精品解析：陕西省柞水中学2026届高三上学期9月月考数学试题

柞水中学2026届高三年级9月份月考 数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 6. 已知平面向量满足，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 7. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则正数大小关系是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列函数中，对称中心为的有（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有两个零点 C. 若方程有两根，则 D. 若方程有两根，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为______. 13. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 14. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 四、解答题 15. 现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图. 解答下列问题： （1）图中D所在扇形的圆心角度数为________； （2）若2020年全市共有名九年级学生，请你估计视力在以下的学生约有多少名？ （3）根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？（合理即可） 16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 17. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最值； （3）证明：当时. 19. 将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. （1）求； （2）求的单调增区间，并说明在上的单调性； （3）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柞水中学2026届高三年级9月份月考 数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 故. 故选：B. 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算结合复数的模长公式求解即可. 【详解】， 则. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】取 ，满足 ，但是不成立，所以充分性不成立. 当时，由，则一定成立，即必要性成立 ． 所以 “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式计算即可. 【详解】由题意得，. 故选：D 5. 如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的实轴及焦距列式计算得出离心率即可. 【详解】设双曲线的焦距为，实轴长为.依题意可得，，则. 故选：C. 6. 已知平面向量满足，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得化简得，结合已知条件和数量积公式，再由向量的模长公式代入即可求出. 【详解】由于，所以， 又因为所以 所以， 所以. 故选：C. 7. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 8. 若，，，则正数大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列函数中，对称中心为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据正弦及余弦函数，一次函数得图象特征代入判断对称中心判断A,B,C，再根据对称中心的定义计算判断D. 【详解】对于A：令可得，所以关于对称，A选项正确； 对于B：令可得，所以不关于对称，B选项不正确； 对于C：令可得，所以关于对称，C选项正确； 对于D：令， 则 ， 所以关于对称，D选项正确； 故选：ACD 10. 在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 11. 下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有两个零点 C. 若方程有两根，则 D. 若方程有两根，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB，利用导数求出函数的单调性和的解即可判断AB；对于CD，不妨设， 由得，进而由得，接着利用放缩不等式即可得解. 【详解】因为，所以，， 所以当时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 令（舍）或， 对于A，由上可知是的极大值点，故A正确； 对于B，由上可知函数只有1个零点，故B错误； 对于CD，方程有两根，则， 不妨设， 则由上可知， 则，所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以时即， 所以，故，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：判断CD的关键1是由得，从而得到不等式；关键2是利用对不等式进行放缩得到，进而得解. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意结合全概率公式即可直接计算得解. 【详解】由题得甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的、、， 所以现任取一个零件，由全概率可得它是正品的概率为. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 14. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，即可根据条件列不等式求解. 【详解】由已知得，得． 令得；令得；令得；令得；令得， ，即的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题 15. 现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图. 解答下列问题： （1）图中D所在扇形的圆心角度数为________； （2）若2020年全市共有名九年级学生，请你估计视力在以下的学生约有多少名？ （3）根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？（合理即可） 【答案】（1） （2） （3）建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力 【解析】 【分析】（1）先利用扇形统计图得出D所占的百分比，然后乘以即可得出圆心角的度数；  （2）先得出视力所占的比例，然后用乘以这个比例可得结果； （3）根据视力的统计提出合理化的建议即可. 【小问1详解】 根据题意得. 【小问2详解】 根据题意得（名），则估计视力在以下的学生约有名. 【小问3详解】 建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力. 16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由题设先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）取的中点的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． 【小问2详解】 取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则． 由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 17. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最值； （3）证明：当时. 【答案】（1） （2）函数在区间的最小值为，最大值为. （3）证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程； （2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可； （3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证. 【小问1详解】 由函数可得， 所以切线的斜率为，又因为， 所以切线方程为， 即. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以当时，函数取最小值， 又因为， 所以函数在区间的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 当时可转化为， 也即在上恒成立. 令，则， 所以，因为，所以，则， 故在上单调递增，又因为， 所以在上恒成立，则函数在上恒成立， 所以，也即在上恒成立， 所以当时. 【点睛】利用导数证明不等式的常见形式是，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式移项，构造函数，转化为证不等式，进而转化为证明，因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 19. 将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. （1）求； （2）求的单调增区间，并说明在上的单调性； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 单调增区间为； 当时，单调递增，当时，单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）解方程，结合求解； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）说明是等差数列，根据求和公式求解. 【小问1详解】 由，得， 所以或， 解得或， 因为且， 所以时，或，解得或 当时，， 此时，而，不合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）， 由，得， 因为，所以单调增区间为， 因为，所以， 当，即时单调递增， 当，即时，单调递减； 【小问3详解】 当时，由或， 得或，又， 所以的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列， 偶数项构成以为首项，公差为的等差数列. 所以当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $