精品解析：北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高一上学期统练一数学试题

试卷编号：9155 北京一零一中2023-2024学年度第一学期高一数学统练一 班级：_____________学号：_____________姓名：_____________成绩：_____________ 一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 4. 设集合，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 6. “”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合满足： （a）； （b），若且，则； （c），若且，则． 给出下列四个结论： ①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题共6小题． 9. 2023___________．（填“”或“”） 10. 设，则“”的一个充分不必要条件是___________．（写出一个满足条件的答案即可） 11. 方程组解集为___________． 12. 已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 13. 设区间，则使成立的的取值范围为___________． 14. 已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②；③；④． 注：其中分别表示中元素的个数． 如果集合中只有一个元素，那么___________； 如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________． 三、解答题共3小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知集合，，，若___________，求值及． 16. 已知集合．若，则的取值集合为． （1）求集合． （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． （1）若，求集合和，以及值； （2）给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷编号：9155 北京一零一中2023-2024学年度第一学期高一数学统练一 班级：_____________学号：_____________姓名：_____________成绩：_____________ 一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】根据题意有：， 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 3. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】为，. 故选：C. 4. 设集合，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 分析】先由互异性求出，再分类、两种情况讨论即可. 【详解】由互异性可知，，则， 因，则， 若，则，则，不符合题意； 若，则，则，符合题意， 故. 故选：C 5. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合 ， ，再判断. 【详解】因为 ， ，， 所以，则，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 6. “”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的情况判断即可. 【详解】由“”，取，，则关于的方程为，，方程无实数解， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的充分条件； 再由“关于的方程有且仅有整数解”，可设方程的两个整数解分别为，， 根据韦达定理，，则得，故， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的必要条件. 综上，“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的必要不充分条件. 故选：C 7. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 8. 已知集合满足： （a）； （b），若且，则； （c），若且，则． 给出下列四个结论： ①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可判断集合中的元素都小于集合中的元素，据此可判断各结论正误，从而得出选项. 【详解】由所给条件，可知集合中的元素都小于集合中的元素， 若集合的元素有最大数，则必然存在一个有理数，使得，； ，，则没有最小数，故①正确； 若集合的元素没有最大数，则必然存在一个数，使得，； 如果是有理数，则，且，，则有最小数为； 如果无理数，则，且，，则没有最小数，故②正确； 假设存在且，由，若且，则， 取，，则，但，与矛盾. 故对任意，都有， 故③错误； 由③知，，可得，而两个不等的有理数之间必存在无理数， 所以存在无理数，使得，故④正确. 故选：C 二、填空题共6小题． 9. 2023___________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】令，求出的值，即可判断. 【详解】令，解得， 则. 故答案为：. 10. 设，则“”的一个充分不必要条件是___________．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义进行解答即可. 【详解】取作为的一个充分不必要条件， 因为能够推导出，而的解为或. 所以此时不能推导出. 故答案为：. 11. 方程组的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法求出方程组的解，再用列举法表示出其解集即可. 【详解】由可得， 将其代入，整理可得， 即，解得或. 当时，；当时，. 所以方程组的解集为. 故答案为： 12. 已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意有方程只有一个解或方程化为一元一次方程，分类讨论即可. 详解】由有， 当方程只有一个解时，， 当方程化为一元一次方程，由，所以或， 所以. 故答案为：. 13. 设区间，则使成立的的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到，再结合区间表示的集合列不等式组即可求得. 【详解】由可知，， 因， 故可得，，得. 故答案为： 14. 已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②；③；④． 注：其中分别表示中元素的个数． 如果集合中只有一个元素，那么___________； 如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义，结合交集和并集的概念，可得答案. 【详解】如果集合中只有一个元素，则集合中有4个元素， 由，可得，即； 如果集合中有2个元素，则集合中有3个元素， 则，，即 可得. 故答案为：； 三、解答题共3小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知集合，，，若___________，求的值及． 【答案】选①：，； 选②：，或，. 【解析】 【分析】由条件可解得集合和，再由条件得集合的一个元素，从而即可求解. 【详解】由，. 若选①：因，所以，又因，所以. 所以，解得或. 当时，，，满足，故舍去； 当时，，满足，. 故，此时. 若选②：因，且，，所以，得，解得或. 当时，，，满足. 当时，，，满足. 故，或，. 16. 已知集合．若，则的取值集合为． （1）求集合． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素与集合的关系列不等式关系即可得的取值集合； （2）根据集合运算关系列不等式关系即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 若，则，解得， 所以的取值集合为； 【小问2详解】 若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 17. 已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【答案】（1），， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）分中至少含有一个不在S中元素和，且，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 根据定义直接得，， 则，所以 【小问2详解】 表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $