专题3.1 概率的进一步认识（举一反三讲义）数学北师大版九年级上册

专题3.1 概率的进一步认识（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 概率的大小比较】 2 【题型2 简单事件的概率】 4 【题型3 几何概率】 6 【题型4 树状图法求概率】 9 【题型5 列表法求概率】 13 【题型6 用频率估计概率】 18 【题型7 游戏的公平性】 21 【题型8 统计与概率的综合应用】 26 知识点1 用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 知识点2 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点3 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型1 概率的大小比较】 【例1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的概率更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了事件的概率，根据每个布袋中白球的个数判断即可． 【详解】∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球， ∴③中白球的个数最多 ∴“摸到白球”的概率更大的布袋是③． 故答案为：③． 【变式1-1】（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的概率大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的概率从小到大的顺序排列为 ． 【答案】②①③ 【分析】根据概率大小的概念分别求出每个随机事件的概率大小，继而可得答案． 本题主要考查概率的大小，随机事件，解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②水中捞月，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的概率从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 【变式1-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的概率由大到小排列是 （填序号）． 【答案】② ③ ① ④ 【分析】此题考查概率大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的概率就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的概率就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况： ① 掷得的点数是包含种情况； ② 掷得的点数是奇数包括种情况； ③ 掷得的点数不小于包括种情况； ④ 掷得的点数为包括种情况， 故发生的概率由大到小的顺序排为② ③ ① ④． 故答案为：② ③ ① ④． 【变式1-3】（2025七年级上·山东·专题练习）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的概率比是3的倍数的概率 ．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】本题考查了3的倍数特征，简单的概率计算． 先列举出0、6、9组成的所有三位数，分析偶数、3的倍数各有几个，再比较个数的多少，根据判断概率大小的方法，个数多的，概率就大；个数少的，概率就小． 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数． 【详解】，15是3的倍数； 由0、6、9组成的三位数有：690、609、906、960，共4个，都是3的倍数； 其中是偶数的有690、960、906，共3个； ，偶数的个数比3的倍数的个数少； 所以，用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的概率比是3的倍数的概率小． 故答案为：小． 【题型2 简单事件的概率】 【例2】（24-25八年级下·上海·期末）某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖．那么购一张彩票中一等奖的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率，让1除以数的总情况数即为所求的概率． 【详解】解：每个数位都可以是0到9这10个数中的任意一个，共有个，且每个出现的机会相同，所有中一等奖的概率是， 故答案为：． 【变式2-1】（2025·河南商丘·三模）某路口交通信号灯的一个完整周期为80秒．在每个周期中，绿灯时长为45秒，黄灯时长为3秒，红灯时长为32秒．货车司机陈师傅开车通过该路口时，遇上红灯的概率为（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查概率的计算，掌握概率的求法是解题关键． 根据题意，直接应用概率公式：概率=红灯时长÷总周期时长，即可求解． 【详解】解：由题意，根据概率公式，得 遇到红灯的概率． 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，先解不等式组，根据不等式组解集的情况可得，再解分式方程，由分式方程解的情况得，即得的取值范围为且，即可得符和条件的为的值共个，最后根据概率公式计算即可求解，由不等式组和分式方程解的情况求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程有解， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围为且， ∴从四个数中选取一个作为的值，符和条件的有，共个， ∴从四个数中选取一个作为的值，满足条件的概率为， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，一共有7种等概率，其中能使为等腰直角三角形的有4种，解答即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有7种等概率，其中能使为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使为等腰直角三角形的概率是． 故答案为：． 【题型3 几何概率】 【例3】（24-25七年级下·山东东营·期中）如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率，涉及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．由题意易得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，进而得到，进而得到，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 故选：A． 【变式3-1】（2025·山东济南·一模）《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，中心对称图形的性质，熟练掌握几何概率等于几何图形面积比是解题的关键． 利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式计算即可． 【详解】解：∵太极图是中心对称图形， ∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半， ∴在太极图中随机取一点， 此点取自黑色部分的概率是， 故答案为： 【变式3-2】（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，设最小的圆的半径为1，根据每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，结合圆的面积求出8环的面积，再乘以整个大圆的面积即可得出结果． 【详解】解：设最小的圆的半径为1，则从里到外，圆的半径依次为， ∴他射中8环的概率是； 故选B． 【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【答案】(1)是，4，见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论； （3）根据概率的求解得出答案． 【详解】（1）解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示： ， 故答案为：是，4； （2）正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份， 所以停在阴影区域的概率为； （3）如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）． 【题型4 树状图法求概率】 【例4】（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等概率的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等概率的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 【变式4-1】（2025·吉林松原·模拟预测）为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________． (2)小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握运用了列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键． （）直接利用概率公式求解即可； （）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如图， 共有种等可能的结果数，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的有种结果， ∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为． 【变式4-2】（2025·陕西渭南·三模）《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句： A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”； B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”； C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”； D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名． (1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是________； (2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）先画出相应的树状图，然后即可求得抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是． 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上可得，共有12种等概率，其中他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果有2种， ∴他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率为． 【变式4-3】（2025·福建厦门·二模）某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 【答案】问题：；问题：示意图见解析，个 【分析】问题，求出所有可能情况，再求出乙在社科阅览室的情况，根据概率公式计算即可； 问题，因为两种方式，每个座位所占面积相同，但方式需要的过道少于方式，所以尽量多用方式，因为桌子四周要留出通道，所以方式的面积相当于，方式的面积相当于，空间大小为，使空余空间最小的方案，即为所求． 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率以及图形规划，按照换算后的占地面积来进行规划是本题解题的关键． 【详解】解：问题：设分别用A、B、C表示三个座位，其中A、B为人文阅览室的两个座位，C为社科阅览室的座位，画树状图如下： 由图可知，一共有6种等概率的结果数，其中甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的结果数有2种， ∴甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率为； 问题：，， 两种方式每个座位面积相同， 方式需要的通道少于方式， 尽量选择方式， 桌子四周都要留出通道， 方式所占面积相当于，方式所占面积相当于，能够放置桌子的面积为， ，，， ∵，， 纵向采用两个，个或个最利用空间， ， 横向排排， 采用纵向两个，个，如图： 座位总数为：个． 答：总座位数为个． 【题型5 列表法求概率】 【例5】（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率． （）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，利用概率公式可得答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化， 共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种， 从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：甲口袋中是物理变化，是化学变化， 只有同时抽到和才符合要求， 根据题意，列表如下： 由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种， 抽出的两张卡片均是物理变化的概率为． 【变式5-1】（2025·云南昆明·三模）在《哪吒之魔童闹海》的云南首映式上，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖规则为：参与者任选一个奖品袋，从中随机抽取一张卡片（形状、大小完全相同），记下编号后放回洗匀，再根据所抽卡片上对应的编号领取奖品．已知甲奖品袋对应的卡片编号为：A：哪吒徽章，B：敖丙徽章，C：申公豹徽章；乙奖品袋对应的卡片编号为：D：哪吒钥匙扣，E：敖丙钥匙扣，F：太乙真人钥匙扣．（两个奖品袋的卡片如图所示） 甲奖品袋（徽章）： 乙奖品袋（钥匙扣）： 小丽和小颖参加了本次首映式，并分别从甲、乙奖品袋中随机抽取了一个奖品．其中，小丽从甲奖品袋中抽取的奖品记为x，小颖从乙奖品袋中抽取的奖品记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意列表即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可列表如下： D E F A B C 由表可知，可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的概率相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果数共有9种． （2）解：由表可以看出，所有出现的结果数共有9种，这些结果出现的概率相等．其中小丽和小颖抽取奖品所代表的动画人物相同的结果有2种，即、． P（小丽和小颖抽取奖品所代表的动画人物相同）=． 答：小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率为． 【变式5-2】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）南昌地铁1号线“师大南路站”有标识为2，3，4的三个出入口．某周六上午，甲、乙两名志愿者随机选择该站的一个出入口，开展交通安全志愿服务活动． (1)甲在该站的标识为4的出入口开展志愿服务活动的概率为_____． (2)求甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：甲在该站的标识为4的出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下：         甲 乙 2 3 4 2 3 4 ∴共有9种可能结果，其中甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的有3种， ∴甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 【变式5-3】（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； (2)从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种， ∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 乙甲 由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种， ∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【题型6 用频率估计概率】 【例6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（    ） A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花 C．不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布” 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键． 利用折线统计图可得出试验的频率在0.17左右，即该事件的概率约为0.17，计算出选项事件的概率即可得出答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故此选项符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花的概率为，故此选项不符合题意； C、不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球的概率为，故此选项不符合题意； D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”的概率为，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为，再根据概率公式列出方程，求出答案即可． 【详解】解：设红色小球x个，根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到） 【答案】6 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：， 解得． 故答案为：6． 【变式6-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 (1)上表中的_____； (2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； (3)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； (4)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 【答案】(1)0.28 (2)0.30 (3)9 (4)3 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据表中的数据计算即可； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率； （3）根据盒子里有9个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出； （4）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ． 故答案为：0.28； （2）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为：； （3）解：摸到红球的概率估计为0.3， 盒子里红球的数量为（个）， “摸出黑球”为必然事件， ． 故答案为：9； （4）解：由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得： ， 解得：， 答：的值为3． 【题型7 游戏的公平性】 【例7】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 【变式7-1】（2025·云南玉溪·二模）“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的概率相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 【变式7-2】（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据简单地概率公式列出分式方程解答即可； （2）利用列表法，计算各自的概率，比较大小，判定即可． 本题考查了简单地概率公式，列表法求概率，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为1． （2）解：该游戏规则不公平，理由如下： 经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下： 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果， 嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为， 该游戏规则不公平． 【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)， (2)需要将个黄色区域改为红色 (3)见解析 【分析】（1）先确定转盘总等可能结果数，再找出对应颜色区域数量，用对应颜色区域数除以总结果数得概率． （2）设黄色改红色的数量为未知数，根据调整后获20元奖券概率列方程求解． （3）通过分配转盘颜色区域，使兄弟俩获胜概率相等来设计公平规则． 本题主要考查了概率的计算与应用，涉及等可能事件概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ），熟练掌握概率公式，根据题意分析事件结果数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． （3）解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 【题型8 统计与概率的综合应用】 【例8】（2025·山东枣庄·模拟预测）DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50  83.5  （2）见解析（3）估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人（4）见解析， 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （2）根据（1）所得B组学生人数补全频数分布直方图即可； （3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （4）画出树状图，根据树状图解答即可． 【详解】（1）， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为25第和第26个数据的平均数， ∴中位数分， C组对应圆心角的度数为， 故答案为：50，83.5，； （2）补全频数分布直方图如下： （3）， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人． （4）画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 【点睛】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【变式8-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）某校为了解学生对名著：水浒传、：红楼梦、：三国演义、：西游记的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查每位同学必选且只能选择一项，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和条形统计图： 名著 频数 频率 请根据以上信息，解答以下问题： (1)本次共抽取学生______名， ______； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有名学生，则喜欢名著西游记的学生约有多少名？ (4)从喜欢水浒传的学生中选取人，从喜欢红楼梦的学生中选取人，若从这人中，随机选取人向大家分享他们最喜爱的故事情节，请用列表或画树状图的方法，求选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)喜欢名著西游记的学生约有人 (4) 【分析】（1）用表格中的频数除以频率可得本次共抽取的学生人数；用的频数除以本次共抽取的学生人数可得的值． （2）求出的频数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用乘以表格中的频率，即可得出答案． （4）列表可得出所有等可能的结果数以及选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、频数率分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，本次共抽取学生有名． ∴． 故答案为：；． （2）解：的人数为人． 补全条形统计图如图所示． （3）解：人． 答：喜欢名著西游记的学生约有人． （4）将喜欢水浒传的人分别记为，，将喜欢红楼梦的人分别记为，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的结果有：，，共种， 选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的概率为． 【变式8-2】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_______名学生； (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中类的人数除以扇形统计图中的百分比可得共调查的学生人数. （2）根据题意分别求出扇形统计图中类的百分比、条形统计图中类中女生的人数、类中男生的人数，补全条形统计图和扇形统计图即可. （3）列表可得出所有等可能的结果数以及所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：次调查中，一共调查了(名)， 故答案为：； （2）解：由题意得，类的人数为(人)， 扇形统计图中类的百分比为 ， 类的人数为(人)， ∴类中女生的人数为(人)，类中男生的人数为(人)， 补全条形统计图和扇形统计图如图所示： （3）解：列表如下： 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (女，男) (女，女) 女 (女，男) (女，女) 共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为． 【变式8-3】（2025·福建龙岩·模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． (1)参与本次问卷调查的总人数为______人，统计表中______； (2)请补全条形统计图； (3)若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； (4)张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． 【答案】(1)200，17 (2)见解析 (3)300人 (4) 【分析】（1）利用选择E种活动的人数除以其所占的百分比求得参与本次问卷调查的总人数，再利用选择D组的人数除以总人数求解即可求得； （2）利用样本的总人数减去其他组的人数求得选择D种活动的人数，补全统计图即可； （3）利用全校的人数乘以选择C种活动所占的百分比即可求解； （4）画树状图或列表可得共有9种等可能的结果，其中抽取邮票为①，②有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：总人数为：（人）， 红歌传唱（D）人数为：（人）， ，即． 故答案为：200，17； （2）解：补全条形统计图如下： （3）解：（人）， 答：估计参加“党史宣讲”活动的人数为300人． （4）方法一：画树状图如下 方法二：列表如下 ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 由树状图或列表可知：共有9种等可能情况，其中抽取的两张邮票为①，②共有2种， P（张三抽取的两张邮票为①，②）． 【点睛】本题结合了统计与概率的知识，考查学生对数据的分析和概率计算的能力；在解决实际问题时，要注意数据的准确性和计算的合理性；概率问题中，利用列举法、列表法或画树状图法是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 概率的进一步认识（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 概率的大小比较】 2 【题型2 简单事件的概率】 2 【题型3 几何概率】 3 【题型4 树状图法求概率】 4 【题型5 列表法求概率】 6 【题型6 用频率估计概率】 8 【题型7 游戏的公平性】 9 【题型8 统计与概率的综合应用】 11 知识点1 用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 知识点2 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点3 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型1 概率的大小比较】 【例1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的概率更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【变式1-1】（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的概率大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的概率从小到大的顺序排列为 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的概率由大到小排列是 （填序号）． 【变式1-3】（2025七年级上·山东·专题练习）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的概率比是3的倍数的概率 ．（填“大”或“小”） 【题型2 简单事件的概率】 【例2】（24-25八年级下·上海·期末）某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖．那么购一张彩票中一等奖的概率是 ． 【变式2-1】（2025·河南商丘·三模）某路口交通信号灯的一个完整周期为80秒．在每个周期中，绿灯时长为45秒，黄灯时长为3秒，红灯时长为32秒．货车司机陈师傅开车通过该路口时，遇上红灯的概率为（    ） A． B． C． D．无法计算 【变式2-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为 ． 【变式2-3】（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【题型3 几何概率】 【例3】（24-25七年级下·山东东营·期中）如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·山东济南·一模）《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ． 【变式3-2】（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【题型4 树状图法求概率】 【例4】（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【变式4-1】（2025·吉林松原·模拟预测）为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________． (2)小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率． 【变式4-2】（2025·陕西渭南·三模）《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句： A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”； B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”； C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”； D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名． (1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是________； (2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率． 【变式4-3】（2025·福建厦门·二模）某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 【题型5 列表法求概率】 【例5】（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【变式5-1】（2025·云南昆明·三模）在《哪吒之魔童闹海》的云南首映式上，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖规则为：参与者任选一个奖品袋，从中随机抽取一张卡片（形状、大小完全相同），记下编号后放回洗匀，再根据所抽卡片上对应的编号领取奖品．已知甲奖品袋对应的卡片编号为：A：哪吒徽章，B：敖丙徽章，C：申公豹徽章；乙奖品袋对应的卡片编号为：D：哪吒钥匙扣，E：敖丙钥匙扣，F：太乙真人钥匙扣．（两个奖品袋的卡片如图所示） 甲奖品袋（徽章）： 乙奖品袋（钥匙扣）： 小丽和小颖参加了本次首映式，并分别从甲、乙奖品袋中随机抽取了一个奖品．其中，小丽从甲奖品袋中抽取的奖品记为x，小颖从乙奖品袋中抽取的奖品记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率． 【变式5-2】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）南昌地铁1号线“师大南路站”有标识为2，3，4的三个出入口．某周六上午，甲、乙两名志愿者随机选择该站的一个出入口，开展交通安全志愿服务活动． (1)甲在该站的标识为4的出入口开展志愿服务活动的概率为_____． (2)求甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【变式5-3】（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； (2)从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【题型6 用频率估计概率】 【例6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（    ） A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花 C．不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布” 【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到） 【变式6-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 (1)上表中的_____； (2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； (3)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； (4)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 【题型7 游戏的公平性】 【例7】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【变式7-1】（2025·云南玉溪·二模）“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的概率相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【变式7-2】（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【题型8 统计与概率的综合应用】 【例8】（2025·山东枣庄·模拟预测）DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【变式8-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）某校为了解学生对名著：水浒传、：红楼梦、：三国演义、：西游记的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查每位同学必选且只能选择一项，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和条形统计图： 名著 频数 频率 请根据以上信息，解答以下问题： (1)本次共抽取学生______名， ______； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有名学生，则喜欢名著西游记的学生约有多少名？ (4)从喜欢水浒传的学生中选取人，从喜欢红楼梦的学生中选取人，若从这人中，随机选取人向大家分享他们最喜爱的故事情节，请用列表或画树状图的方法，求选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的概率． 【变式8-2】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_______名学生； (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【变式8-3】（2025·福建龙岩·模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． (1)参与本次问卷调查的总人数为______人，统计表中______； (2)请补全条形统计图； (3)若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； (4)张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $