第十五章 轴对称综合能力测评卷2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称综合能力测评卷 【人教版2024】 时间：80分钟 满分100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（   ） A． B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”的性质 D．垂直平分 5．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（    ） A．3种 B．5种 C．4种 D．6种 7．如图，在等边中，，点D在上，且，点E、F分别是上的点，连接，如果，，那么的长是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 8．如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 9．在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 10．已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ． 12．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知的周长为，且，则BD的长为 ． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．    14．如图，在中，，，是高若，则 ． 15．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为、，连接、、，若，则 ． 16．如图，点为上一点，且，点为直线上的一动点，以为边作等边，连接，当最小时，此时 ．    三、解答题（本大题共6小题，共55分） 17．如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． (1)作出； (2)写出的坐标； (3)若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 18．如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 19．用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)所围成的等腰三角形的一边长为，求另两边长． (3)若所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围． 20．如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 21．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 22．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点，探究：如图3，连接．当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称综合能力测评卷 【人教版2024】 时间：80分钟 满分100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 3．如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 4．在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（   ） A． B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”的性质 D．垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质； 故选：C． 5．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（    ） A．3种 B．5种 C．4种 D．6种 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质找到添加位置即可． 【详解】解：如图， 共有4种添法， 故选C 【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形． 7．如图，在等边中，，点D在上，且，点E、F分别是上的点，连接，如果，，那么的长是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据三角形外角性质推出推出，由此证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各判定和性质定理并熟练应用是解题的关键． 8．如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，．    ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短． 9．在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 10．已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，        ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为， ∵， ∴ ∴ ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 12．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知的周长为，且，则BD的长为 ． 【答案】3cm/3厘米 【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到AE＝BE，结合已知条件得到BC＋AC＝10cm，进而求得AB＝AC＝6cm，即可求出BD＝3cm． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E， ∴EB＝EA， ∵△BCE的周长是10cm， ∴BC＋AC＝10cm， ∵BC＝4cm， ∴AC＝6cm． ∴AB＝AC＝6cm， ∴BD＝AB＝3cm， 故答案为：3cm． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换后得到BC＋AC＝10cm是正确解答本题的关键． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键． 14．如图，在中，，，是高若，则 ． 【答案】9 【分析】求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可． 【详解】解：是高，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出，． 15．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为、，连接、、，若，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据三角形的内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可解答． 【详解】解：， ， 的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，点为上一点，且，点为直线上的一动点，以为边作等边，连接，当最小时，此时 ．    【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，特殊直角三角形的性质，等边三角形的性质．根据“点到直线的距离最短”，可得，当时，最小，如图，过点作，垂足为， 以为边作等边，连接，则即为所求，根据“直角三角形30度角所对的边是斜边的一半”可求出的值，再根据等边三角形的性质“三线合一”证明是的垂直平分线，即可证明，然后得出答案．熟记“点到直线的距离最短”，找到最小的情况，运用等腰三角形的“三线合一”性质是解本题关键． 【详解】解：当时，最小，即最小，如图，过点作，垂足为， 以为边作等边，连接，   ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是的角平分线， 垂直平分， ， 当最小时，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 17．如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． (1)作出； (2)写出的坐标； (3)若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)点P的坐标为． 【分析】本题考查作图中的轴对称变换、最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）由图可得，． （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求， 点P的坐标为． 18．如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)32海里 (2)有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，（海里）， ， ， （海里）， 答：B处到灯塔C的距离为32海里； （2）解：有触礁的危险，理由如下： 过C作交的延长线于点D， （海里）， （海里）， ， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 19．用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)所围成的等腰三角形的一边长为，求另两边长． (3)若所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)三角形三边长为3，9，9； (2)三角形另外两边长都是； (3)． 【分析】（1）设等腰三角形底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解，并利用三角形三边关系进行检验； （3）根据题意不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设等腰三角形底边长为，则腰长为，根据题意，得 ，     解方程，得， 所以三角形三边长为3，9，9． （2）若底边长为，设腰长为，根据题意，得， 解方程，得， 若腰长为，设底边长为，根据题意，得 ， 解方程，得 ， 由于，可知为腰长不能构成周长的等腰三角形． 所以三角形另外两边长都是． （3）∵等腰三角形的腰长为， ∴等腰三角形的底边长为，由，得， ∴的取值范围为：． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 20．如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见详解 (2)6 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，以及平行线的性质， （1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，；结合题意可得是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一的性质可得平分，根据角平分线的定义得到；根据平行线的性质得到，推得，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 21．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 分以下三种情况： 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 22．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点，探究：如图3，连接．当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)7 (2)或 (3)的大小不变，为定值 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得，，然后由三角形面积公式列式计算即可； （2）分两种情况，①点在第一象限时，②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，证，得，，即可解决问题； （3）过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， ； （2）解：分两种情况： ①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， 则，，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得：， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点作于点，于点， 则， ， ， 由①可知，，， ， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $