精品解析：北京市朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

高一数学 2026.1.7 一､单选题（每小题5分，共50分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由集合， 集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故. 故选：B. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得命题的否定为“，. 故选：A. 3. 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案. 【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确； 对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确； 对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 对于D，的值域为，故D不正确. 故选：B. 4. 已知是函数的一个零点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断出的单调性，根据是函数的一个零点求出的值域可得答案. 【详解】因为为上的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 又因为是函数的一个零点， 所以时，时， 若，则. 故选：D. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立. 【详解】当，时，， 则当时，有，解得，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由周期性及零点进行求解三角问题． 【详解】由，得， ，且在附近单调递减， 则，由于， 得， 故选：B 7. 新闻推送涉及到信息检索，若一个关键词在个网页中出现过，则越大，的权重越小；反之亦然．在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数”，，其中是全部网页数，，．如果关键词的逆文本频率指数比关键词的逆文本频率指数大2，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，利用对数的运算性质即可求. 【详解】由题意可知，即， 所以， 所以，即. 故选：D. 8. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 因为， 所以为的一个周期， 不妨设， 若时，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得； 若，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得， 综上可得，函数的最大值为，最小值为. 故选：D. 9. 已知是函数的图象上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解. 【详解】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 所以. 故选：D 10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小. 【详解】由得，∴周期为2， 又为偶函数，则，， ∵，在上单调递增，∴. 故选：A 二､填空题（每小题5分，共30分） 11. 函数的定义域为____________； 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若，则的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值3. 故答案为：3． 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解. 【详解】对空：由点在角的终边上，所以，. 对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以. 故答案为：；. 14. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则的一个取值为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据图象平移变换得到的解析式，结合图象关于y轴对称，令，求出的值. 【详解】函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 因为函数的图象关于y轴对称，则，即， 所以，即，，所以的一个取值为, 故答案为：（答案不唯一）. 15. 已知下列五个函数：，，，，，从中选出两个函数分别作为和，若图象如图所示，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象结合函数性质、赋值法判断即可. 【详解】由图象可知，函数的定义域为，所以函数含，可排除函数. 因为的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，可排除，即排除. 若，则，与图象不符，可排除. 所以. ，，符合图象. 所以. 故答案为：. 16. 已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点； ②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增； ④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】求出的零点可判断①；分别求出和时的范围，根据可判断②；分别讨论和时是否在上单调递增可判断③；分和两种情况求出存在最小值时的取值范围可判断④. 详解】对于①，当时，， 当时，令，即，解得（舍）或； 当时，令，即，方程无解， 所以当时，只有一个零点，故①正确； 对于②，当时，因为在单调递增， 所以，无最大值； 又因为在单调递增，所以， 又， 即，所以，无最小值， 所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确； 对于③，当时，在单调递减，在单调递增， 所以在上不单调递增； 当时，在单调递增， 所以； 在单调递增，所以， 要使在上单调递增，则，即， 当时，显然，，不满足， 所以在上不单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 且当时，， 又因为的增长速度比的增长速度快， 所以，不满足，所以在上不单调递增， 综上，不存在实数，使在上单调递增，故③错误； 对于④，当时，因为在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，解得，所以； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，所以， 综上，，所以的最小值为，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，利用函数的单调性求出分段函数各段的范围. 三､解答题（共70分） 17. 已知集合，． （1）当时，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合和，利用集合的交并补运算求解即可； （2）根据，得，分别讨论，，即可. 【小问1详解】 因为，即，解得或， 所以或，， 当时，， 所以，； 【小问2详解】 若，则， 由（1）知， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，当时，， 综上， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的最大值和最小值及取得最值时的值； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）的最大值为1，此时；的最小值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式求解即可. （2）利用二倍角公式及辅助角公式对函数进行化简，结合的范围即可求出最值及取得最值时的值. （3）根据函数图象平移规则得到向左平移个单位长度后的解析式，进而求出的范围，结合即可求出最小值. 【小问1详解】 所以. 【小问2详解】 . 已知，则. 所以当，即时，取得最大值1，即； 当，即时，取得最小值，即. 因此的最大值为1，此时；的最小值为，此时. 【小问3详解】 结合诱导公式可知. 函数的图象向左平移个单位长度，可得， 因为平移后所得函数图象与函数的图象重合， 所以，，解得，， 因为，所以当时，取得最小值. 19. 已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求的解析式； （2）设，求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1）选择①④或③④均可得到 （2）单调递增区间有和； 【解析】 【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分别选择①③，①④，③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出，即可求出函数的解析式； （2）由（1）可得，再利用二倍角及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求解即可 【小问1详解】 因为， 所以， 显然当时为奇函数，故②不能选， 若选择①③，即最大值为， 所以，解得， 所以， 又， 所以，即，， 解得，， 故不能唯一确定，故舍去； 若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得， 所以，又， 所以，解得，所以； 若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得， 所以， 又的最大值为， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 又， 所以在上的单调递增区间有和； 20. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数是偶函数，求值； （3）当时，证明的单调性； （4）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）单调递减，证明见解析， （4） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性，将对数不等式转化为指数不等式，结合指数函数的性质求解. （2） 根据偶函数“ ”的定义，代入函数表达式后化简，通过恒等式成立的条件确定. （3）先化简为分式形式，再用单调性的定义（作差法），结合指数函数的单调性判断差值的符号，从而证明单调性. （4）先化简的表达式，再分析其内部函数的取值范围，结合对数函数的单调性确定 的值域，即的取值范围. 【小问1详解】 当时，，因单调递减， 故，即，故不等式的解集为， 【小问2详解】 偶函数满足， 代入得：， 所以， 【小问3详解】 当时，，任取， 则，因为，故，分子为正， 分母恒正，即，故单调递减， 【小问4详解】 ，， 因为，且单调递减，故，所以， 21. 对于给定的正整数，设集合，集合，是的非空子集且满足，．若对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，则记，并称为从集合到集合的“函数”． （1）当时，若集合，写出集合，并判断从集合到集合是否存在“函数”？说明理由； （2）若集合至少包含一个奇数，且为从集合到集合的“函数”，求证：存在，使得； （3）若为从集合到集合的“函数”，且对于任意，都有，求满足条件的集合的所有可能． 【答案】（1），不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义写出集合并判断即可； （2）假设不存在使得，即对于任意都有，得出与假设矛盾即可； （3）利用“函数”的定义，结合已知条件“对于任意，都有”，讨论当为奇数时，集合的情形有①个奇数，0个偶数；②0个奇数，个偶数；③个奇数，个偶数；当为偶数时，集合的情形有①个奇数，0个偶数；②0个奇数，个偶数；③个奇数，个偶数即可. 【小问1详解】 ． 从集合到集合不存在“函数”，理由如下： 因为集合中的元素均为奇数，集合中的元素均为偶数， 任取，，则为奇数，不合题意， 所以从集合到集合不存在“函数”； 【小问2详解】 假设不存在使得， 即对于任意都有． 因为是中唯一确定的数，使得为偶数，所以． 设为奇数，则，设是奇数． 若，则与均为偶数，不合题意，所以， 又因为，所以，与矛盾． 所以存在使得； 【小问3详解】 当为奇数时，集合中共有个奇数，个偶数， 因为对于任意，在集合中有唯一确定的数， 使得为偶数，且都有． 根据奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数， 集合有以下三种不同的情形： ①个奇数，0个偶数； ②0个奇数，个偶数； ③个奇数，个偶数； 因为对于任意，都有，集合中元素必然选择奇数或偶数中较小的元素， 即且． 所以有当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意奇数，在集合中有唯一确定的，使得为偶数， 且，满足题意； 对于任意偶数，在集合中有唯一确定的，使得为偶数， 且，满足题意； 同理，当为偶数时，集合中共有个奇数，个偶数， 集合有以下三种不同的情形： ①个奇数，0个偶数； ②0个奇数，个偶数； ③个奇数，个偶数； 当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意奇数，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 对于任意偶数，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 综上，当为奇数时， ， 或， 或． 当为偶数时，， 或， 或. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于利用“函数”的定义，结合已知条件“对于任意，都有”，得到若集合中的数全为奇数，则集合中只有一个奇数，且是集合中最大的奇数；若集合中的数全为偶数，则集合中只有一个偶数，且是集合中最大的偶数；若集合中的数既有奇数又有偶数，则集合中只有一个奇数和一个偶数，且是集合中最大的奇数和最大的偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 2026.1.7 一､单选题（每小题5分，共50分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数的一个零点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 新闻推送涉及到信息检索，若一个关键词在个网页中出现过，则越大，的权重越小；反之亦然．在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数”，，其中是全部网页数，，．如果关键词的逆文本频率指数比关键词的逆文本频率指数大2，那么（ ） A. B. C. D. 8. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 9. 已知是函数的图象上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每小题5分，共30分） 11. 函数的定义域为____________； 12. 若，则的最小值是_____． 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则__________，__________． 14. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则的一个取值为__________． 15. 已知下列五个函数：，，，，，从中选出两个函数分别作为和，若的图象如图所示，则__________. 16. 已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点； ②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增； ④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论序号是______． 三､解答题（共70分） 17. 已知集合，． （1）当时，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的最大值和最小值及取得最值时的值； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值. 19. 已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求的解析式； （2）设，求函数在上的单调递增区间． 20. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数是偶函数，求的值； （3）当时，证明的单调性； （4）当时，若函数图象与直线有公共点，求实数的取值范围. 21. 对于给定的正整数，设集合，集合，是的非空子集且满足，．若对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，则记，并称为从集合到集合的“函数”． （1）当时，若集合，写出集合，并判断从集合到集合是否存在“函数”？说明理由； （2）若集合至少包含一个奇数，且为从集合到集合的“函数”，求证：存在，使得； （3）若为从集合到集合的“函数”，且对于任意，都有，求满足条件的集合的所有可能． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $