湖南省益阳市2023-2024学年初中学科素养与创新知识大赛数学试题

益阳市2023～2024学年度初中学科素养与创新知识大赛 数学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分：试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分120分． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据的平均数是a，中位数为b，众数为c，方差为d．将这组数据的每个数据都加上10得到一组新数据，则下列结论错误的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的中位数是 C. 新数据的众数是 D. 新数据的方差是 2. 如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是( ) A. B. C. D. 3. 实数，，在数轴上的对应点，，的位置如如图所示，，，且，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形面积为（ ） A. 16 B. C. D. 6. 下列运算正确是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 实数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是( ) A B. C. D. 10. 如下图，在中，，，，以为边作等边三角形（与位于的异侧），则（ ） A. B. C. D. 12 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上． 11. 若实数的小数部分为，则______． 12. 将一个棱长为3的正方体的六个面都涂上红色，再把它全部切割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体至少有2个面涂上了红色的概率为______． 13. 如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为___________． 14. 阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是______． 15. 如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则______． 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）化简：． （2）现有盐水若干千克，第一次加入一定量水后，盐水的浓度变为；第二次又加入同样多的水后，盐水浓度变为．则第三次再加入同样多的水之后盐水的浓度是多少？ 17. 已知二次函数．函数值和自变量部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）当时，有最大值，求的值； （3）若，求的值． 18. （1）已知正整数满足，正整数． ①直接写出的最大值； ②请你列举出除最大值外的1个值及取得这个值对应的1组的值； ③直接写出所有符合条件的的值之和． （2）若，，分别被自然数除时，所得余数都是，记，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，若点不在直线上且直线与坐标轴不平行，过点作轴与交于点，轴与交于点，则称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为，即． （1）若直线的表达式为，求的值(为坐标原点)； （2）如图，已知抛物线()与轴交于两点(在的左侧)，与轴交于点，且，直线记为，直线记为． ①抛物线上有一点满足，求点的坐标； ②直线下方的抛物线上有一动点，点关于直线的“路径”与以的中点为圆心，为半径的圆有交点，求的取值范围． 20. 【阅读学习】我们知道三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心．人们在对三角形重心的研究中发现并证明了如下系列结论：如图，①已知的重心为，为的中点，则；②在中，为的中点，在上，，连接并延长交于点，则为的中点；③已知的重心为，为的中点，过的直线分别交于点，则；… （在解答本题（2）（3）问时，阅读学习中的3个结论根据你的需要可以直接运用） 【验证感知】（1）请从以上3个结论中选一个进行证明（若选择多个结论进行证明，则以第一个证明进行评分）； 【初步运用】（2）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径作圆交于点，交的延长线于点，连接，分别为，延长线上的点，且，求证：； 【灵活运用】（3）如图，在（2）的条件下，设的中点为，连接交于点，为上一点，连接并延长交于点，记，则是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 益阳市2023～2024学年度初中学科素养与创新知识大赛 数学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分：试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分120分． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或或 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【16题答案】 【答案】（1）；（2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）或 【18题答案】 【答案】（1）①．②当时，此时（答案不唯一）．③．（2）． 【19题答案】 【答案】（1） （2）①点的坐标或；②或 【20题答案】 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），为定值，理由见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $