4.1成比例线段 讲义2025-2026学北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦九年级数学“成线段比例”核心知识点，从形状相同图形对应边比值引入线段比概念，递进至成比例线段的定义与判断，再深入推导比例基本性质（正向ad=bc、反向转化、等比性质），构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 通过图形测量情境培养几何直观，分层题型（单位换算、性质应用、实际问题）提升运算能力与推理意识，结合地图比例尺、斜坡坡度等实例强化模型意识。课中助力教师系统授课，课后当堂小测与分类练习帮助学生查漏补缺，落实数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养。

辅导科目 数 学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 1 讲：成线段比例 授课时间 备课时间 教学目标 理解线段的比和成比例线段的定义，能准确判断四条线段是否成比例；掌握比例的基本性质，并能运用性质解决简单的几何问题. 重、难点 学习重点：理解成比例线段的定义，掌握比例基本性质并会简单应用. 学习难点：理解并会推导比例基本性质，能够识别实际问题中 “成比例线段”模型. 教学内容 一、线段比 1.测量以上两个形状相同图形对应边的长度，发现两个图形中的两条对应边比值都为 ． 2.由此可以发现：形状相同的图形，多组对应边的比值是 的. 3.回顾：两个数的比，本质是表示 的关系. 知识归纳 ①形状相同的图形，对应线段的比_ _； ②线段的比：线段的比是两条线段_ （需统一单位），它能刻画形状相同图形的 ，若两线段AB、CD的长分别为m、n，则两条线段长度的比记作. 练一练 1. （1）用同一单位测量得线段MN=4cm,PQ=12mm, 则MN:PQ= ，（结果化为最简整数比）. （2）若线段a=2m,b=100cm，则 = ，比值k= ，表示a= ×b. 2. 已知线段AB=3cm,CD=6cm，下列说法正确的是（ ） A. AB:CD=2:1 B.CD:AB= B.  AB 是比的前项，CD 是比的后项时，比值为   D. CD 与 AB 的比为 3:6 二、“成比例线段” 的定义. 四条线段a，b，c，d中，若a与b的比__ _c与d的比（即 = ），则这四条线段叫做 __（简称 _） （1）四条线段成比例的核心条件是_ ；线段顺序_ （会/不会）影响比例关系. 下列每组四条线段中，哪些是成比例线段？若成比例，写出一个比例式；若不成比例，说明理由（单位：cm）. （1）  a=2, b=4, c=3, d=6; （2）  a=1, b=2, c=3, d=4; （3）a=5, b=10, c=15, d=30.    三、比例的基本性质： 正向：若  = （b、d≠0），则_ ___（外项积=内项积）； 反向：若ad=bc （a、b、c、d≠0），则_ ___（或其他比例式，如  = ） 等比性质； 如果（b+d+...+n≠0），那么___ ______ 练一练 1.（1）若 （均不为0），根据比例的基本性质，可得5x= ； （2）若2a=3b（a、b均不为0），将其转化为比例式（写出一种即可）： . 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）若mn=pq，则mq=np； （2）若ab=cd，则ac=db（a,b,c,d均为实数）. 3. 已知 （2+3+4≠0），求 的值. 4、已知（2+3+4≠0），且2a-3b+4c=28，求a、b、c的值及的比值. 5、 已知（x+y+z≠0），求的值. 6、 题目：已知（n+q+s≠0），求的值. 7、已知，且ac+ce=2bd+2df（b+d+f≠0），求的值. 课后练习 题型一：线段的比与单位统一 1.已知线段 a=3cm,b=50mm，则a:b的值为（ ） A. B. C. D. 2. 线段m=2dm,n=0.4m ，（1m=10md），则m:n 的最简比为（ ） A. 1:2 B.2:4 C.5:1 D.1:5 3. 若线段AB=4cm,，线段CD的长度是AB的2倍，则 AB:CD=_ __ 4. 已知线段x=1.5cm,y=3mm，则 =___ __ 题型二： 成比例线段的判断 5.已知四条线段a=2,b=3,c=4,d=6,下列说法错误的是（ ） A.a,b,c,d成比例（） B.a,c,b,d成比例（） C.a,d,b,c成比例（） D. 以上都不对 6.四条线段的长度分别为 3，5，6，10，则这四条线段（ ） A. 成比例 B. 不成比例 C. 只有两组成比例 D. 无法判断 7.若四条线段 m=1,n=，p=，q=2，则 m,n,p,q_ __成比例线段（填“是”或“不是”） 8.已知线段a=4,b=6,c=9,d=6 ，判断与 是否相等，并说明这四条线段是否成比例。 题型三 比例基本性质 9.若 （x,y≠0），则下列等式成立的是（ ） A.3x=2y B.2x=3y C. D. 10.已知ab=cd （a,b,c,d 均不为 0），则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 11.若2m=3n （m,n≠0），则= 12.已知 ，且 a+b=16，则a= _ __ 题型四 比例性质的计算应用 13.已知 ，b=12，则a=（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 14.若 ，则 =（ ） A. B. C. D. 15.已知 ，则 . 16.若 （x,y,z≠0），且2x+y-z=6 ，求x,y,z 的值. 题型五 比例性质的计算应用 17.某地图的比例尺为1:50000 ，若图上距离为2cm ，则实际距离为（ ） A. 1000m B. 10000m C. 100m D. 10m 18.小明用复印机复印文件，复印前后文件的形状相同，复印前文件的长为 29.7cm，宽为 21cm，复印后文件的宽为7cm，则复印后文件的长约为（ ） A.9.9cm B. 14.85cm C. 21cm D. 89.1cm 19.美术课上老师用投影仪展示作业，投影仪镜头到作业的距离为30cm ，镜头到屏幕的距离为1.5m(1m=100cm) ，若作业上某线段长为2cm ，则屏幕上对应线段的长为多少？ 题型六 含参数与条件辨析 20. 已知，且b+d-f=0，求证：a+c-e=0. 21. 已知（3y+4w+5v≠0），求的值. 22.已知，且2b+3d-4f=0，判断是否有意义，若有意义求其值，若无意义说明理由 23.已知（n+q+s≠0），且m+p+r=2(n+q+s)，求k的值，并求的值. 题型四 实际问题与比例尺 24. 在地图测绘中，比例尺为“图上距离：实际距离=1:50000”。测得地图上A到B的距离为4cm，B到C的距离为6cm，C到D的距离为8cm，现计划在A到D的实际路线上修建加油站，每10km建一个，求共需修建多少个加油站（起点A不建，终点D建）. 25. 建筑施工中，斜坡的“坡度”定义为“垂直高度：水平宽度=i”。某斜坡由三段组成，每段坡度均为i=1:3，三段的垂直高度分别为h1=1.5m、h2=2,5m、h3=3m。 求：（1）三段斜坡的水平宽度之和；（2）三段斜坡的总长度. 26. 物理中“密度”定义为“质量：体积=”。现有三块同种金属，体积分别为V1=2cm³、V2=3cm³、V3=5cm³，总质量为m=150g。 求：（1）该金属的密度；（2）体积为V2=cm³的金属块质量m2. 当堂小测 学生： 成绩： 日期： 1.已知线段 a=2 cm，b=3 cm，c=4 cm，d=6 cm，下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2.若四条线段 m、n、p、q成比例，且 m=3，n=4，p=6，则 q 的值为（ ） A. 8 B. 4.5 C. 2 D. 12 3.下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则a=c,b=d B. 线段的比与所采用的长度单位有关 C. 若ad=bc （a、b、c、d均不为 0），则 D. 成比例线段的四条线段必须按顺序排列 4.已知 （y≠0），则下列等式成立的是（ ） A. 3x=4y B.4x=3y C. D. 5.形状相同的两个矩形，其中一个矩形的长和宽分别为 5 cm 和 4 cm，另一个矩形的宽为 6 cm，则其长为（ ） A. 7 cm B. 7.5 cm C. 8 cm D. 8.5 cm 6.若 ，且a+b=10 ，则 a=_______. 7.已知线段AB=6 cm，CD=2 dm（1 dm = 10 cm），则AB:CD= ____ ___ 8.若 3m=5n（m,n≠0），则= . 9. 某工厂要生产一种零件，设计图纸上零件的长为 10 cm，实际生产的零件长为 50 mm（1 cm = 10 mm），图纸上零件的宽为 6 cm。 （1）求图纸上零件与实际零件的长度比； （2）根据比例的基本性质，求实际生产零件的宽。 ( 第 1 页 共 3 页 )成功者找方法 方法总比问题多 学科网（北京）股份有限公司 $