2.3.1全称量词命题与存在量词命题学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学导学案聚焦全称量词与存在量词命题的定义、符号表达及真假判断，通过生活实例与数学语句的对比引入概念，由浅入深构建知识支架。从“任意”“存在”等日常用语出发，引导学生抽象出逻辑结构，再过渡到符号化表达和命题判断，形成从具体到抽象的认知路径，有效衔接初中代数思维与高中逻辑推理。 资料亮点突出，体现数学核心素养的深度融合。以“会用数学的眼光观察现实世界”为起点，借助典型语句分析培养符号意识与抽象能力，如将“有的矩形是菱形”转化为存在量词命题；以“会用数学的思维思考现实世界”为核心，设计真假判断策略，强化逻辑推理与反例构造能力，如通过特例否定全称命题；以“会用数学的语言表达现实世界”收尾，精选高考真题与变式训练，提升建模意识与表达规范性，尤其在例3、例4中展现跨情境迁移能力，助力学生实现从理解到应用的跃升。

2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2. 能正确地利用全称量词与存在量词表达数学对象． 活动一 理解全称量词与存在量词的概念 思考1►►► 下列语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什么含义？ (1) 对任意实数x，都有x2≥0； (2) 存在有理数x，使x2－2＝0； (3) 有的矩形是菱形； (4) 所有的质数都是奇数； (5) 有一个素数是偶数． 思考2►►► 以上五个语句可以分成几类？每一类有什么特征？ 思考3►►► 常见的量词有哪些？ 思考4►►► 用符号表示思考1中语句(1)(2)(3). 全称量词 所有、任意、一切、每一个、任意一个 数学符号 ∀x 全称量词命题 含有全称量词的命题 一般形式 ∀x∈M，p(x) 存在量词 存在、至少有一个、有一个、有些、有的 数学符号 ∃x 存在量词命题 含有存在量词的命题 一般形式 ∃x∈M，p(x) 活动二　掌握全称量词与存在量词的简单应用　 例1　用全称量词与存在量词表示下列语句： (1) 有理数都能写成分数形式； (2) n边形的内角和等于(n－2)×180°； (3) 存在一个实数x，使＝0； (4) 有的正数比它的倒数小． 活动三　全称量词命题和存在量词命题的真假判断　 例2　判断下列命题的真假： (1) ∃x∈R，x2>x； (2) ∀x∈R，x2>x； (3) ∃x∈Q，x2－8＝0； (4) ∀x∈R，x2＋2>0. 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1) ∀x∈N，2x＋1是奇数； (2) ∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3) 对任意实数a，|a|＞0； (4) 存在一个角α，使sin α＝. 思考5►►► 如何判断存在量词命题和全称量词命题的真假？ 思考6►►► 给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响？试举例说明． 活动四 掌握量词的综合应用 例3　已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是____________． 例4　(1) 是否存在实数m，使不等式m＋(x2－2x＋5)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； (2) 若存在实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)＞0成立，求实数m的取值范围． 1. (2024南阳方城一中开学考试)下列命题中，是全称量词命题的是(　　) A. 存在一个实数的平方是负数 B. 每个四边形的内角和都是360° C. 至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 D. 存在一个实数x，使得x2＝x 2. (2024项城第一高级中学月考)已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A. (0，4) B. (－∞，4] C. (－∞，0) D. [4，＋∞) 3. (多选)(2024盐城期中)下列命题中，是真命题的有(　　) A. ∃x∈R，x2<x B. ∀x∈R，x2<x C. ∃x∈Q，x2－3＝0 D. ∀x∈R，x2＋1>0 4. 若命题p：“∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是________． 5. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1) 两个偶数一定有公约数； (2) 实数的平方和大于0； (3) 有一个实数，它的任何正整数次幂为0； (4) 两个负数的乘积为正数． 2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 【活动方案】 思考1：语句(1)使用了“任意”，表示对每一个实数x，必定有“x2≥0”，即没有使“x2≥0”不成立的实数x存在． 语句(2)使用了“存在”，表示至少可以找到一个有理数x，使“x2－2＝0”成立． 语句(3)使用了“有的”，表示可以找到一个矩形，它是菱形． 语句(4)使用了“所有”，表示每一个质数都是奇数． 语句(5)使用了“有一个”，表示可以找到一个素数是偶数． 思考2：以上五个语句可分为两类．表示的量词不同，分别是 “任意”“存在”“有的”“所有”“有一个”． “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． 思考3：“所有”“任意”“每一个”“有些”“存在”“有的”“有一个”等． 思考4：(1) ∀x∈R，x2≥0. (2) ∃x∈Q，x2－2＝0. (3) ∃x∈{x|x是矩形}，x是菱形． 例1　(1) ∀x∈Q，x能写成分数形式． (2) ∀x∈{x|x 是n边形}，x的内角和为(n－2)×180°.　 (3) ∃x∈R，＝0. (4) ∃x∈(0，＋∞)，x＜. 例2　(1) 因为当x＝2时，x2>x成立， 所以“∃x∈R，x2>x”是真命题． (2) 因为当x＝0时，x2>x不成立， 所以“∀x∈R，x2>x”是假命题． (3) 因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数， 所以“∃x∈Q，x2－8＝0”是假命题． (4) 因为对任意实数x，都有x2＋2>0成立， 所以“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． 跟踪训练　(1) 是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2) 是存在量词命题．因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，所以该命题是假命题． (3) 是全称量词命题．因为|0|＝0，所以对任意实数a，|a|＞0不都成立，所以该命题是假命题． (4) 是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． 思考5：要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真，否则命题为假．要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假． 思考6：有影响．例如“∃x∈R，x2>x”是真命题，但“∃x∈(0，1)，x2>x”是假命题．“∀x∈R，x2>x”是假命题，但“∀x∈(1，＋∞)，x2>x”是真命题． 例3　(－∞，－2]∪{1}　因为命题p是真命题，所以f(x)＝x2－a在区间[1，2]上的最小值也大于等于0，即a≤1.因为∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.综上所述，a≤－2或a＝1，即实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}． 例4　(1) 不等式可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4. 故存在实数m，当m>－4时，不等式m＋(x2－2x＋5)>0，对于任意x∈R恒成立． (2) 原式可化为m＞x2－2x＋5， 若存在实数x使不等式m＞x2－2x＋5成立，则m＞(x2－2x＋5)min. 又x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，所以m＞4， 所以实数m的取值范围是(4，＋∞). 【检测反馈】 1. B　由题意，得A，C，D中的命题均为存在量词命题；B中的命题是全称量词命题． 2. B　由p是真命题，得Δ＝16－4a≥0，解得a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4]. 3. AD　对于A，B，当0<x<1时，x2<x，故A正确，B错误；对于C，由x2－3＝0，解得x＝±，所以不存在x∈Q，使得x2－3＝0，故C错误；对于D，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以∀x∈R，x2＋1>0，故D正确．故选AD. 4. (1，＋∞)　命题p：“∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，故实数m的取值范围是(1，＋∞). 5. (1) 全称量词命题，真命题． (2) 全称量词命题，假命题． (3) 存在量词命题，真命题． (4) 全称量词命题，真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $