湖北省团风中学2025-2026学年高三实验班数学滚动测试卷（08.25）

团风中学2026届高三实验班数学滚动测试卷（2025-08-25） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数，函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（　　） A．函数图像关于对称 B．函数在上单调递增 C．函数图像在内有3个极值点 D．函数图像关于中心对称 4．已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．函数恰有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中 ,为自然对数的底数,则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（　　） A．最小值为1 B．最小值为2 C． D．最小值为4 10．四边形内接于半径为的圆，如图所示，其中，， 则下列结论正确的有（　　） A． B． C．四边形的面积为 D． 11．已知定义域为的函数满足：①若，则；②对一切正实数 ，则（    ） A． B． C．，恒有成立 D．存在正实数，使得成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的值为 . 13．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 14．已知函数，则下列命题正确的有 ①函数有且只有两个零点 ②函数在上为增函数 ③函数的最大值为 ④若方程有三个实根，则 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在平面直角坐标系中，点、、在以原点为圆心半径为1的圆上，并且满足：在轴的正半轴上，在第一象限中，在第二象限中且横坐标是.记，为锐角，为钝角. (1)求的值； (2)求的值. 16．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 17．已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 18．已知． (1)若时，求在上的最大值和最小值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)设，证明：． 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D D C B D BD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】化简两个集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】已知集合， 则，则. 故选：B. 2．A 【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【详解】由题意可得， 所以在复平面对应点，在第一象限， 故选：A 3．B 【分析】化简的解析式，利用图象的平移变换求得的解析式，利用余弦函数的性质逐项计算可判断其正误. 【详解】 ， 函数的图像向左平移个单位得函数的图象， 再向上平移1个单位长度得到函数的图象， 对于A，， 所以函数图像不关于对称，故A错误； 对于B，，，由在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，， 由或，可得或是函数的极值点， 故函数图像在内有2个极值点， ， 所以函数图像关于中心对称，故D错误. 故选：B. 4．D 【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果. 【详解】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 5．D 【分析】函数恰有一个零点等价于在上有且只有一个根.令，由导数法求得，结合的图象变化即可得结果. 【详解】∵函数恰有一个零点，∴方程在上有且只有一个根，即在上有且只有一个根. 令，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. ∴. ∴当，令，即，则，由函数性质可得，即；又当. 故若使函数恰有一个零点，则. 故选：D. 【点睛】函数零点个数问题，可转化为两个函数图象的交点个数问题，此时需要明确函数图象的变化趋势，尤其对于指数、对数函数等复杂函数，才能由数形结合判断交点个数. 6．C 【分析】当时，分或进行讨论，研究的最小值，使得 恒成立的范围；时，利用导函数研究的单调性与最值，求出的取值范围为． 【详解】当时， 若，则，要使恒成立，即， 若，则，要使恒成立， 即，，即 当时， 在上单调递增， 要使恒成立，即 综上所述，的取值范围为， 故选：C． 7．B 【分析】根据所给的方程的特征,令进行换元,方程转化为,画出函数 的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值. 【详解】令,所以由可得, 设,,当时, ,所以函数单调递减, 当时, ,所以函数单调递增,而,显然当时, ，当时, ，因此函数的图象如下图所示： 要想关于的方程有三个不等的实数解,且, 结合函数图象可知,只需关于的方程有两个不相等的实数根,且, , , . 故选B. 【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题. 8．D 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，由利用基本不等式和上述结论，可推得，从而可得的最小值. 【详解】由，可得． 因为为锐角三角形，所以均大于0． 则（*）， 当且仅当时取等号． 而 ， 则由（*）可得：， 即，当且仅当， 即时取等号. 即当或时， 的最小值是8． 故选： D. 9．BD 【分析】根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 10．ACD 【分析】连接、，借助余弦定理可得、，即可得，从而可得A；再借助正弦定理可得B；借助面积公式计算可得C；求出后借助数量积公式计算即可得D. 【详解】对于A，连接，在中，，， ，，解得， ，即，故A正确； 对于B，， 由正弦定理得， 该外接圆的半径为，故B错误； 对于C，， ， 四边形的面积，故C正确； 对于D，连接，，， 解得，， 则，故D正确． 故选：ACD． 11．BCD 【分析】对于AB，由赋值法即可判断；对于C，由基本不等式结合函数新定义即可判断；对于D，取，利用函数性质得到，结合即可判断. 【详解】对于A，在中，令，可得，无法确定的值，A错； 对于B，令，代入条件②中，，即，B对； 对于C，当时，，且当时，，则，C对； 对于D，取，由于 ，从而成等差数列，即成等差数列， 即 而公差，所以当n充分大时，可使，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键在于得到以及，由此即可顺利得解. 12．0 【分析】令，设，则，通过化简，求得，将所求式化简成，利用二倍角公式代入求解即得. 【详解】不妨令，设， 因，则，， 由可得： ， 故. 故答案为：0. 13． 【分析】先得到函数变换的图像，由定区间上的零点个数判断解出，再由余弦函数递减区间计算得出，取交集得到的取值范围. 【详解】依题意可得， 当时，， 因为在上恰有两个零点， 所以，解得． 令，得， 令，得在上单调递减， 所以，所以又，所以． 综上所述，，即的取值范围是． 故答案为： 14．①②④ 【分析】解方程，求出函数的零点判断①；求函数的导函数，解不等式得函数的递增区间判断②；举例说明判断③；结合函数的单调性， 作函数的图象判断④. 【详解】对于①，令，则，解得，， 因此函数有且只有两个零点，①正确； 对于②，由已知求导得， 由，得， 由，得或， 因此在上单调递增，②正确； 对于③，由②知，在上单调递减，，， 而，③错误； 对于④，当时，恒有，作出函数的图象， 方程有三个实根，即与的图象有三个不同的交点，因此，④正确. 故答案为：①②④ 15．(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，设点的坐标为，根据得到，从而求出，再由三角函数的定义得到，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由（1）求出，，再求出即可得解. 【详解】（1）由题意，可知，因为， 故可设点的坐标为，则有，所以， 又为锐角，在第一象限，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，且在第二象限， 所以，则， 所以； （2）由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 17、【详解】（1）根据题意，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值为2 （2）当时，， 令， 所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又， 而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （3）由，解得，则， 令，则 ∴有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和2 令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和2. （ⅰ）若零点为和2，则无解； （ⅱ）若，则，令可得，故满足题意； （ⅲ）若，图象的对称轴为， 由在上有且仅有一个零点，则有 ①或 整理得或 解得， ②，解得. 综上，的取值范围为 18．(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断出函数在上的单调性，再根据单调性求解即可； （2）当时，因为，不满足题；当时，利用导数求出函数的最大值，再根据求解即可； （3）由（2）知，当时，恒成立，即，令，则有，由时，，最后利用累加法即可得证. 【详解】（1）因为， 当时，令， 因为函数定义域为，所以； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以 而， 又因为， 又因为， 所以， 所以； （2）若时，因为，不满足题目要求， 若时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以即可， 令， 因为单调递减，且， 所以； （3）证明：由（2）知，当时，恒成立， 即，等号成立当且仅当时取得． 所以. 令，代入化简即得， 又因为时，． 即得， 累加即得． 19．(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $