第07讲 直线的倾斜角与斜率（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第07讲 直线的倾斜角与斜率 【人教A版】 模块一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【解答过程】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【解答过程】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【解答过程】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用斜率公式求得，根据正切函数图象与性质分析运算即可得解. 【解答过程】解：由题意点，，则直线的斜率为 ， ∵， ∴，又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）过点和点的直线的斜率为（   ） A．7 B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据斜率公式求解即可. 【解答过程】由题意，直线的斜率. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可． 【解答过程】解：设是直线上任意一点，则平移后得点， 则直线的斜率． 故选：A． 【变式2.2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【解答过程】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【解答过程】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D. 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可得出与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，即可得出答案. 【解答过程】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 【变式3.2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【解答过程】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【解题思路】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【解答过程】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【答案】A 【解题思路】设，则利用举步之比可表示出，结合条件，由直线的斜率建立方程，解之即得. 【解答过程】设，则,， 因,则 由直线的斜率为0.725，可得， 即，解得. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 【答案】， 【解题思路】由求得，然后由列式求解. 【解答过程】，解得，所以． 又三点共线，所以，所以． 即，. 【变式4.3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【解答过程】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【解答过程】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【变式5.3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【解题思路】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解答过程】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 模块二 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型6 两条直线平行的判定及求参】 【例6】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【解题思路】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【解题思路】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【解答过程】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【解答过程】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【变式6.3】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【解题思路】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【解答过程】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【题型7 两条直线垂直的判定及求参】 【例7】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知直线，直线，若，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解. 【解答过程】由已知，若，则，解得. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】当时，判断两直线的斜率，从而可证明充分性；当时，求的值，从而证明必要性. 【解答过程】当时，：，：， 则，所以，即“”是“”的充分条件； 当时，，解得或， 所以，当时，或，即“”是“”的不必要条件， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线斜率乘积等于得垂直； （3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【解答过程】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 【变式7.3】（2025高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【解题思路】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【解答过程】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【解题思路】根据直线的斜率和图象进行判断. 【解答过程】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． 【变式8.1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知点，，，，试判定四边形的形状． 【答案】直角梯形 【解题思路】根据题意求直线的斜率，利用斜率结合平行、垂直关系分析判断. 【解答过程】由斜率公式可得：，，，， 因为，可知， 因为，可知与BC不平行， 又因为，可知， 所以四边形ABCD是直角梯形． 【变式8.2】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式8.3】（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【答案】矩形 【解题思路】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解 【解答过程】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】C 【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系，数形结合依次判断各项的正误. 【解答过程】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错； B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错； C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对； D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错． 故选：C. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【解答过程】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解题思路】根据A，B两点坐标得出的斜率，根据直线的倾斜角为得出的斜率，由与平行得出，可解出. 【解答过程】直线的斜率， 直线的斜率． 与平行， ，即， 解得． 故选：D. 4．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【解答过程】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B. 5．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【解答过程】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）直线，则是 的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【解答过程】若 ，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是 的充要条件. 故选：C. 7．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解答过程】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10．（24-25高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解题思路】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【解答过程】已知直线， 若 ，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD. 11．（24-25高三上·河北承德·期中）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【解题思路】将三角形的顶点放到坐标原点，画出图象，结合等边三角形的性质及直线的斜率、倾斜角的定义判断即可. 【解答过程】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【解题思路】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【解答过程】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为：. 13．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 【答案】 【解题思路】由两条直线平行列式计算即可. 【解答过程】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【解答过程】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【解题思路】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则 ，结合斜率公式即可求解. 【解答过程】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则 ， 即，解得， 所以当时，三点共线. 16．（2025高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【解题思路】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【解答过程】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 17．（24-25高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为3，最小值为 【解题思路】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【解答过程】由于点满足关系式，且， 可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，. 令，易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，， 如图： 所以的最大值为3，最小值为. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据两直线平行和垂直时，斜率与截距的关系列式即可得解. 【解答过程】（1）设直线的斜率分别为， 则.当时，有，解得. （2）当时，，即， 所以，所以. 19．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线的倾斜角与斜率 【人教A版】 模块一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）过点和点的直线的斜率为（   ） A．7 B． C． D．3 【变式2.1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式2.3】（24-25高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【变式4.1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 【变式4.3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【变式5.3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 模块二 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型6 两条直线平行的判定及求参】 【例6】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【变式6.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式6.3】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【题型7 两条直线垂直的判定及求参】 【例7】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知直线，直线，若，则实数（    ） A． B． C． D．2 【变式7.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7.2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式7.3】（2025高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式8.1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知点，，，，试判定四边形的形状． 【变式8.2】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式8.3】（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 2．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 4．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 5．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）直线，则是 的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 10．（24-25高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高三上·河北承德·期中）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 三、填空题 12．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 . 13．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 16．（2025高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 17．（24-25高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 19．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $