次移动的距离分别为1，1，1，1，2，2，2，3，3，3，3…，其行走路线如图所示： (1)填写下列各点的坐标：、（____，____）、（____，____）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)蚂蚁从原点到点移动的总路程是_____． 【答案】(1)、 (2)点的坐标为 (3)198 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律计算，有理数混合运算， （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）分别找出坐标的特点，总结规律即可求解； （3）根据移动距离进行计算，找出规律即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，，，，，，，，，， ∴，，在轴的负半轴上， ∴的横坐标为； （2）解：由（1）得出规律为：的坐标为； （3）解：∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴点移动的距离是：， 点移动的距离是：， 点移动的距离是：， ∴点移动距离是： ． 8．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 类型二、沿斜线运动的点的规律探究 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题关键是发现P点的横坐标、纵坐标的规律． 观察可知点P的横坐标即为运动的次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0，据此规律求解即可． 【详解】解：第一次运动后的坐标为：， 第二次运动后的坐标为：， 第三次运动后的坐标为：， 第四次运动后的坐标为：， 第五次运动后的坐标为：， ……， ∴可以得出规律：点P的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0； ∵， ∴P点的横坐标是运动次数即2025，纵坐标与第一次运动到达的点的纵坐标相同即1， ∴第2025次运动后的坐标为：， 故选：B 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，．依据点的坐标变化规律，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点坐标规律探索，找出规律是解题关键．根据平面直角坐标系内各点的坐标可知当为奇数时，即；当为偶数时，即，即得出中，从而即可解答． 【详解】解：∵，，，……， ∴； ∵，，，……， ∴． ∵2024为偶数， ∴， ∴， ∴，即． 故选A． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，得出规律第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，结合得出第2016个点的坐标为，第2017个点的坐标为，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，点，作为第二列，点，，作为第三列，依次类推，第一列有1个点，第二列有2个点，第三列有3个点，…， 故第列有个点，且第列最下面的点的坐标为， ∵， ∴第2016个点的坐标为，第2017个点的坐标为， ∵， ∴第2025个点的坐标是， 故选：D． 4．（22-23七年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是 ．    【答案】 【分析】观察不难发现，点的横坐标等于运动的次数，纵坐标每4次为一个循环组循环，用2023除以4，余数是几则与第几次的纵坐标相同，然后求解即可． 【详解】解：∵第1次运动到点，第2次运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点…， ∴由此可以得到规律，运动后，点的横坐标等于运动的次数，纵坐标每4次运动为一个循环，1，0，，0依次出现， ∵ ， ∴第2023次运动后动点P的纵坐标是第504个循环组的第3次运动，即与第3次运动的点的纵坐标相同，为， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据图形观察出点的横坐标与纵坐标的变化规律是解题的关键． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）由已知点坐标可得点的坐标为，据此即可求解； （）由已知点坐标可得点，据此即可求解； （）根据由（）、（）所得规律可得，，，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，坐标与图形，由已知点的坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴第次向右跳动至点，点的坐标为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴点， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由（）、（）可得，，，， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴三角形的面积． 7．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由，，，，…， ∴ 当 解得： 类型三、绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿四边形按逆时针方向运动，与此同时，点Q从C出发以每秒3个单位的速度沿四边形按顺时针方向运动.则P与Q第2025次相遇时点的坐标时（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用、点的坐标规律探究，通过计算发现规律就可以解决问题． 利用行程问题中的相遇问题，由于长方形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标，找出规律即可解答． 【详解】解：∵点、、、， ∴，， ∴长方形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是点， 第四次相遇点是点， 第五次相遇点是点， 第六次相遇点是点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点的坐标与第五次相遇点的坐标重合，即， 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型点的坐标．先找出坐标轴上的点所用的时间的规律，再按照运动方向推断求解． 【详解】解：在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， ， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第2024分钟时，这个粒子所在位置的坐标是， 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，长方形的性质，根据点坐标可得长方形的周长，设运动时间为，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解，掌握行程中的数量关系，平面直角坐标系中点坐标运动规律是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的四个顶点坐标分别为，，，， ∴，， ∴长方形的周长为， 设运动时间为， ∴， 解得，， ∴当时，点第一次相遇，则点走的路程为，即在的正半轴上， ∴点； 当时，点第二次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第三次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第四次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第五次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第六次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； ∴五次相遇一循环， ∴， ∴点， 故选：A ． 4．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们边长依次为2，4，6，8，10，…，顶点，，，，，，…的坐标分别为，，，，，，…，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的规律探索，根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“三、二、一、四”象限的顺序排序，且点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数，故计算，知道是第506个正方形的顶点，且在第一象限，据此得出的坐标即可．能根据已知找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“三、二、一、四”象限的顺序排序，且点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数， ∵，， ∴顶点是第个正方形的顶点，且在第一象限， ∴顶点的坐标：横坐标是，纵坐标是， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． （1）根据各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可； （2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2024个数分为506组，再得出,即可得到相应结果． 【详解】解：（1）由题意可知 …… 于是得到的值为1，，，3， ∴； 故答案为：2． （2）∵的值分别为3，，，， ∴； ∵， ， … ， ∵， ∴． ∵，,，…… ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 6．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． (1)依次写出的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 【答案】(1)分别为1，，，3，3， (2)1 (3)1002 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． （1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可； （2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可； （3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果． 【详解】（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出： 、、、、、的值分别为：1，，，3，3，； （2）； ； ； （3）； ； ． 类型四、沿曲线运动的点的规律探究 1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可． 【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕O点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕C点顺时针旋转所得， ∴， 由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1， 又∵， 故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键． 2．（24-25七年级下·江西南昌·期中）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案。斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线。在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作的圆弧，，…，得到一组螺旋线，连接，，，，得到一组螺旋线，如图所示。已知点，，的坐标分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查在平面直角坐标系中的点的坐标规律，根据图中点的位置，找出规律，利用平移的特点，依次求出各个点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：观察发现： )先向右平移个单位，再向上平移个单位得到 ； )先向右平移个单位，再向下平移个单位得到； )先向左平移个单位，再向下平移个单位得到； )先向左平移个单位，再向上平移个单位得到； )先向右平移个单位，再向上平移个单位得到； 根据斐波那契数，应先向右平移个单位，再向下平移个单位得到 ； 故选： D． 3．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、半圆、半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可． 由题意知圆的周长为个单位长度，然后可得点运动半圆所需2秒，即可求解． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点运动半圆所需（秒）， ∴第1秒时，点的坐标为； 第2秒时，点的坐标为； 第3秒时，点的坐标为； 第4秒时，点的坐标为； 第5秒时，点的坐标为； ， 故点的纵坐标以循环， ∵， ∴第2025秒时，点的坐标是； 故选：D． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图．四边形是正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律的探究．由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第二象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，，，，，，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第二象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 5．（22-23九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为1的圆，与两坐标轴相切，若该圆沿x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在x轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆的周长，在根据滚动的圈数求出求出滚动总距离即可． 【详解】解：圆的半径为1， 圆的周长为． 题图中圆的圆心坐标为， 该圆向x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在x轴上不滑动），此时该圆的圆心横坐标为，纵坐标为1，即， 故选：B． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，熟记圆的周长公式及并掌握平面直角坐标系点坐标的规律是解题的关键． 6．（22-23九年级下·广东梅州·期末）如图：图象①②③均是以为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为，第二次移动后图形①②③的圆心依次为…，依此规律 个单位长度．    【答案】675 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，找出图形发生变化部分，按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【详解】解：由图可得，，，； ，，； ，，； ∴， 第674次平移得到的扇形的圆心依次是、、， 因此第675次平移得到的三个扇形的圆心依次是、、， 所以点． 故答案为：675． 类型五、平面直角坐标系中图形的变换规律探究 1．（23-24七年级上·安徽六安·期末）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，（为大于的整数），如这组数为，则，，…当这组数为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义点的坐标，根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：当这组数为时， ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 2．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出前几次变化的坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：经过第1次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第2次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第3次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第4次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第5次变换后点A的对应点的坐标为， …… ∴该变化每4个一循环， ∵， ∴经过第2023次变换后点为第组的第三个坐标，即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，面积为3的等腰三角形，，点、点在轴上，且、，规定把三角形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2025次变换后，三角形顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得点，第1次变换后，点A的坐标为，第2次变换后，点A的坐标为，第3次变换后，点A的坐标为，第4次变换后，点A的坐标为，第5次变换后，点A的坐标为 ……，以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点A的横坐标为，纵坐标为；当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为，以此即可解答． 【详解】解：∵面积为的等腰，，， ∴， 即， ∴， 则 ∴点到轴的距离为，横坐标为， ∴， ∴第1次变换A的坐标为， 第2次变换A的坐标为， 第3次变换A的坐标为， 第4次变换后，点A的坐标为， 第5次变换后，点A的坐标为， 以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点 A的横坐标为，纵坐标为； 当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为， 第次变换后， ∴点A的坐标为， 故选：A． 4．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，分别是正方形的顶点．规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，例如，正方形经过次变换后得到正方形，顶点的坐标为，则连续经过次变换后的顶点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，对称与平移，坐标与图形，根据题意分别求得前几次点的对应点的坐标，找到规律第次变换后的点的对应点的为：当为奇数时为，当为偶数时为，即可求解． 【详解】正方形，点、的坐标分别是，， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，即的坐标是， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，，即 ， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，即， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，即， 第次变换后的点的对应点的为：当为奇数时为，当为偶数时为， 把正方形经过连续次变换后的顶点的坐标为 故选：D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．      （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． （2）若按（）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉的指数次幂是解题的关键． （）根据规律直接写出结论； （）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：， 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：，； （）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是， 故的坐标为：， 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是， 故的坐标为：， 故答案为：，． 6．（23-24九年级下·湖北·阶段练习）如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先作关于轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2015次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，坐标规律的探究，先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 【详解】解：∵、， ∴， 经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， ······ 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为． 故答案为． 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，旋转的性质，能通过变换方式发现点位置及边长的变化规律是解题的关键．首先得到每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，然后由余1，得到第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上，然后求出的边长为，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现． 又因为余1， 所以第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上， 因为， 所以的边长为1， 则根据变换方式可知，的边长为2，的边长为，的边长为，…，的边长为． 所以的边长为， ， 所以点的坐标为． 故答案为：． 8．（2022·安徽·模拟预测）将一个图形先沿一条射线方向平移一定的距离得到图形，再作图形关于射线对称的图形，把由图形到图形的变换叫做滑动反射变换，简称滑动反射．如图，在菱形中，，点，点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，作两次滑动反射得到菱形每次变换中平移的距离等于的长． (1)点的坐标为_______； (2)点的横坐标为_______； (3)菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为_______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形，菱形的性质等知识： （1）连接，证出轴，得是等边三角形，求出，得出点A，C的坐标，从而可求出点的坐标； （2）根据求解即可； （3）分别求出菱形和菱形对称中心的纵坐标，即可得到规律． 【详解】（1）解：连接， ∵点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同， ∴轴， 在菱形中， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴ ， ∴， 将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）知， ∴ ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：； （3）解：∵菱形对称中心的纵坐标， 菱形对称中心的纵坐标为1， ∴菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为， 故答案为：． 9．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：；    (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律． （1）根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可； （2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标就变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可． 【详解】（1）解：根据图形变换的规律： ∵； ∴点的坐标为； ∵； ∴点的坐标为 ； （2）解：由图形变换的规律可得： 点坐标为：； 点的坐标为：． 10．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案； （2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可． 【详解】（1）解：，，； 点横坐标为，纵坐标依次为：2，，， 的纵坐标为：， ， ，，， 点横坐标为0，纵坐标依次为：，，， 的纵坐标为：， ， 点的坐标为，点的坐标为； （2）（2）由（1）得出：，， 点的坐标是，的坐标是． 【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键． 1．（河南省南阳市五中、四中联考2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）如图所示，动点在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点，第二次接着运动到点，第三次接着运动到点……按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．仔细观察图形，找到点的坐标变化的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察发现： 第2次运动到点； 第4次运动到点； 第6次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ，即， 所以经过2025次运动后，动点的坐标是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据等边三角形的性质，每次旋转，3次一循环，根据规律先求得的横坐标，再根据第一次滚动后的到坐标规律，即可求解． 【详解】解： ∵，第一次滚动后得到，，第二次滚动后得到，，第三次滚动后得到，， 每次旋转，3次一循环，每3次横坐标， ∵， ∴的横坐标是， ∴的横坐标是，纵坐标是， 故选：D． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键． 根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解：，，，，，，，，， ∴总结规律得：（为正整数）， ， 的坐标是， 故选：B． 4．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 5．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：C． 6．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿x轴正方向连续翻转次，点P依次落在点，，，，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律． 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， 余， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其横坐标即为翻转次数， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 故答案为：，． 7．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）如图，一个点在第一，四象限及轴上运动，在第1次，它从原点运动到点，用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2025秒时点所在的位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据已知得出点的横坐标等于运动秒数，纵坐标从，0，1，0依次循环，即可得出答案．此题主要考查了数字变化规律以及坐标性质，根据已知得出点坐标的变化规律是解题关键． 【详解】解：∵一个点在第一，四象限及轴上运动，在第1次，它从原点运动到点，用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即，它每运动一次需要1秒， ∴第4秒时点所在位置的坐标是：， ∴第5秒运动点的坐标为：，第6秒运动点的坐标为：，第7秒运动点的坐标为：，第8秒运动点的坐标为：， ∴点的横坐标等于运动秒数，纵坐标从，0，1，0依次循环， ∴第2025秒时点所在位置的坐标是：横坐标为：2025， ∵，纵坐标为：， ∴第2025秒时点所在位置的坐标是：． 故答案为： 8．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点，第9次运动到点，第10次运动到点．，…，依此规律继续运动下去，第2025次运动到点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． 根据坐标发现当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵， ，，，， ∴当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为， ∵， ∴，即， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形，，，，，，，，，，，，…，（每个正方形的顶点从第三象限开始，按顺时针方向，依次记为，，，，，，，，，，，，…，）正方形的中心均在坐标原点O处，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，得到的坐标的变化是解题的关键．观察图形，由第四象限点的坐标的变化可得出“点的坐标为（为非负整数），点的坐标为（为非负整数），点的坐标为（为非负整数），点的坐标为”，再结合，即可求出点的坐标． 【详解】解：观察图形可知： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …… 点的坐标为（为非负整数）， 点的坐标为（为非负整数）， 点的坐标为（为非负整数）， 点的坐标为（为非负整数）， ， 点的坐标为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 12．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与平面直角坐标系有关的规律探究问题 目录 1 类型一、沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1 类型二、沿斜线运动的点的规律探究 4 类型三、绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 7 类型四、沿曲线运动的点的规律探究 9 类型五、平面直角坐标系中图形的变换规律探究 11 15 类型一、沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，…，按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点 ，点第次向上平移个单位至点，接着又向右平移个单位至点，然后再向上平移个单位至点，向右平移个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标 ．    7．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向左、向下、向左的方向依次不断移动得，，，，，…，每次移动的距离分别为1，1，1，1，2，2，2，3，3，3，3…，其行走路线如图所示： (1)填写下列各点的坐标：、（____，____）、（____，____）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)蚂蚁从原点到点移动的总路程是_____． 8．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 类型二、沿斜线运动的点的规律探究 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，．依据点的坐标变化规律，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是 ．    5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 7．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 类型三、绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿四边形按逆时针方向运动，与此同时，点Q从C出发以每秒3个单位的速度沿四边形按顺时针方向运动.则P与Q第2025次相遇时点的坐标时（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们边长依次为2，4，6，8，10，…，顶点，，，，，，…的坐标分别为，，，，，，…，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 6．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． (1)依次写出的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 类型四、沿曲线运动的点的规律探究 1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ． 2．（24-25七年级下·江西南昌·期中）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案。斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线。在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作的圆弧，，…，得到一组螺旋线，连接，，，，得到一组螺旋线，如图所示。已知点，，的坐标分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、半圆、半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图．四边形是正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为1的圆，与两坐标轴相切，若该圆沿x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在x轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23九年级下·广东梅州·期末）如图：图象①②③均是以为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为，第二次移动后图形①②③的圆心依次为…，依此规律 个单位长度．    类型五、平面直角坐标系中图形的变换规律探究 1．（23-24七年级上·安徽六安·期末）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，（为大于的整数），如这组数为，则，，…当这组数为时，（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，面积为3的等腰三角形，，点、点在轴上，且、，规定把三角形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2025次变换后，三角形顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，分别是正方形的顶点．规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，例如，正方形经过次变换后得到正方形，顶点的坐标为，则连续经过次变换后的顶点的坐标为(   ) A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．      （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． （2）若按（）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 6．（23-24九年级下·湖北·阶段练习）如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先作关于轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2015次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为 ．    7．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为 ． 8．（2022·安徽·模拟预测）将一个图形先沿一条射线方向平移一定的距离得到图形，再作图形关于射线对称的图形，把由图形到图形的变换叫做滑动反射变换，简称滑动反射．如图，在菱形中，，点，点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，作两次滑动反射得到菱形每次变换中平移的距离等于的长． (1)点的坐标为_______； (2)点的横坐标为_______； (3)菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为_______．（用含的代数式表示） 9．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：；    (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 10．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 1．（河南省南阳市五中、四中联考2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）如图所示，动点在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点，第二次接着运动到点，第三次接着运动到点……按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 5．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿x轴正方向连续翻转次，点P依次落在点，，，，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 7．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）如图，一个点在第一，四象限及轴上运动，在第1次，它从原点运动到点，用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2025秒时点所在的位置的坐标是 ． 8．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点，第9次运动到点，第10次运动到点．，…，依此规律继续运动下去，第2025次运动到点的坐标是 ． 9．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形，，，，，，，，，，，，…，（每个正方形的顶点从第三象限开始，按顺时针方向，依次记为，，，，，，，，，，，，…，）正方形的中心均在坐标原点O处，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 12．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，；… 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$