第1章 特殊平行四边形（23个高频易错考点训练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习培优专项训练

第1章 特殊平行四边形（易错题考点集训） 【23个高频易错考点 共46题】 易错考点01：根据菱形的性质与判定求角度 2 易错考点02：根据菱形的性质与判定求线段长 5 易错考点03：根据菱形的性质与判定求面积 9 易错考点04：矩形与折叠问题 12 易错考点05：斜边的中线等于斜边的—半 15 易错考点06：矩形的判定定理理解 19 易错考点07：添一条件使四边形是矩形 22 易错考点08：证明四边形是矩形 24 易错考点09：根据矩形的性质与判定求角度 30 易错考点10：根据矩形的性质与判定求线段长 34 易错考点11：根据矩形的性质与判定求面积 39 易错考点12：正方形折叠问题 46 易错考点13：求正方形重叠部分面积 49 易错考点14：根据正方形的性质证明 52 易错考点15：根据正方形的性质与判定求角度 55 易错考点16：根据正方形的性质与判定求线段长 59 易错考点17：根据正方形的性质与判定求面积 64 易错考点18：根据正方形的性质与判定证明 71 易错考点19：中点四边形 76 易错考点20：利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 82 易错考点21：（特殊）平行四边形的动点问题 86 易错考点22：四边形中的线段最值问题 92 易错考点23：四边形其他综合问题 99 易错考点01：根据菱形的性质与判定求角度 1．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】②④ 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行四边形的性质是关键． 分别连接，结合四边形是平行四边形，可得，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴BE⊥AC． 又∵G是的中点， ∴． 又∵与不一定相等， ∴①不正确． ∵E，F分别是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． 由题意， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有②④． 故答案为：②④。 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路引导】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【规范解答】（1）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称 ∴； ∵， ∴ ∴，是等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【考点剖析】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 易错考点02：根据菱形的性质与判定求线段长 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形中，对角线，垂足为O． 求证：平行四边形是菱形． (2)知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②4 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等角对等边，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到即可证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②结合平行四边形是菱形，则平分，因为，，得，故，即可作答． 【规范解答】（1）证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：①∵平行四边形中，对角线和相交于点，且，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， 由①得 ∴． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)168 (3) 【思路引导】（1）根据题意证明出，得到，证明出四边形是菱形，得到，即可证明出四边形为筝形； （2）根据筝形的性质得到，，设，则，根据勾股定理求出，得到，然后利用筝形的面积代数求解即可； （3）首先由（2）得，，然后得到，证明出四边形是菱形，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用等面积法求出，最后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； （2）∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； （3）如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【考点剖析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 易错考点03：根据菱形的性质与判定求面积 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边与等边中，点，分别在、边上，连接，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接、、、，当时，请直接写出图中面积等于面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路引导】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的三角形的面积相等，掌握并灵活运用这些知识是解题的关键． （1）先证是等边三角形，利用等边三角形的性质证明即可； （2）利用等高的三角形的面积的比等于底边之比可得，，再根据菱形的性质和等边三角形的性质证，可得，根据平行线间的距离处处相等可得，据此求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 综上分析可得，面积等于面积3倍的三角形有：，，，． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用全等三角形的判定和性质证明即可解决问题； （2）证明四边形是菱形，由勾股定理求出，利用菱形的面积公式计算即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：， ，， O是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是菱形， 即：， ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形 设点D到的距离为h ，，四边形是菱形 ， ， ， 由得， 解得． 易错考点04：矩形与折叠问题 7．（2021·山东青岛·模拟预测）如图，是矩形纸片，翻折、，使、恰好落在上．设、分别是、落在上的两点，、分别是折痕、与、的交点．连接、，若，，四边形的面积等于 ． 【答案】 【思路引导】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再依据折叠性质得到相关线段长度，最后在另一个直角三角形中设未知数，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了勾股定理以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理和折叠性质是解题的关键． 【规范解答】解：在中， ，， ． 根据折叠的性质知：，， ．， 在中， 设，则， 根据勾股定理，得， 即． 解得，即线段长为． 同理可得线段长为． ∴四边形的面积． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·辽宁盘锦·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①60，60；②见解析 (2) 【思路引导】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【规范解答】（1）解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②四边形是矩形， ， 又 ， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又 ，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 易错考点05：斜边的中线等于斜边的—半 9．（25-26九年级上·河南·开学考试）如图，在中，，点是中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可． （2）证明是等边三角形，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ∵， ， ∵， ， ， 四边形是菱形， ， ． 【考点剖析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记菱形的判定方法是关键． 10．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A、C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接． 【独立思考】 （1）求证：是等腰直角三角形； 【实践探究】 （2）勤学小组突发奇想，将绕点C逆时针旋转，如图2，当点E在线段上时，连接，交于点K．①四边形的形状是______，直接写出结果 ②请判断线段与线段的数量关系______，并加以证明； 【问题解决】 （3）善思小组受此启发，将绕点C继续逆时针旋转，如图3，当平行四边形为菱形，且在的下方时，若，，则线段的长______．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）证明见解析；（2）①矩形；②，证明见解析；（3） 【思路引导】（1）先证出，再证出，，则可得，然后根据等腰直角三角形的定义即可得证； （2）①先根据旋转的性质可得点在上，则可得，再根据矩形的判定即可得； ②连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据勾股定理即可得； （3）设与交于点，先证出垂直平分，再根据等腰直角三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵在等腰中，，在等腰中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． （2）解：①∵在等腰和等腰中，，， ∴，，，， ∵点在线段上，且， ∴点在上， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． ②，证明如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 故答案为：． （3）解：如图，设与交于点， ∵平行四边形为菱形，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 易错考点06：矩形的判定定理理解 11．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【思路引导】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【规范解答】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【考点剖析】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 12．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定． （1）先证明，得到，即可推出四边形是平行四边形； （2）利用三角形中位线定理求得，推出，即可判断四边形是矩形． 【规范解答】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形． 理由如下： ∵是的中点， ∴当点是边的中点时，是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 易错考点07：添一条件使四边形是矩形 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【思路引导】（1）选一个条件即可； （2）先由平行四边形的性质得到，证明，得到，根据平行线的性质得到，即，即可证明为矩形． 【规范解答】（1）解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ． 又， ， 为矩形． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 【答案】（1）见解析；②见解析 【思路引导】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． （1）连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定证明； （2）根据三角形中位线定理得到，得到，根据矩形的判定定理证明． 【规范解答】（1）证明：如图②，连接、， ，，，分别是，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：时，四边形为矩形， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故答案为：②． 易错考点08：证明四边形是矩形 15．（2021·山东青岛·模拟预测）（掌握）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，，得，因为点F是边的中点，得，证明，即可作答． （2）与满足，先证明四边形是平行四边形，得，因为四边形是平行四边形，得，因为，得，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可作答． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由： ∵四边形是平行四边形， ∴ 由（1）得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 16．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路引导】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【规范解答】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又 ， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，含角的直角三角形三边关系，等腰三角形的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 易错考点09：根据矩形的性质与判定求角度 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【规范解答】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 18．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【思路引导】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握． （1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可； （2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得； （3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是． 【规范解答】（1）证明：∵是的中位线， ∴是中点， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形； （2）解：如图2，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为2； （3）解：如图，点在延长线上（可以与点重合）， ∴， 随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形， ， 而， ， ， ， ． 易错考点10：根据矩形的性质与判定求线段长 19．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在四边形中，，点是边的中点．点是边上的动点（点不与点重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)点到边的距离是否为定值；请说明理由； (3)当点到边的距离是时，线段的长为_________． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)点到边的距离是定值，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质、矩形的判定和性质及三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定定理和性质，注意分类讨论． （1）先证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是矩形； （2）过点作于，根据旋转的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出点到边的距离是定值； （3）分点在左侧和点在右侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：点到边的距离是定值，理由如下： 如图，过点作于， ∵点是边的中点， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点到边的距离是定值． （3）解：如图，当点在左侧时，过点作于， ∵点到边的距离是， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴． 如图，当点在右侧时，过点作于，于，交延长线于， 同理可得：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述：线段的长为或． 故答案为：或． 20．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在等腰三角形中，，D为上一点．过点B作，且，过点E作的平行线分别与的延长线交于点G，点F，连接． (1)①四边形的形状为 ； ②线段与的数量关系为 ；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是 ； (2)在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明； (3)如图2，其他条件不变，若射线恰好过的中点O，且，求证：． 【答案】(1)①平行四边形；②；； (2)，证明见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）①根据题意平行四边形的判定定理解答即可； ②证明，即可解答； （2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，进而得，再由，可得，，然后结合，可得，从而得到，然后根据等腰三角形的性质解答即可； （3）连接，结合平行四边形的性质可得，从而得到四边形是矩形，再证出是线段的垂直平分线，即可解答． 【规范解答】（1）解：①四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； ②∵， ∵， ， ∴； 故答案为：；；； （2）解：与的位置关系为；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，点O是的中点， ∴点O也是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 易错考点11：根据矩形的性质与判定求面积 21．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在矩形中，，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中△的面积记为，且记，的长度记为． (1)请直接写出、的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质； (3)已知，当、的函数图象有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）由两个动点的移动速度可知，，过点E作于点F，根据证明，推出，可得；点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后，，由此可得的函数关系式； （2）根据（1）中所求函数关系式，在坐标系内描点连线即可； （3）根据（2）中所画图象，找出图象与图象交点的临界点，进而根据图象可得t的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得，，， 过点作于点，作，交的延长线于点，如图1， 四边形是矩形， ， ，， 线段绕点A逆时针旋转得线段， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即； 点，相遇时，即， 解得， 当时， ， ， 当时， ， ， ； （2）解：当时，；当时，， 的图象是过点，的线段，如图2． 当时，；当时，；当时，， 的图象是过点，的线段和过点，的线段，如图2． 函数图象的一条性质：当时，随的增大而减小（或当时，随的增大而增大）（答案不唯一）． （3）解：由可知，函数必过点，作图如下： 当经过时，代入得：， 解得：， 此时，一次函数的解析式为， 当、的函数图象有两个交点时，的取值范围为． 【考点剖析】本题考查一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、矩形的判定与性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、画一次函数的图象等知识，正确得到函数关系式是解答的关键． 22．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①结论：四边形是矩形，理由见解析；②四边形的面积不变，四边形的面积，理由见解析 【思路引导】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可； （2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论； ②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可． 【规范解答】（1）解： ，． 理由：四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ； （2）①结论：四边形是矩形． 理由：取的中点，连接． ， ， 是等边三角形， ， ， 同法可得， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； ②四边形的面积不变． 理由：如图过点D作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， ， 矩形的面积， 由平移变换的性质可知， ， 的面积的面积， ∴四边形的面积矩形的面积． 【考点剖析】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 易错考点12：正方形折叠问题 23．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】②④ 【思路引导】本题考查正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠得到，，，进而得到，证明，得到，进而推出判断①，线段的和差关系，等量代换，判断②，设，在中，利用勾股定理求出的长，再根据面积公式，以及等高三角形的面积比等于底边比，判断③和④即可． 【规范解答】解：∵正方形，， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故①错误； ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴；故③错误； ∵， ∴；故④正确； 故答案为：②④． 24．（2024·陕西西安·二模）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则 ，进而勾股定理求得，即可求解． 【规范解答】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 易错考点13：求正方形重叠部分面积 25．（24-25七年级下·河北保定·期末）【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 【答案】（1）1；（2）不会，理由见解析；（3） 【思路引导】（1）根据正方形的性质求解即可； （2）根据正方形的性质得到，然后得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，然后根据正六边形和全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）∵正方形与正方形，面积均为4，当经过点B，经过点时， ∴两个正方形重叠部分的面积的面积； （2）不会，理由如下： 如图所示，连接，，设与交于点H，与交于点M ∵正方形与正方形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不会发生变化； （3）如图所示，当两个正六边形有两个顶点重合时， ∴， ∴； 如图所示，当和交于点Q，和交于点R时， ∵六边形和六边形都是正六边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 综上所述，重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系为． 【考点剖析】此题考查了正多边形的性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 26．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【思路引导】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【规范解答】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 易错考点14：根据正方形的性质证明 27．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在正方形中，点是延长线上一点，连接． (1)尺规作图：将线段绕点逆时针旋转得到，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查了旋转的作图、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键． （1）过点作的垂线，在垂线上截取且点在直线下方即可； （2）过点作于点，则，证明，则，，得到，根据勾股定理即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 28．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与，重合，过点作的垂线交延长线于点，连接交于点． (1)求证：； (2)判断点是否为线段的中点，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)点是的中点，见解析 【思路引导】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的性质得出，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质即可证明 （2）过点作的垂线交于点．则是等腰直角三角形，，证明，可得，即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是的中点． 证明：过点作的垂线交于点． 四边形是正方形， ． ，． ． ． ， ． 在和中， ． ． 点是的中点． 易错考点15：根据正方形的性质与判定求角度 29．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【规范解答】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 30．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）， 【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据判断全等三角形的方法，证明，即可解答； ②利用全等三角形的性质，得到，，可得，，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）延长交于点，延长使得，证明，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明，利用角度转换即可得到，． 【规范解答】（1）①解： D，E分别是边的中点， ， 在与中， ， ， 故选：A； ②， ，， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， , , ； （3）如图，延长交于点，延长使得， 根据（2）中原理，可得， ，， 四边形与四边形均为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ，． 易错考点16：根据正方形的性质与判定求线段长 31．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【规范解答】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 32．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 (3) 【思路引导】此题是四边形的综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出≌，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明≌可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）解：是等边三角形， 理由：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， 连接， ，， ，， ∵， ， 是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：如图中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形，， 四边形为正方形． 是的平分线，， ， ∵， ， ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ≌， ，． ， 是等腰直角三角形． 是的中点， ， ，， ， ． 易错考点17：根据正方形的性质与判定求面积 33．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【思路引导】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【规范解答】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【考点剖析】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 34．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）问题背景． 如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系． 童威同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是 ．   （2）猜想论证． 如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．    （3）拓展应用． 如图3，在四边形中，，连接、，，，且．则的面积为 ．    【答案】（1）；（2）不成立，．理由见解析；（3） 【思路引导】（1）延长到点，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么． （3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．证明四边形是正方形即可解决问题． 【规范解答】解：延长到点，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论不成立，结论：． 理由如下：证明：如图2中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ， ， ． ， ． ． ， ． （3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．   ， 设，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ，， ， ，， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定与性质，勾股定理及其逆定理；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 易错考点18：根据正方形的性质与判定证明 35．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）【综合与实践】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题解决】 （2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 【答案】（1）=；（2） 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）先证明四边形是正方形得到、、，再证明；如图：过点C作于点H，易证可得、，再证明，进而得到，最后运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：=； （2）∵ ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 如图：过点C作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴． 36．（24-25八年级下·河南安阳·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； (2)探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)；正方形 (2)的结论不变，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得,则可证明四边形是正方形； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【规范解答】（1）解：四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ∴ ， 四边形是正方形； （2）解：的结论不变，理由如下： 如图所示，过点作于点，于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， ∴， 又， ， ， ， ∴， 又∵，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【考点剖析】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 易错考点19：中点四边形 37．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【思路引导】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【规范解答】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边 ，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边 ，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 38．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【思路引导】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （5）如图，记、的中点分别为E、F，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案． 【规范解答】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、，    当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 易错考点20：利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 39．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【思路引导】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 40.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【规范解答】试题分析：由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， ∵O为AC的中点， ∴OA=OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； ①∵OE=OA， ∴AC=EF， ∴四边形AFCE是矩形；故错误； ②∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形；故正确； ③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC， ∴∠BAF=∠CAF=45°， 无法判定四边形AFCE是菱形；故错误； ④∵AC⊥AB，AB∥CD， ∴AC⊥CD， ∵E为AD中点， ∴AE=CE=AD， ∴四边形AFCE是菱形；故正确． 故选B． 点睛：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键． 易错考点21：（特殊）平行四边形的动点问题 41．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的值为或或． 【思路引导】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即，即可求解； （2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程，即可求解；②若四边形为等腰梯形，作于，于，可得四边形和四边形都是矩形，推出，，进而得到，证明可得，得到，由列方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：当时，过作于；当时，过作于；根据矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图： 由题意得：，， ， ，， 要使四边形是矩形，只需，即， 解得：； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： ，即， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 根据题意得：，， ， 作于，于， 又 ，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由得：， 解得：， 时，四边形为等腰梯形，． 综上，当或时，； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当时，过作于，如图： 同理可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； 综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或． 【考点剖析】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 42．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3） 【思路引导】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【规范解答】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 易错考点22：四边形中的线段最值问题 43．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【规范解答】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 44．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【思路引导】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【考点剖析】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 易错考点23：四边形其他综合问题 45．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解答；②． 【思路引导】（1）如图 2 ，作辅助线构建平行四边形，根据，可得矩形，所以，即可解答； （2）如图3，由（1）同理得，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，同理得： ，即可解答； （ 3 ）①如图 4 ，连接，根据证明，可得，根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论； ②如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于，由（2）可得：，根据，得，证明，列比例式可得和的长，设，则，由勾股定理列方程可得的长，计算的长，根据菱形的面积公式即可解答． 【规范解答】（1）解：如图 2 ，延长到，使，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图3，∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图4，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵是的中点， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴为菱形； ②解：如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵是的中点， ∴（2）可得：， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：（舍），， ， ， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 46．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ (1)求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） (2)是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2.25或7 【思路引导】（1）过点D作于H，直接根据勾股定理即可求解； （2）根据比较发现：，从而确定当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，然后列方程求解即可； （3）分①当P在上；②当P在上，两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：如图1，过点D作于H， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ； （2）解：存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，如图2，连接， 根据题意， ∴ 根据题意，得 解得， 即当时，线段把四边形分成面积相等的两部分； （3）解：存在某一时刻t，使恰好是直角三角形 ∵ ∴ ∴为直角三角形有两种情况： 当P在上，且时，如图3，连接， 在中， 在中， 在中，， ∴ 即 解得： 当P在上，且时， ∴ 即 整理得 此方程无实数根； 当P在上，且时，如图4，点P与点H重合，， ∴， 解得， 综上所述，当t的值为2.25或7时，恰好是直角三角形． 【考点剖析】本题主要考查几何动点问题，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的定义以及分类讨论思想等，属于中考压轴题，难度比较大，解题的关键是考虑问题要全面． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 特殊平行四边形（易错题考点集训） 【23个高频易错考点 共46题】 易错考点01：根据菱形的性质与判定求角度 2 易错考点02：根据菱形的性质与判定求线段长 3 易错考点03：根据菱形的性质与判定求面积 4 易错考点04：矩形与折叠问题 6 易错考点05：斜边的中线等于斜边的—半 7 易错考点06：矩形的判定定理理解 8 易错考点07：添一条件使四边形是矩形 9 易错考点08：证明四边形是矩形 10 易错考点09：根据矩形的性质与判定求角度 11 易错考点10：根据矩形的性质与判定求线段长 12 易错考点11：根据矩形的性质与判定求面积 13 易错考点12：正方形折叠问题 14 易错考点13：求正方形重叠部分面积 15 易错考点14：根据正方形的性质证明 16 易错考点15：根据正方形的性质与判定求角度 17 易错考点16：根据正方形的性质与判定求线段长 19 易错考点17：根据正方形的性质与判定求面积 20 易错考点18：根据正方形的性质与判定证明 22 易错考点19：中点四边形 23 易错考点20：利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 26 易错考点21：（特殊）平行四边形的动点问题 26 易错考点22：四边形中的线段最值问题 28 易错考点23：四边形其他综合问题 29 易错考点01：根据菱形的性质与判定求角度 1．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 易错考点02：根据菱形的性质与判定求线段长 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形中，对角线，垂足为O． 求证：平行四边形是菱形． (2)知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的长． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 易错考点03：根据菱形的性质与判定求面积 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边与等边中，点，分别在、边上，连接，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接、、、，当时，请直接写出图中面积等于面积3倍的所有三角形． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 易错考点04：矩形与折叠问题 7．（2021·山东青岛·模拟预测）如图，是矩形纸片，翻折、，使、恰好落在上．设、分别是、落在上的两点，、分别是折痕、与、的交点．连接、，若，，四边形的面积等于 ． 8．（25-26九年级上·辽宁盘锦·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 易错考点05：斜边的中线等于斜边的—半 9．（25-26九年级上·河南·开学考试）如图，在中，，点是中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，，，求的长． 10．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A、C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接． 【独立思考】 （1）求证：是等腰直角三角形； 【实践探究】 （2）勤学小组突发奇想，将绕点C逆时针旋转，如图2，当点E在线段上时，连接，交于点K．①四边形的形状是______，直接写出结果 ②请判断线段与线段的数量关系______，并加以证明； 【问题解决】 （3）善思小组受此启发，将绕点C继续逆时针旋转，如图3，当平行四边形为菱形，且在的下方时，若，，则线段的长______．请你思考此问题，直接写出结果． 易错考点06：矩形的判定定理理解 11．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 12．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 易错考点07：添一条件使四边形是矩形 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 易错考点08：证明四边形是矩形 15．（2021·山东青岛·模拟预测）（掌握）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 16．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 易错考点09：根据矩形的性质与判定求角度 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 18．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 易错考点10：根据矩形的性质与判定求线段长 19．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在四边形中，，点是边的中点．点是边上的动点（点不与点重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)点到边的距离是否为定值；请说明理由； (3)当点到边的距离是时，线段的长为_________． 20．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在等腰三角形中，，D为上一点．过点B作，且，过点E作的平行线分别与的延长线交于点G，点F，连接． (1)①四边形的形状为 ； ②线段与的数量关系为 ；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是 ； (2)在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明； (3)如图2，其他条件不变，若射线恰好过的中点O，且，求证：． 易错考点11：根据矩形的性质与判定求面积 21．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在矩形中，，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中△的面积记为，且记，的长度记为． (1)请直接写出、的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质； (3)已知，当、的函数图象有两个交点时，直接写出的取值范围． 22．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 易错考点12：正方形折叠问题 23．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 24．（2024·陕西西安·二模）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 易错考点13：求正方形重叠部分面积 25．（24-25七年级下·河北保定·期末）【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3） 如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 26．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 易错考点14：根据正方形的性质证明 27．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在正方形中，点是延长线上一点，连接． (1)尺规作图：将线段绕点逆时针旋转得到，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 28．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与，重合，过点作的垂线交延长线于点，连接交于点． (1)求证：； (2)判断点是否为线段的中点，并证明你的结论． 易错考点15：根据正方形的性质与判定求角度 29．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 30．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （4） 如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 易错考点16：根据正方形的性质与判定求线段长 31．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 32．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 易错考点17：根据正方形的性质与判定求面积 33．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3） 如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 34．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）问题背景． 如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系． 童威同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是 ．   （2）猜想论证． 如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．    （3）拓展应用． 如图3，在四边形中，，连接、，，，且．则的面积为 ．    易错考点18：根据正方形的性质与判定证明 35．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）【综合与实践】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题解决】 （2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 36．（24-25八年级下·河南安阳·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； (2)探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 易错考点19：中点四边形 37．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 38．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    易错考点20：利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 39．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．（用含的代数式表示） 40．（17-18九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 易错考点21：（特殊）平行四边形的动点问题 41．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 42．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 易错考点22：四边形中的线段最值问题 43．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 44．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2) 当，求的最小值． 易错考点23：四边形其他综合问题 45．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 46．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ (1)求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） (2)是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $