1.1.1 探索勾股定理（1）课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕勾股定理的探索与应用展开，从生活情境引入问题，通过测量、图形分割与补全等操作引导学生发现直角三角形三边平方关系，逐步构建“面积关系→边长关系”的认知链条，形成由具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出几何直观与推理能力培养。例如，在探究环节中，学生通过画图测量、计算正方形面积并观察规律，体现数学眼光中的空间观念与创新意识；在验证不同直角三角形时采用割补法，强化逻辑推理与运算能力；最后用符号表达$a^2 + b^2 = c^2$，发展模型意识与数学表达能力。此设计既帮助学生理解定理本质，又提升教师课堂组织效率，激发主动探究兴趣。

1.1.1 探索勾股定理（1） 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 勾股定理 “勾股定理”历史悠久，图形直观，数学家曾建议用这个图形来作为与“外星人”联系的信号. “勾股定理”到底研究的是什么？ 2 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 发现勾股定理 探究目标： 直角三角形 角的关系： 一个直角，∠C=90° 两锐角和为90°，∠A+∠B=90° A B C 边的关系： 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边 三边还有其他关联吗？ 3 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 6 m 8 m 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ ？ 我们带着这个问题开始探究吧！ 4 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 (1) 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的第三边，看看三边长之间有什么关系？ a b c 直角边a 直角边b 斜边c 可能的关系 3cm 4cm 5cm 12cm 三边长的平方呢？ a2 b2 c2 5 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 (2) 如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流. a b c c b a 左图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 9 9 18 SA+SB=SC a2+b2=c2 右图 4 4 8 SA+SB=SC a2+b2=c2 6 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？ 方法一：割 将正方形 C 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二：补 将正方形 C 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 7 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 探究3：观察图1-3的直角三角形，是否还满足上述这样的关系？ a b c a b c 左图： SA=16 ，SB=9 右图： SA=1 ，SB=9 结论：SA+SB=SC 8 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 结论：SA+SB=SC 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 如何用直角三角形三边a、b、c表示以上数量关系？ 9 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 此结论被称为“勾股定理”. 10 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2 ∵在Rt△ABC中，∠C=90° ∴a2+b2=c2 注意：①勾股定理前提是在直角三角形中 ②当∠C=90°时，公式中的a、b指直角边，c为斜边 a c b 11 cxj (c) - 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 探究勾股定理 (3) 如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由. 勾 股 弦 0 1.6 2.4 成立. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 12 cxj (c) - 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用 （北师大P3，1题）例1： 求下图中字母所代表的正方形的面积。 （1） （2） 625 144 A 解题关键：找准斜边 13 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用 （北师大P8，4题）变式：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案。 方案一： 方案二： 方案三： 方案四： ③＋④ ⑦＋⑨＋④ ③＋⑧＋⑩ ⑦＋⑨ ＋⑧＋⑩ 勾股树 14 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用 （P8习题1.1,第2题）例2.求图中未知边的长度 已知直角三角形两边，利用勾股定理可求第三边. 15 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用 （P8习题1.1,第3题）如图，台风使旗杆在离地面3米处折断，旗杆顶部落在旗杆底部4米处，求旗杆折断之前有多高？ 小结：已知直角三角形两边，利用勾股定理可求第三边. 16 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 勾股定理的应用 变式：直角三角形中： （1）若a=3，c=5，则b2= ； （2）∠C=90°,若a：b=3:4，c=10 ，则b= . 16或34 8 小结：利用勾股定理不知直角边、斜边时，需要分类讨论. 17 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 课堂小结 勾股定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 字母表示 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么 18 $