第1章 勾股定理（26个高频易错考点训练 共52题）2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习培优专项训练

第1章 勾股定理（易错题考点集训） 【26个高频易错考点 共52题】 易错考点01：用勾股定理解三角形 2 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 2 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 4 易错考点05：勾股定理的证明方法 5 易错考点06：以弦图为背景的计算题 6 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 7 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 8 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 9 易错考点10：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 10 易错考点14：勾股树（数）问题 10 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 11 易错考点13：在网格中判断直角三角形 12 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 13 易错考点15：勾股定理与网格问题 14 易错考点16：勾股定理与折叠问题 15 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 16 易错考点18：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 17 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 18 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用） 19 易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 19 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 20 易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 21 易错考点24：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 22 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 24 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 25 易错考点01：用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则 ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿运动，设运动时间为秒． (1)若点P在上，且满足，求出此时t的值； (2)若点P恰好在的平分线上，求t的值． 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 6．（22-23九年级上·河南周口·期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 7．（22-23八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 8．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 易错考点05：勾股定理的证明方法 9．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 易错考点06：以弦图为背景的计算题 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的面积为25，则正方形A，B的面积的和为 12．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 13．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 14．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2） 类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 15．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，同学们想测量旗杆的高度h（单位：），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明应用勾股定理提出这个问题的解决方案如下： ①测量出绳子垂直落地后还剩余； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部，如图②． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h． (2)小亮先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图③所示的点D处（）．已知小亮举起绳结离旗杆远，求此时绳结离地面的距离． 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 18．（20-21八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 易错考点10：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 20．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 易错考点14：勾股树（数）问题 21．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 22．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 23．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 24．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）下列各组数中，能构成直角三角形的一组数是（   ） A．1，2，3 B．5，， C．1，1，2 D．4，6，8 易错考点13：在网格中判断直角三角形 25．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 26．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2) 如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 27．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 易错考点15：勾股定理与网格问题 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 30．（24-25八年级下·山西朔州·期末）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 易错考点16：勾股定理与折叠问题 31．（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 33．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 34．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时为24米．如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么此时梯子的底部B到墙的距离为多少米？ 易错考点18：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 35．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 36．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）一个圆柱形铁桶（厚度不计）的底面直径为，高为，则这个桶内所能容下的最长木棒长为（   ） A． B． C． D． 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 37．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 38．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，南北方向线以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国缉私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知正在线上巡逻的缉私艇B．已知A，C两艇的距离是13海里，A，B两艇的距离是5海里，缉私艇B与C艇的距离是12海里，若C艇的速度不变，则它最早会在什么时间进入我国领海？（结果精确到） 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用） 39．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 40．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 41．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 42．（20-21八年级上·四川达州·期末）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是 厘米． 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 43．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 44．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 45．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 46．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 易错考点24：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 47．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 48．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3） 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 49．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 50．（11-12八年级上·四川成都·期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 51．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 52．（24-25八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 勾股定理（易错题考点集训） 【26个高频易错考点 共52题】 易错考点01：用勾股定理解三角形 2 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 4 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 6 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 9 易错考点05：勾股定理的证明方法 11 易错考点06：以弦图为背景的计算题 13 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 14 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 17 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 19 易错考点10：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 21 易错考点14：勾股树（数）问题 23 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 24 易错考点13：在网格中判断直角三角形 26 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 28 易错考点15：勾股定理与网格问题 30 易错考点16：勾股定理与折叠问题 33 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 36 易错考点18：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 37 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 39 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用） 41 易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 43 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 45 易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 46 易错考点24：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 49 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 51 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 55 易错考点01：用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用可证，得到，进而可得，即得，同理可得，，据此即可求解，由全等三角形得到是解题的关键． 【规范解答】解：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即， 同理可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿运动，设运动时间为秒． (1)若点P在上，且满足，求出此时t的值； (2)若点P恰好在的平分线上，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，继而得到，得到，求出； （2）当点在的角平分线上，作于点，证明，得到，得出，，根据勾股定理得到 ，求出 ；当点到达点时，， 即可得到答案． 【规范解答】（1）解：，，， ，， ， ， ， ， 当时，； （2）解：当点在的角平分线上，如图，作于点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当点到达点时，， 综上，当或时，点恰好在的角平分线上． 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【思路引导】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，即可得到的值，本题得以解决． 【规范解答】解：如图1，，，， ∵， ∴， 如图2， 同理可得，， ∵，，，， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． 根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【规范解答】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 6．（22-23九年级上·河南周口·期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． 【答案】(1)13 (2)见解析 【思路引导】（1）取的中点P，连接，由三角形中位线定理得，且，且＝12，再证，然后由勾股定理即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得，且，，且，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【规范解答】（1）如图，取的中点P，连接， ∵E，F分别是的中点，， ∴，且 ，且． 又∵， ∴， ∴． 在中，． （2）证明：如图，取的中点P，连接． ∵E，F分别是的中点， ∴，且，，且． ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键． 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 7．（22-23八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【思路引导】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【规范解答】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【考点剖析】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 易错考点05：勾股定理的证明方法 9．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【思路引导】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论． 【规范解答】证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， ，， ． 又， ， ， ， ． 易错考点06：以弦图为背景的计算题 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的面积为25，则正方形A，B的面积的和为 【答案】25 【思路引导】本题主要考查了勾股定理弦图，熟练掌握勾股定理的几何意义是解题的关键． 根据勾股定理的几何意义即可解答． 【规范解答】解：根据勾股定理的几何意义可得： 正方形A，B的面积的和=最大正方形的面积=25． 故答案为：25． 12．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 13．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【答案】这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用．设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，， 则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，这堆油桶的最高点距地面的高度为． 14．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 【答案】（1）13；（2） 【思路引导】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）构造矩形，取的中点C，作于点C，，可推出的值最大，需的值最大，即当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为，由点C是的中点，，可得出D是的中点，即，再运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：（1）如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 故答案为：13； （2）构造图形如下，矩形，点C是的中点，于点C，， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∴， 要使的值最大，需的值最大， ∴当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为， ∵点C是的中点，， ∴D是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值． 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 15．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米 (2)他应该往回收线米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米）， （米）， 他应该往回收线米． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，同学们想测量旗杆的高度h（单位：），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明应用勾股定理提出这个问题的解决方案如下： ①测量出绳子垂直落地后还剩余； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部，如图②． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h． (2)小亮先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图③所示的点D处（）．已知小亮举起绳结离旗杆远，求此时绳结离地面的距离． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2) 【思路引导】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：旗杆的高度为，则绳子的长度为． 在中，由勾股定理，得， 解得． 故旗杆的高度为m． （2）由题意可知，． 在中，由勾股定理，得， 解得， 所以， 所以． 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【规范解答】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 18．（20-21八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【思路引导】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【规范解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【考点剖析】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 易错考点10：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【思路引导】设米，则米，根据勾股定理，结合题意，得，解方程即可． 本题考查了勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：设米，则米， 根据勾股定理，得（米）， 由两只猴子所经过的距离相等，得， ∴米 故， 解得， 故树高为：米， 故答案为：15． 20．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 易错考点14：勾股树（数）问题 21．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61 (2)和 【思路引导】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． （1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【规范解答】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 22．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 23．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【规范解答】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 24．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）下列各组数中，能构成直角三角形的一组数是（   ） A．1，2，3 B．5，， C．1，1，2 D．4，6，8 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A、，，，不能构成直角三角形； B、，，，能构成直角三角形； C、，，，不能构成直角三角形； D、，，，不能构成直角三角形； 故选：B． 易错考点13：在网格中判断直角三角形 25．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 【答案】 8 32 40 直角 【思路引导】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【规范解答】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 26．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 【答案】(1)①见解析 ② (2)见解析 【思路引导】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【规范解答】（1）解∶  ①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴． 【考点剖析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 27．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】(1)，见解析 (2)路线更短 【思路引导】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【规范解答】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 易错考点15：勾股定理与网格问题 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【规范解答】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 30．（24-25八年级下·山西朔州·期末）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路引导】本题考查勾股定理，利用网格计算三角形的面积，利用勾股定理及格点确定三个顶点的位置是解题的关键． （1）根据，，，利用格点作图即可； （2）利用割补法计算面积． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 易错考点16：勾股定理与折叠问题 31．（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【思路引导】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分和两种情形，结合折叠的性质，勾股定理求解即可． 【规范解答】解：在中，，， ∴； ①当时，如图， 由折叠得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 即：； ②当时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， 又， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上，的长为或． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【思路引导】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 33．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【思路引导】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【规范解答】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 34．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时为24米．如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么此时梯子的底部B到墙的距离为多少米？ 【答案】15米 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用．先求出的长度，再根据勾股定理进行计算即可． 【规范解答】解：在中，米， （米）， 所以， 所以米， 所以此时梯子的底部B到墙的距离为15米． 易错考点18：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 35．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【规范解答】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 36．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）一个圆柱形铁桶（厚度不计）的底面直径为，高为，则这个桶内所能容下的最长木棒长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查勾股定理的应用，如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高，所以，，那么线段的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形中利用勾股定理可以求出，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度． 【规范解答】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高， ∴，，， ∴线段的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度， ∴在中，， 故桶内所能容下的最长木棒的长度为， 故选：C． 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 37．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 38．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，南北方向线以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国缉私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知正在线上巡逻的缉私艇B．已知A，C两艇的距离是13海里，A，B两艇的距离是5海里，缉私艇B与C艇的距离是12海里，若C艇的速度不变，则它最早会在什么时间进入我国领海？（结果精确到） 【答案】走私艇C最早会在上午10时41分进入我国领海 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，先得是直角三角形，在直角和直角中，求出的长，再结合走私船的速度即可求出相应的时间了． 【规范解答】解：设直线与交于点E，则． ∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 在直角和直角中，，， ∴ ∴， ∴海里． （小时）（分），9时50分分时41分， 则走私艇C最早会在上午10时41分进入我国领海． 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用） 39．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【规范解答】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 40．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 41．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 42．（20-21八年级上·四川达州·期末）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是 厘米． 【答案】 【思路引导】先把长方体展开，分类讨论，分别根据勾股定理求出AM的长比较即可． 【规范解答】解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， 根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm， AM=， 如图， 如图， 最短距离为 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解． 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 43．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【思路引导】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【规范解答】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 44．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 45．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 46．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【思路引导】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【规范解答】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 易错考点24：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 47．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【思路引导】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【规范解答】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 48．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【规范解答】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 49．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【思路引导】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 50．（11-12八年级上·四川成都·期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【思路引导】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【规范解答】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 51．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【思路引导】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 52．（24-25八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键． 连接．根据勾股定理求得的长，从而根据勾股定理的逆定理得到，进而求得该四边形的面积． 【规范解答】解：连接． 由题意得， ∴． ∴． ∵，， ∴． 这块地的面积的面积的面积 （）． 学科网（北京）股份有限公司 $