精品解析：湖南省益阳市2023-2024学年初中学科素养与创新知识大赛数学试题

益阳市2023～2024学年度初中学科素养与创新知识大赛 数学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分：试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分120分． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据的平均数是a，中位数为b，众数为c，方差为d．将这组数据的每个数据都加上10得到一组新数据，则下列结论错误的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的中位数是 C. 新数据的众数是 D. 新数据的方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的定义，根据平均数，中位数，众数和方差的定义即可判断，掌握平均数，中位数，众数和方差的定义是解题的关键． 【详解】解：A、新数据的平均数是，结论正确，故选项不符合题意； B、新数据的中位数是，结论正确，故选项不符合题意； C、新数据的众数是，结论正确，故选项不符合题意； D、新数据的方差是d，故选项符合题意； 故选：D． 2. 如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 3. 实数，，在数轴上的对应点，，的位置如如图所示，，，且，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上两点之间的距离公式可以得出，再根据即可求出a的值，从而求出c的值． 【详解】解：，， ，， ， 解得：， ． 故选：C． 4. 如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到，．连接，由圆周角定理求出，由邻补角的性质得到，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理即可求出． 【详解】解：连接， ，， ， ， 是劣弧的中点， ， ． 故选：B 5. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，注意计算的准确性即可． 【详解】解：A：，符合题意； B：，不符合题意； C：∵，， ∴， ∴，不符合题意； D：∵，， ∴， ∴，不符合题意； 故选：A 7. 如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意结合图形求得与坐标轴的交点，即可求得的长，由含30度的直角三角形的性质可得出，进而得到求解再化简即可得出答案． 【详解】解：令，则， ， ， ， 即， 化为， 故选C． 8. 实数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要有理数的除法计算，乘法计算，加法计算，先根据有理数乘法计算法则得到与异号，且都不为0，再根据除法法则得到与同号，且不为0，；与同号，且不为0，，进而推出与异号，再根据，分当，时，当，时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， 与异号，且都不为0， ，， 与同号，且不为0，；与同号，且不为0，， 与同号，与异号， ， 不为0， ，，，均不为0， ， 当，时，，，即； 当，时，，，则，不符合题意． 故选A． 9. 如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图象与性质．分别求出当时，当时，当时，当时的函数解析式，求出最大值，结合选项，即可判断出答案． 【详解】解：设原来的三角形为，与正方形边交于点， 当时，如图， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ， ； 由第二段函数判断出该函数最大值为， 由四段函数判断B符合题意． 故选：B． 10. 如下图，在中，，，，以为边作等边三角形（与位于的异侧），则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交延长线于，交延长线于，得出四边形为矩形，设，，勾股定理求得，在，中，根据勾股定理建立方程得，在中，由勾股定理得：，，解得，进而勾股定理求得的长． 【详解】解：过点作交延长线于，交延长线于，如图所示：   ， 四边形为矩形， 设，， 则，， ， 在中，由勾股定理得：， 为等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：得， 在中，由勾股定理得：， 即， 将②代入①得：， 整理得：， ， 整理得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 在中，由勾股定理得：， 即， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程组是解决问题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上． 11. 若实数的小数部分为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算；先估算的取值范围，得出其整数部分和小数部分，再将要求的式子提取公因式，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分是，小数部分是， 实数的小数部分为 故答案为：． 12. 将一个棱长为3的正方体的六个面都涂上红色，再把它全部切割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体至少有2个面涂上了红色的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了认识立体图形和概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．将一个棱长为的正方体分割成棱长为的小正方体，一共可得到个小立方体，其中两个面涂有红色的有块，三个面涂有红色的有块，可求出相应的概率． 【详解】解：将一个棱长为的正方体分割成棱长为的小正方体，一共可得到个， 在每条棱上只有个两面涂有红色的小立方体，由于正方体有条棱，因此，有个两面涂有红色的小立方体，三个面涂有红色的有块， 所以，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体至少有个面涂上了红色的概率为 故答案为：． 13. 如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键， 先因式分解，，再求方程的解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 方程的解为：或或． 故答案为：或或． 15. 如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定， 先连接作，可得，进而得，然后根据勾股定理求出，可得，再根据勾股定理求出即可得，最后根据得出答案. 【详解】解：连接过点C作，交延长线于点D， ∵点C是中点， ∴. ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴. 在中，， 即， 解得， 则. 在中，， 即， 解得， ∴. 根据勾股定理，得. 在中，， ， 解得. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）化简：． （2）现有盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为；第二次又加入同样多的水后，盐水浓度变为．则第三次再加入同样多的水之后盐水的浓度是多少？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算及应用，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）根据分式混合运算的法则进行计算即可； （2）先设第一次加入一定量的水后，盐水为千克，从而求出盐的重量，然后再求出第二次加入的水的重量，从而根据浓度=盐的重量÷盐水的重量进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）设第一次加入一定量的水后，盐水为千克， 盐的重量（千克）， 第二次加入的水的重量（千克）， 第三次加入同样多的水后盐水的浓度， 第三次加入同样多的水后盐水的浓度为． 17. 已知二次函数．函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）当时，有最大值，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握顶点式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数表达式； （2）根据点距离对称轴的远近，判断出当时，取得最大值，从而求的值，要注意的分类讨论； （3）将的取值范围进行分类讨论，去掉绝对值得出的值． 【小问1详解】 解：将，；，；，代入， 得： 解得： 【小问2详解】 ，， 设， ，；，， 所以对称轴为直线 当时，，， 当时，； 当时，，， ， ； 综上所述，或； 【小问3详解】 设， ，， 当时，， ， ； 当时，， ， 舍去； 当时，， ， ； 综上所述，或． 18 （1）已知正整数满足，正整数． ①直接写出的最大值； ②请你列举出除最大值外的1个值及取得这个值对应的1组的值； ③直接写出所有符合条件的的值之和． （2）若，，分别被自然数除时，所得余数都是，记，求的值． 【答案】（1）①．②当时，此时（答案不唯一）．③．（2）． 【解析】 【分析】本题考查了数的整除性问题，找到规律是解题关键． （1）①当正整数时，取得最大值，此时； ②当时，此时，； ③当时，；当时，；当时，当时，，⋯，观察规律得的值可以从到，再计算即可． （2）由题意，设①，②，③，②①得：，③②得：，③①得：，故．再运算即可． 【详解】解：（1）①， 当正整数最小时，取得最大值， 即当时，取得最大值， 此时； ②当时， 此时， ③当时，； 当时，； 当时，当时， ， ⋯， 观察规律得的值可以从到， 符合条件的的值之和 （2）由题意，设①，②，③， ②①得：， ③②得：， ③①得：， ． 由于，，除以，余数都得， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，若点不在直线上且直线与坐标轴不平行，过点作轴与交于点，轴与交于点，则称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为，即． （1）若直线的表达式为，求的值(为坐标原点)； （2）如图，已知抛物线()与轴交于两点(在的左侧)，与轴交于点，且，直线记为，直线记为． ①抛物线上有一点满足，求点的坐标； ②直线下方的抛物线上有一动点，点关于直线的“路径”与以的中点为圆心，为半径的圆有交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①点的坐标或；②或 【解析】 【分析】（1）先求得，，再根据新定义“L距离”，即可求得答案； （2）①当时，得，，由，得，得出，求得，则，，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，设，过点作轴与交于点，与交于，轴与交于点，与交于点，分四种情况建立方程求解即可； ②设，过点作轴与交于点，轴与交于点，由点关于直线的“路径”与有交点，可得或或，再根据新定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：在中，令，得， 令，得， 解得：， ，， ，， 如图 ∴； 【小问2详解】 ①如图 抛物线与轴交于两点，在的左侧，与轴交于点， 令，得，则， 令，得， ， ，， ，即 即 解得： 抛物线 当， 解得： ，， 设直线解析式为则 解得 直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 设， 过点作轴与交于点，与交于，轴与交于点，与交于点， 当时， ， ， ， 即 解得：舍去或舍去 当时， ， ， ， 即 解得：舍去，， 点的坐标为， 当时，， ， 即 解得：舍去或 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； ②点是的中点， ， 又的半径为， 设， 如图，过点作轴与交于点，轴与交于点， ，解得： ，解得： 或或， 点在直线下方的抛物线上， ， 或或， 当时，的最大值为， 当时， 当时， 当时， 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，正切函数的应用，圆的性质，圆与直线的位置关系，新定义“路径”，“距离”，正确理解和运用新定义，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 20. 【阅读学习】我们知道三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心．人们在对三角形重心的研究中发现并证明了如下系列结论：如图，①已知的重心为，为的中点，则；②在中，为的中点，在上，，连接并延长交于点，则为的中点；③已知的重心为，为的中点，过的直线分别交于点，则；… （在解答本题（2）（3）问时，阅读学习中的3个结论根据你的需要可以直接运用） 【验证感知】（1）请从以上3个结论中选一个进行证明（若选择多个结论进行证明，则以第一个证明进行评分）； 【初步运用】（2）如图，在中，，，以为圆心，长为半径作圆交于点，交的延长线于点，连接，分别为，延长线上的点，且，求证：； 【灵活运用】（3）如图，在（2）的条件下，设的中点为，连接交于点，为上一点，连接并延长交于点，记，则是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），为定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①作辅助线构造，然后由中位线定理及相似三角形对应边成比例，即可得出结论； ②作辅助线得出，，再由相似比结合推导出点为中点； ③根据得出和．即可得出结论． （2）连接，接着证明和，由相似三角形对应边成比例得出，进而证得结论． （3）由（1）③联想到构造，然后把表达式中的线段长度比转化为相应的三角形面积比，进而构造直角梯形中位线推导出，再利用结论，即可求出答案． 【详解】（1）证明：①如图，连接并延长交于点，作交于点． 点为的重心， ，． ，则为的中位线， ，， ②如图，过点作交于点 ， ，， ， 为的中点． ③在图中，点为的重心，同结论①的证明过程，可得． ， ， （2）证明：如图，连接，设的半径为 ， ， ， ． ． 在和中，，． ． ① ，， ， 为的直径，，， ， 在和中，，， ． ② 由①②可得：， ，即， ， ． （3）解：如图所示，连接，P，，，从、、三点分别向作垂线，交及其延长线于点、、． 则． 是的中点， 是直角梯形的中位线， ． 由（）③可知，． ． 故，为定值． 【点睛】本题为三角形重心的综合应用题，涉及到圆，三角形的相似和全等，三角形和梯形中位线，正弦的定义等知识．根据题意作出合适的辅助线是解答本题的前提，通过、、三点分别向作垂线，构造直角梯形中位线，并把两条线段长度之比转化为两个三角形面积比是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 益阳市2023～2024学年度初中学科素养与创新知识大赛 数学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分：试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分120分． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据的平均数是a，中位数为b，众数为c，方差为d．将这组数据的每个数据都加上10得到一组新数据，则下列结论错误的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据中位数是 C. 新数据的众数是 D. 新数据的方差是 2. 如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是( ) A. B. C. D. 3. 实数，，在数轴上的对应点，，的位置如如图所示，，，且，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（ ） A. 16 B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 实数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是( ) A. B. C. D. 10. 如下图，在中，，，，以为边作等边三角形（与位于的异侧），则（ ） A. B. C. D. 12 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上． 11. 若实数的小数部分为，则______． 12. 将一个棱长为3的正方体的六个面都涂上红色，再把它全部切割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体至少有2个面涂上了红色的概率为______． 13. 如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为___________． 14. 阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是______． 15. 如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则______． 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）化简：． （2）现有盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为；第二次又加入同样多的水后，盐水浓度变为．则第三次再加入同样多的水之后盐水的浓度是多少？ 17. 已知二次函数．函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）当时，有最大值，求的值； （3）若，求的值． 18 （1）已知正整数满足，正整数． ①直接写出的最大值； ②请你列举出除最大值外的1个值及取得这个值对应的1组的值； ③直接写出所有符合条件的值之和． （2）若，，分别被自然数除时，所得余数都是，记，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，若点不在直线上且直线与坐标轴不平行，过点作轴与交于点，轴与交于点，则称折线为点关于直线“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为，即． （1）若直线的表达式为，求的值(为坐标原点)； （2）如图，已知抛物线()与轴交于两点(在的左侧)，与轴交于点，且，直线记为，直线记为． ①抛物线上有一点满足，求点的坐标； ②直线下方的抛物线上有一动点，点关于直线的“路径”与以的中点为圆心，为半径的圆有交点，求的取值范围． 20. 【阅读学习】我们知道三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心．人们在对三角形重心的研究中发现并证明了如下系列结论：如图，①已知的重心为，为的中点，则；②在中，为的中点，在上，，连接并延长交于点，则为的中点；③已知的重心为，为的中点，过的直线分别交于点，则；… （在解答本题（2）（3）问时，阅读学习中3个结论根据你的需要可以直接运用） 【验证感知】（1）请从以上3个结论中选一个进行证明（若选择多个结论进行证明，则以第一个证明进行评分）； 【初步运用】（2）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径作圆交于点，交的延长线于点，连接，分别为，延长线上的点，且，求证：； 【灵活运用】（3）如图，在（2）的条件下，设的中点为，连接交于点，为上一点，连接并延长交于点，记，则是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $