第三章 概率的进一步认识（举一反三单元测试·培优卷）数学北师大版九年级上册

第三章 概率的进一步认识·培优卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）以下事件中，属于必然事件的是（    ） A．坪山河的河水在冬季结冰 B．太阳从东边升起 C．坪山大道明天早上必堵车 D．坪山的公园数量在未来会不断减少 【答案】B 【分析】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件．在一定条件下一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【详解】解 ：A：坪山河的河水在冬季结冰，是随机事件，故此选项不符合题意． B：太阳东升是地球自转的必然结果，属于必然事件，故此选项符合题意． C：堵车受交通、天气等不确定因素影响，属于随机事件，故此选项不符合题意． D：公园数量变化取决于未来规划，存在不确定性，属于随机事件，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（    ） A．不能确定 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上， 则他第6次抛掷这枚硬币，有两种等可能的结果：正面向上与反面向上． 正面朝上的概率为：， 故选D． 3．（3分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一个不透明的礼盒中装有8个八宝棕，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出一个粽子为八宝粽的概率是，则肉粽的个数为（   ） A．10个 B．8个 C．2个 D．12个 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率公式，八宝粽的数量除以总粽子数等于随机拿出八宝粽的概率，由此建立方程求解肉粽个数． 【详解】解：设肉粽有个，则总粽子数为个，根据题意，随机拿出一个八宝粽的概率为，即： ， 解得：， 经检验是方程的解， 因此，肉粽的个数为2个， 故选：C． 4．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）小福每天早上七点在站台等候搭乘公共汽车，他把每天等待上车的时间整理如下： 等候次数 10 20 50 100 200 300 等待上车的时间少于的次数 5 13 38 79 162 240 等待上车的时间少于的频率 0.50 0.65 0.76 0.79 0.81 0.80 小福再等一次公共汽车，等待上车的时间少于概率是（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】D 【分析】本题考查的是用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，观察表格中试验次数与对应频率的变化趋势，随着次数增加，频率逐渐趋近于，即可得出结论． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐接近其概率， 试验次数分别为10、20、50、100、200、300时，对应频率依次为0.50、0.65、0.76、0.79、0.81、0.80， 当试验次数从200增加到300时，频率从0.81略微下降到0.80，但整体波动较小，表明频率趋于稳定， 最大试验次数（300次）对应的频率0.80最接近真实概率， 故选：D． 5．（3分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）儿童节，乐乐的爸爸买了一个如图所示的圆形飞镖盘（飞镖盘被平均分成8个大小相同的扇形），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率．熟练掌握几何概率是解题的关键．根据阴影部分的面积占圆面积的即可求解． 【详解】解：由题意知，阴影部分的面积占圆面积的， ∴恰好扎中阴影区域的概率是， 故选：D． 6．（3分）（2025·安徽芜湖·三模）月日是国际数学节某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．画树状图，共有9种等可能的结果，他们恰好选择相同游戏的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“解密风云”、“连数成画”和“函数追击”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，他们恰好选择相同游戏的结果有3种， ∴小明和小红恰好选到相同游戏的概率为， 故选：B． 7．（3分）一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 8．（3分）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 9．（3分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； ∵， ∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 10．（3分）（24-25八年级上·北京海淀·期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【答案】②①③ 【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案． 本题主要考查可能性的大小，随机事件，解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②水中捞月，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 12．（3分）在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据题意逐项分析判段即可求解． 【详解】解：在一副扑克牌中，有54张纸牌，有4种花色，2种颜色，“黑桃”有1个，“”有4个， 则①抽到“红桃”的概率为；②抽到“黑桃”的概率为；③抽到“”的概率是；④抽到“红色的”概率为， 则事件发生的可能性最大的是④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性大小，理解题意是解题的关键． 13．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的基本计算，解题的关键是明确概率的计算公式，即某一事件发生的概率等于该事件发生的时间与总时间的比值． 先算出一分钟内信号灯亮的总时间，再用红灯亮的时间除以总时间，即可得到看到红灯的概率． 【详解】已知交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，那么一分钟（60秒）内信号灯亮的总时间为秒． 根据概率的计算公式，随机事件发生的概率等于该事件发生的时间除以总时间，所以抬头看信号灯时是红灯的概率为红灯亮的时间除以总时间，即． 故答案为：． 14．（3分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图1，在边长为的正方形内部有一太阳形图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在太阳形图案内的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解题目中的频率，运用概率计算即可求解． 【详解】解：根据图2得到，在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在太阳形图案内的频率趋近于， 设阴影部分的面积为， ∴， 解得，， ∴阴影部分的面积为， 故答案为： ． 15．（3分）（2025·重庆·模拟预测）某校为培养学生的数学素养，开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味 课程，小琳和小玲从这四门课程中各随机选择一门学习，则她们选择相同课程的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查运用列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，列表确定所有等可能结果数以及她们选择相同课程的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味课程，分别用A、B、C、D表示， 根据题意列表如下： A B C D A       AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由上表可知，共有16种等可能的结果，她们选择相同课程有4种结果，则她们选择相同课程的概率是． 故答案为． 16．（3分）（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)张兵买来的电影票的座位号是偶数； (2)抛出去的铅球会落在地上； (3)婴儿会骑摩托车． 【答案】(1)是随机事件 (2)是必然事件 (3)是不可能事件 【分析】本题考查事件的分类，掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键． （1）根据相关定义判断即可； （2）根据相关定义判断即可； （3）根据相关定义判断即可． 【详解】（1）解：张兵买来的电影票的座位号是偶数，也可能是奇数，是随机事件； （2）解：抛出去的铅球一定会落在地上，是必然事件； （3）解：婴儿会骑摩托车，是不可能事件． 18．（6分）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 【答案】(1)B (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式． （1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可； （2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性是：；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为， ∴得到“手机”的可能性最小， 故选：B． （2）解：∵抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性 ∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示： 如图所示， 19．（8分）（24-25七年级下·山东济南·期末）振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图中的奖牌对应的奖品如图所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． (1)某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会则该顾客获得元购物券的概率是______；获得元购物券的概率是______；不获奖的概率是______； (2)此商场某天有名顾客参与抽奖，请你估计一下抽到元购物券的大约有多少人？ 【答案】(1)，，； (2)人． 【分析】本题考查的是概率公式，用样本估计总体，熟记概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出抽到元购物券的概率，进而可得出结论． 【详解】（1）∵共有种可能情况，获得元购物券的情况有种，获得元购物券的情况有种，不获奖的情况有种， 获得元购物券的概率为；获得元购物券的概率是；不获奖的概率是， 故答案为：，，； （2）∵共有种可能情况，获得元购物券的情况有种， 获得元购物券的概率为， 此商场某天有名顾客参与抽奖， 估计抽到元购物券的大约有：（人）． 答：估计抽到元购物券的大约有人． 20．（8分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个． (1)小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个 事件；（填写“必然”、“随机”、“不可能”） (2)小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？ (3)因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同．后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量． 【答案】(1)随机 (2) (3)10个 【分析】此题考查了概率的意义，概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． （1）根据事件发生的可能性大小判断即可； （2）利用概率公式可得答案； （3）根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个随机事件． 故答案为：随机； （2）∵巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个， ∴小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是； （3）（个），（个）． 故替换的雪糕数量为10个． 21．（10分）（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格：______；______； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】(1)295；0.745 (2)0.6 (3) 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：295；0.745； （2）估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， 故答案为：0.6； （3）， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 22．（10分）（24-25七年级下·山东济南·期末）小李每天开车上班，都要通过设有红、绿灯的3个交通岗． (1)小李从家到公司，经过第1个交通岗时遇到红灯的概率是_______； (2)小李想知道，他通过这3个交通岗时至少有1个绿灯的概率是多少？（请通过“画树状图”的方法给出分析过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用画树状图法求概率，熟练掌握用画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中至少有1个绿灯的结果有7种，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得经过第1个交通岗时遇到红灯的概率是， 故答案为： （2）解：根据题意，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中至少有1个绿灯的情况有7种， 至少有1个绿灯的概率是． 23．（12分）（2025·陕西榆林·模拟预测）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 24．（12分）（2025·福建龙岩·模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． (1)参与本次问卷调查的总人数为______人，统计表中______； (2)请补全条形统计图； (3)若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； (4)张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． 【答案】(1)200，17 (2)见解析 (3)300人 (4) 【分析】（1）利用选择E种活动的人数除以其所占的百分比求得参与本次问卷调查的总人数，再利用选择D组的人数除以总人数求解即可求得； （2）利用样本的总人数减去其他组的人数求得选择D种活动的人数，补全统计图即可； （3）利用全校的人数乘以选择C种活动所占的百分比即可求解； （4）画树状图或列表可得共有9种等可能的结果，其中抽取邮票为①，②有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：总人数为：（人）， 红歌传唱（D）人数为：（人）， ，即． 故答案为：200，17； （2）解：补全条形统计图如下： （3）解：（人）， 答：估计参加“党史宣讲”活动的人数为300人． （4）方法一：画树状图如下 方法二：列表如下 ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 由树状图或列表可知：共有9种等可能情况，其中抽取的两张邮票为①，②共有2种， P（张三抽取的两张邮票为①，②）． 【点睛】本题结合了统计与概率的知识，考查学生对数据的分析和概率计算的能力；在解决实际问题时，要注意数据的准确性和计算的合理性；概率问题中，利用列举法、列表法或画树状图法是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率的进一步认识·培优卷 【北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）以下事件中，属于必然事件的是（    ） A．坪山河的河水在冬季结冰 B．太阳从东边升起 C．坪山大道明天早上必堵车 D．坪山的公园数量在未来会不断减少 2．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（    ） A．不能确定 B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一个不透明的礼盒中装有8个八宝棕，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出一个粽子为八宝粽的概率是，则肉粽的个数为（   ） A．10个 B．8个 C．2个 D．12个 4．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）小福每天早上七点在站台等候搭乘公共汽车，他把每天等待上车的时间整理如下： 等候次数 10 20 50 100 200 300 等待上车的时间少于的次数 5 13 38 79 162 240 等待上车的时间少于的频率 0.50 0.65 0.76 0.79 0.81 0.80 小福再等一次公共汽车，等待上车的时间少于概率是（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 5．（3分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）儿童节，乐乐的爸爸买了一个如图所示的圆形飞镖盘（飞镖盘被平均分成8个大小相同的扇形），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（2025·安徽芜湖·三模）月日是国际数学节某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 8．（3分）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 9．（3分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 10．（3分）（24-25八年级上·北京海淀·期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 12．（3分）在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是 ．（填序号） 13．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是 ． 14．（3分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图1，在边长为的正方形内部有一太阳形图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在太阳形图案内的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 15．（3分）（2025·重庆·模拟预测）某校为培养学生的数学素养，开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味 课程，小琳和小玲从这四门课程中各随机选择一门学习，则她们选择相同课程的概率是 ． 16．（3分）（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)张兵买来的电影票的座位号是偶数； (2)抛出去的铅球会落在地上； (3)婴儿会骑摩托车． 18．（6分）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 19．（8分）（24-25七年级下·山东济南·期末）振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图中的奖牌对应的奖品如图所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． (1)某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会则该顾客获得元购物券的概率是______；获得元购物券的概率是______；不获奖的概率是______； (2)此商场某天有名顾客参与抽奖，请你估计一下抽到元购物券的大约有多少人？ 20．（8分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个． (1)小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个 事件；（填写“必然”、“随机”、“不可能”） (2)小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？ (3)因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同．后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量． 21．（10分）（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格：______；______； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 22．（10分）（24-25七年级下·山东济南·期末）小李每天开车上班，都要通过设有红、绿灯的3个交通岗． (1)小李从家到公司，经过第1个交通岗时遇到红灯的概率是_______； (2)小李想知道，他通过这3个交通岗时至少有1个绿灯的概率是多少？（请通过“画树状图”的方法给出分析过程）． 23．（12分）（2025·陕西榆林·模拟预测）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 24．（12分）（2025·福建龙岩·模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． (1)参与本次问卷调查的总人数为______人，统计表中______； (2)请补全条形统计图； (3)若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； (4)张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $