专题01 特殊平行四边形相关的折叠问题（10种类型60道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题01 特殊平行四边形相关的折叠问题（10种类型60道） 考点01 菱形相关折叠问题求度数 考点02 菱形相关折叠问题求线段长 考点03 矩形相关折叠问题求度数 考点04 矩形相关折叠问题求线段长 考点05 “斜中半”相关折叠问题求度数 考点06 正方形相关折叠问题求度数 考点07 正方形相关折叠问题求线段长 考点08 特殊平行四边形相关折叠问题求面积 考点09 特殊平行四边形相关折叠问题求周长 考点10 特殊平行四边形相关多次折叠问题 考点01 菱形相关折叠问题求度数 1．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵F为中点， ∴（等腰三角形三线合一的性质），即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又由折叠的性质得：， ， 在中，由三角形的内角和定理得：， 故选：C． 【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键． 2．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 3．如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，掌握菱形的性质，折叠的性质是关键． 根据菱形的性质得到，根据折叠得到，则，由三角形的外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴， ∵将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 4．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查运用菱形的性质求角度，根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，易得解． 【详解】解：根据菱形的对角相等得． ∵， ∴． 根据折叠得． ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 5．如图，将菱形沿折叠，点的对应点为．若、、刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据折叠的性质可得，，，，表示出的度数，根据菱形的性质可得，，可得的度数，进一步可得的度数，根据，可得，即可确定答案． 【详解】解：，， ， 根据折叠可知，，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 6．如图，在菱形纸片中，，为的中点，折叠该纸片使点落在点处，且点在上，折痕为，则的度数为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键．连接，易得为等边三角形，根据三线合一，易得，利用菱形的性质，易得：，根据折叠的性质，易得． 【详解】解：∵在菱形纸片中，， ∴， 连接， ∴为等边三角形， ∵P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为， ∴． 故选C． 考点02 菱形相关折叠问题求线段长 7．如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出的长，再根据线段的数量关系、和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，作，先证明为等边三角形，进而得到为含30度角的直角三角形，设，得到，折叠得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 作于点，设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； 故选B． 9．如图，在菱形中，分别是菱形边上的点，将沿着折叠，点恰好落在边中点上，已知，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换（折叠问题）、勾股定理．过点作，交延长线于点，设，根据几何关系表示出，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵菱形中，， ∴， 设，则， ∵为的中点，， ， ， 又为沿折叠所得， ， ∴在中有， 解得，则， 故选：B． 10．如图，在菱形中，，点，分别在和上，沿将折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ，， 设，则， ， ， 在菱形中，， ， ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得，（不符合题意，舍去） ， 故选：． 11．如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长． 【详解】如图，过点M作于点F．    ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即，解得， ∴． 故选：B． 12．如图，菱形的对角线长分别为6和8，点为对角线的交点，过点O折叠菱形，点B，C的对应点分别为点，，是折痕．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，延长交的延长线于点E，利用等面积法求出的长，根据对称性求出角度，再利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴． 故答案为：． 考点03 矩形相关折叠问题求度数 13．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，根据四边形是矩形得到，结合得到，根据折叠得到，即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：A． 14．如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及直角三角形中两锐角互余．先根据矩形的性质得到，再根据折叠的性质得到，，通过直角三角形中两锐角互余的性质得到和的度数即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， ∵长方形沿折叠， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 15．如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质，根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可知，根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质可知， ． 故选：C． 16．如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，平行线的性质，解题的关键是平行线性质的应用．根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． ． 故选：B． 17．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，图形的翻折变换，平行线的性质，平角的定义，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 先根据得出，再由翻折变换的性质得出，由平角的定义即可得出结论． 【详解】解：，， ， 由翻折而成， ， ， 故选：D． 18．如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握折叠题目中找出相等的角是解题的关键． 由矩形的性质得，由折叠的性质得到相等的角，再根据图形找到角之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， 故选：C． 考点04 矩形相关折叠问题求线段长 19．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴，是直角三角形， ∴， 在中，， 设， 在中，，即， 解得， 故选：D． 20．如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用矩形和折叠的性质可得，即得，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：A． 21．如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理； 过作于，设，根据勾股定理求出，进而得出的长，再证明，四边形是矩形，求出的长，再在中运用勾股定理即可得到的长． 【详解】解：过作于，在矩形中，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠可知， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴在中，， 故选：C． 22．如图，将矩形先进行对折，折痕为，展开后沿再次折叠，使点B落在折痕上的点F处，交于点G．若的长为3，则线段的长为（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质得到垂直平分，再根据折叠的性质得到线段相等，根据等边三角形的判定可得到是等边三角形，再根据两个角是的三角形是等边三角形判断出等边三角形，根据特殊三角函数值即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题可知：垂直平分， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴等边三角形， ∴． 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定，特殊三角函数值等知识点，解决此题的关键是根据题意作出合理的辅助线． 23．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形 ∴ ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：D． 24．如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为6，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理. 先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，即． 解得：， 在中，． 由翻折的性质可知：，． ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得：， ∴． 故选：B． 考点05 “斜中半”相关折叠问题求度数 25．如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角形内角和定理可求，根据角平分线的定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余可以得到，根据三角形内角和定理可得：，折叠的性质可得：，，根据三角形外角的性质可得：，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可知，根据等腰三角形的性质可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，， ， 平分， ， 又， ， ， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 为中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 26．在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（   ） A．α B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：，是斜边的中点， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 27．如图，是斜边上的高，将沿折叠，B点恰好落在的中点E处，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，从而得到，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到，从而不难求得的度数． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵是由折叠而成， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质和直角三角形的性质是解决问题的关键． 28．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点处，则∠EB的度数为（    ） A．10° B．15° C．20° D．40° 【答案】C 【分析】由折叠的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，然后结合三角形的内角和，等腰三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形，CE是中线， ∴， 有折叠的性质，则 ，， ∴， ∵∠A=50°， ∴∠ACE=50°， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数． 29．在中，，，AD是斜边BC上的中线．将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E．则的大小为 ． 【答案】36°/36度 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C=54°，由AD是斜边BC边上的中线得到AD=BD=CD，求出∠ADC=72°，再根据翻折后三角形角大小不变得到∠ADC=∠ADF=72°，即可求出∠BDE的度数． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°， ∴∠C=90°−∠B=54°， ∵AD是斜边BC边上的中线， ∴AD=BD=CD， ∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°， ∴∠ADC=180°−∠DAC−∠C=72°， ∵将△ACD沿AD对折，使C落在F处， ∴∠ADC=∠ADF=72°， ∴∠BDE=180°−∠ADC−∠ADF=36°， 故答案为36°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中位线的性质，翻折变换，等腰三角形的性质．明确直角三角形斜边上的中位线的性质以及翻折变换是解题的关键． 30．如图，在中，，，点是斜边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点是，当点落在边的垂直平分线上时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况①当A′落在线段BC的上方时，②当A′落在线段BC的上方时，再利用垂直平分线的性质分析可得答案． 【详解】解：如图： （1）当A′落在线段BC的上方时，如图①： 在中，，， ∴， 取AB的中点D，连接CD， 则CD=BD=AD，点D在BC的垂直平分线l上， ∴△ACD是等边三角形， ∴CA=CD， ∵将沿折叠，点的对应点是，当点落在边的垂直平分线上， ∴点D与A′重合， ∴∠A′CB=∠B=30°， ∵ ∴∠ACA′=90°-30°=60°， ∴∠ACP=∠ACA′=30°． （2）当A′落在线段BC的下方时，如图②： ∵l是BC的垂直平分线， ∴PC=PB， ∴∠PCB=∠B=30°， ∴∠ACP=90°-30°=60°． 综上，∠ACP的度数是30°或60°． 故答案为：30°或60°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，根据折叠得到角相等和利用垂直平分线的性质是解题关键关键， 考点06 正方形相关折叠问题求度数 31．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将三角形沿所在直线折叠到三角形，延长交边于点G，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，直角三角形角的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 根据正方形的性质和直角三角形性质，可得，得，然后由轴对称的性质得到，进一步推得． 【详解】∵正方形中，，且， ∴， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴． 故选：D． 32．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由正方形得到，，然后由折叠得到，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，然后得到，然后得到，求出，，进而求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∵将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处， ∴，， ∴ ∴ ∵点M为边的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 33．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 为边的中点， ， 沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， 中，， ， 又， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质是解题的关键．由在正方形中可求出，从而得到，由折叠可得，再根据正方形中，求得． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在正方形中，， ∴． 故选：C． 35．将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的翻折．熟练掌握正方形的性质，翻折的性质，建立角之间的数量关系，是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，由此可得：，得出，再通过角的和差关系即可求出的值． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 由翻折的性质可知：，； ∴， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 36．如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．首先根据正方形的性质可得，再根据折叠可得，，进而可得，即． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， 根据折叠可得，， ， ， 即． 故选：A 考点07 正方形相关折叠问题求线段长 37．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 38．如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：正方形的边长为6，点恰好是的中点， ， 由翻折的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 39．如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理．求得四边形是矩形，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， ，， 由折叠得点与点关于直线对称，， 垂直平分， ，， 四边形是矩形，， ， ， 故选：C． 40．如图，，分别是正方形的边、的中点，连接，，将正方形沿折叠，使点落在点处，延长交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，根据折叠的性质得，，，证明得，进一步推出，设，则，，在中，根据得，求出后再代入即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 如图，连接， ∵将正方形沿折叠，使点落在点处， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，掌握正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 41．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 42．正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 考点08 特殊平行四边形相关折叠问题求面积 43．如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，证明、、在同一直线上，得出，设，则，由勾股定理可得，证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质可得：，， ， ∴、、在同一直线上， ， 设，则， 由勾股定理可得，即， 解得：，即， ， ， ， ， ， 则的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 44．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，则是等边三角形， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴图形的面积是，(此时点重合) 故选：B． 45．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，而，则，得，然后设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：将该矩形沿对角线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得，， 即， 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 46．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在处，则重叠部分的面积是（    ） A．32 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折问题，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握设元列方程解几何题的方法是解题的关键．设，根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明，再根据勾股定理列方程，即可解答． 【详解】设，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 的面积是． 故选：D． 47．如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等，先根据折叠性质得到边长及角度，求得对角线的长度，最后根据三角形的面积公式可求得结果，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ， ∵为正方形， ∴，， ∵沿折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故选：C． 48．如图，将矩形沿对角线折叠，使点C落在处，交于E，，则的面积（    ）      A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】证出, 设, 则, 在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解. 【详解】∵四边形是矩形, ∴, ∴, 由折叠的性质得 ∴, 设, 则, 在中,，即， 解得: , 则,则 故选：A. 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键. 考点09 特殊平行四边形相关折叠问题求周长 49．如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质求出，由勾股定理求出，由折叠得到，，然后求出，再由等腰直角三角形求出，即可求解周长． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 50．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解. 【详解】解：根据题意，得， ∴. ∵菱形的边长为a， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：C. 51．如图菱形边长为2，将菱形一角沿直线折叠，点A落在点M处，点M在菱形外部，则图形中阴影部分的周长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，菱形的性质，根据折叠的性质得到，进而推出阴影部分的周长等于菱形的周长，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形边长为2， ∴， ∵折叠， ∴， ∴阴影部分的周长； 故选A． 52．如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴ ． 故选：C． 53．将边长为的菱形分别沿着和折叠（,,,分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，证明，再根据折叠的性质，和勾股定理解得，后根据三角形的周长解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 54．如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得,，，再根据折叠的性质可得，，则可得，．则可得四边形是矩形,进而可求出四边形的周长． 本题主要考查了矩形的判定和性质，以及折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解:∵四边形是矩形, ∴,，， ∵沿折叠，点B落在边上的点处， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形, ∴，， ∴四边形的周长． 故选：B． 考点10 特殊平行四边形相关多次折叠问题55．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出是解题的关键．直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出，再利用矩形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，令与的交点为， 由第二次折叠可得：，， 由第一次折叠可得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 56．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由折叠得，垂直平分，垂直平分，则，，，所以，则，即可推导出，则，所以，由三角形的中位线定理得，，则，再证明，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 连接，， 由折叠得，点与关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 57．如图，长方形纸片中，点E，F分别在，边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片，使点F与点重合，点C落在点处，折痕为，若，则 °． 【答案】145 【分析】根据将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，得出，可得，根据四边形为矩形，得出，可得，可求，根据为对称轴，可得，可得，根据，列方程，解方程即可． 【详解】解：∵将纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ， ，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为对称轴， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：145． 【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键． 58．如图，对折正方形纸片得折痕，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得折痕，再次展平，连接交于点，连接．若，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，过点作于点，连接，得出是等边三角形，则，根据折叠的性质以及已知条件得出，进而证明是等腰三角形，，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵对折正方形纸片得折痕， ∴，，， ∴是等边三角形，则 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 三角形的面积 故答案为：． 59．如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，，，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 60．如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，根据等边三角形的性质得到；点是的中点，根据折叠可知点和点关于对称可得，因此与重合时，，据此求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，折痕为， 垂直平分， ， 过点折叠矩形纸片，使点落在上的点， ， ． 为等边三角形． ， 点是的中点，点为中点， 由折叠可知：点和点关于对称， ， 与重合时，的值最小，此时， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何变换综合问题，折叠的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的性质、轴对称最短问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形相关的折叠问题（10种类型60道） 考点01 菱形相关折叠问题求度数 考点02 菱形相关折叠问题求线段长 考点03 矩形相关折叠问题求度数 考点04 矩形相关折叠问题求线段长 考点05 “斜中半”相关折叠问题求度数 考点06 正方形相关折叠问题求度数 考点07 正方形相关折叠问题求线段长 考点08 特殊平行四边形相关折叠问题求面积 考点09 特殊平行四边形相关折叠问题求周长 考点10 特殊平行四边形相关多次折叠问题 考点01 菱形相关折叠问题求度数 1．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，将菱形沿折叠，点的对应点为．若、、刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是(　　) A． B． C． D． 6．如图，在菱形纸片中，，为的中点，折叠该纸片使点落在点处，且点在上，折痕为，则的度数为( ) A． B． C． D． 考点02 菱形相关折叠问题求线段长 7．如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 9．如图，在菱形中，分别是菱形边上的点，将沿着折叠，点恰好落在边中点上，已知，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，点，分别在和上，沿将折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（   ） A． B．15 C． D． 11．如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 12．如图，菱形的对角线长分别为6和8，点为对角线的交点，过点O折叠菱形，点B，C的对应点分别为点，，是折痕．若，则的长为 ． 考点03 矩形相关折叠问题求度数 13．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 15．如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 18．如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 考点04 矩形相关折叠问题求线段长 19．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 20．如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D． 21．如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 22．如图，将矩形先进行对折，折痕为，展开后沿再次折叠，使点B落在折痕上的点F处，交于点G．若的长为3，则线段的长为（  ） A． B． C． D．3 23．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 24．如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为6，则等于（   ） A．3 B． C． D． 考点05 “斜中半”相关折叠问题求度数 25．如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 26．在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（   ） A．α B． C． D． 27．如图，是斜边上的高，将沿折叠，B点恰好落在的中点E处，则等于（　　） A． B． C． D． 28．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点处，则∠EB的度数为（    ） A．10° B．15° C．20° D．40° 29．在中，，，AD是斜边BC上的中线．将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E．则的大小为 ． 30．如图，在中，，，点是斜边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点是，当点落在边的垂直平分线上时，的度数为 ． 考点06 正方形相关折叠问题求度数 31．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将三角形沿所在直线折叠到三角形，延长交边于点G，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 34．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 35．将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 36．如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 考点07 正方形相关折叠问题求线段长 37．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 38．如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 39．如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 40．如图，，分别是正方形的边、的中点，连接，，将正方形沿折叠，使点落在点处，延长交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 41．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 42．正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 考点08 特殊平行四边形相关折叠问题求面积 43．如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．12 D． 44．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 45．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 46．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在处，则重叠部分的面积是（    ） A．32 B．20 C．12 D．10 47．如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 48．如图，将矩形沿对角线折叠，使点C落在处，交于E，，则的面积（    ）      A．10 B．12 C．16 D．20 考点09 特殊平行四边形相关折叠问题求周长 49．如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 50．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 51．如图菱形边长为2，将菱形一角沿直线折叠，点A落在点M处，点M在菱形外部，则图形中阴影部分的周长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 52．如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．12 D．16 53．将边长为的菱形分别沿着和折叠（,,,分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 54．如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 考点10 特殊平行四边形相关多次折叠问题55．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 56．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 57．如图，长方形纸片中，点E，F分别在，边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片，使点F与点重合，点C落在点处，折痕为，若，则 °． 58．如图，对折正方形纸片得折痕，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得折痕，再次展平，连接交于点，连接．若，则三角形的面积为 ． 59．如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为 ． 60．如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $