1.1.2 探索勾股定理（2）课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.1.2 探索勾股定理（2） 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 勾股定理 b a c 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 上节课我们通过测量和数方格的方法发现了勾股定理。 ∵在Rt△ABC中，∠C=90° ∴a2+b2=c2 2 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 勾股定理 如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流. 尝试·思考 3 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 验证勾股定理 a+b 方法一： 验证勾股定理： =c2 S正方形C 所以a2+b2=c2 . S正方形C =(a+b)2-ab×4 =a2+b2+2ab-2ab =a2+b2 毕达哥拉斯定理 4 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 验证勾股定理 方法二： A B C D 验证勾股定理： =c2ab×4=c2 S正方形ABCD ∴ a2+b2=c2 . =（b-a）2 S正方形ABCD =a2+b2-2ab c2=a2+b2-2ab 赵爽弦图 5 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 验证勾股定理 b c a b c a A B C D 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 方法三：《北师大》P8 5.请用如图所示的图形验证勾股定理 总统证法（美国伽菲尔德） 6 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 验证勾股定理 达·芬奇 刘徽青朱出入图证法 欧几里得法 勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明方法据说有 400多种，有兴趣的同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定理的相关资料. 7 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 得出结论 直角三角形中，斜边（最长边）的平方等于两直角边（较短两边）的平方和. 如果一个三角形是钝角三角形或者锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于较短两边的平方和”吗？ 思考·交流 8 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 拓展延伸 如图1，在钝角三角形中，c2 a2＋b2； 如图2，在锐角三角形中，c2 a2＋b2。（填“＞”“＜”或“＝”） ＞　 ＜　 9 cxj (c) - 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---求线段长 例1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　) A．5 B．6 C．7 D．25 A 10 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---求线段长 《小蓝》10. 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米 （图中的小方格的边长为1cm）？ 11 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---求线段长 例2：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾行。他赶紧拿出红外测距仪，测的汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 12 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---求线段长 变式：（北师大P9）7、如图，某储藏室入口的横截面是一个半径为1.2m的半圆，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？ 摆放时，让箱子1.2m的棱垂直于该储藏室入口横截面 ∵0.52+0.82<1.22 ∴箱子可以放进储藏室 13 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---求线段长 例3（P9习题1.1,第6题）求图中等腰三角形的面积 小结：通过作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求高. 变式1：求腰上的高. 小结：利用等面积法，求另一高. 14 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---求线段长 变式2：已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求 CD 的长. 由等面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． C A B D 15 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---求线段长 变式3：如图，在△ABC中，已知AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm，求BC边上的高AD的长。 小结：利用公共高，设未知数，建立方程求解. 16 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---图形面积关系 14. （选做）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠ACB所对的边的长分别为a，b，c。如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1，S2，S3，则有S1＋S2＝S3。 （1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1，S2，S3，请问S1＋S2与S3有怎样的数量关系，并说明理由； 17 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---图形面积关系 （2）如图3，分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，其面积由小到大分别记作S1，S2，S3，根据（1）中的探索，直接回答S1＋S2与S3有怎样的数量关系； 图3 （3）如图4，已知直角三角形的三条直角边AC＝6，BC＝8，求阴影部分的面积。 图4 解：（2）S1＋S2＝S3； 解：（3）由（2）知，S1＋S2＝S3， S阴影部分＝S1＋S2 －（S3－S△ABC）＝S△ABC ＝ ×6×8＝24。 ​ 18 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---图形面积关系 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AC，AB为直径向外作两个半圆，面积分别记为S1和S2。在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，分别以BD，CD为边向外作两个正方形，面积分别记为S3和S4。若S1－S2＝2π，S3＝41，则S4＝ ⁠。 25　 19 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用---图形面积关系 总结：以直角三角形的三边为基础，分别作出形状相同（相似）的图形，三个图形的面积始终保持： 两直角边对应的两图形面积之和等于斜边对应图形的面积 20 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 课堂小结 验证勾股 定理及应用 拼图验证 首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理． 应用 拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 步骤 恒等变形 导出勾股定理 思路 21 $