第08讲 两条直线平行和垂直的判定（培优讲义）新高二数学人教A版

第08讲 两条直线平行和垂直的判定（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 1 知识点01 两条直线平行 2 知识点02 两条直线垂直 2 剖题型·讲技巧 3 题型1 两直线平行关系的判定 3 题型2 两直线垂直关系的判定 5 题型3 已知两直线平行关求参数 7 题型4 已知两直线垂直关系求参数 9 题型5 直线平行、垂直在几何中的应用 11 练好题·提分培优 14 课标要点 1． 熟记两条不重合直线平行的判定条件，分清斜率存在、不存在两种情况并规范书写判定式。 2． 掌握两直线垂直的斜率关系，分清一条直线斜率为 0、一条无斜率的特殊垂直情形。 3． 能结合直线斜率公式，根据直线平行、垂直关系列式求解直线中的参数数值。 4． 会区分平行与垂直的判定前提，规避忽略直线重合、斜率不存在的常见解题错误。 知识点01 两条直线平行 若两条直线、不重合，且斜率分别为、，则 注： （1）成立需要同时满足两个前提：第一，两条直线的斜率都存在；第二，两条直线不重合。 （2）若两条直线不重合，且斜率均不存在，那么两条直线倾斜角都为，此时。 （3）两条不重合直线平行的完整判定结论：斜率相等，或者两条直线斜率都不存在。 练习1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 2．已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 知识点02 两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 练习3．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 4．已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 题型1 两直线平行关系的判定 方法技巧 先判断直线斜率是否存在；斜率存在就对比斜率数值；斜率都不存在则判断是否重合，不重合即为平行。 【例1】直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 【例2】已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 【变式1-1】设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 【变式1-2】（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 【变式1-3】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 题型2 两直线垂直关系的判定 方法技巧 先观察两条直线是否为水平、竖直组合；若均存在斜率，计算斜率乘积，乘积等于则垂直。 【例3】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 【例4】以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 【变式2-1】以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 【变式2-2】两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直. 故选：C 【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 题型3 已知两直线平行关求参数 方法技巧 1.先判断直线斜率是否存在； 2.若斜率存在时，则根据平行条件列出含参数的方程，解出参数后，带回原式检验两条直线是否重合，重合的参数值要舍去。 若斜率均不存在时，令两条直线横坐标的系数满足垂直x轴条件，求出参数，再验证两直线不重合。 【例5】已知两条不重合的直线，的斜率分别是，，且，是方程的两个根，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，而直线不重合，则； 反之，由，且直线的斜率分别为， 则，方程有两个相等的根， 可得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例6】若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】由题意可知，直线的斜率为，得. 故选：B 【变式3-1】已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 故答案为： 【变式3-2】（多选）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【详解】，， 由,得， 展开并整理得，解得或. 当时，, 由图可知，符合题意. 当时，， 由图可知，符合题意. 综上所述，或. 故选：BC 【变式3-3】过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 【答案】/ 【详解】由题可得：，因为，所以，解得：； 故答案为： 题型4 已知两直线垂直关系求参数 方法技巧 分两类情况讨论 第一类：两条直线斜率都存在，利用构造方程求解参数； 第二类：一条直线斜率为0，另一条无斜率，直接根据直线形式列等式求参数。 【例7】已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【详解】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 【例8】已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【详解】两直线垂直，斜率之积为. 由一元二次方程根与系数关系可知，，故，解得. 故选：A 【变式4-1】已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 【答案】或 【详解】设,且为直角，则直线的斜率存在， 则，所以,解得：或, 所以点的坐标为或， 故答案为：或 【变式4-2】已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【详解】, 因为直线与垂直， 所以， 解得或， 当时，，与题意不符，故舍去. 故选：A 【变式4-3】设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，正实数或 【详解】若为直角，则，所以． 即，所以（舍去）． 若为直角，则，所以， 即，解得； 若为直角，则，所以， 即，解得或（舍去）． 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形． 题型5 直线平行、垂直在几何中的应用 【例9】已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 【例10】已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 【变式5-1】（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 【变式5-2】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 【答案】， 【详解】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 一、单选题 1．平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因，所以， 易知，故直线的斜率为. 故选：B. 2．如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】边所在直线的倾斜角为，则斜率为， ，即，故， 解得. 故选：A. 3．已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 4．已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即. 故选：C. 5．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，则， ∴，得， 设的倾斜角为，， ∴，则． 故选：B． 6．已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，则直线的斜率必存在，分别为， 由，得，即， 而，解得，点的纵坐标为. 故选：A 7．若过点的直线与过点的直线平行，则的值为（    ） A．3 B．-2 C．-2或3 D．2或-3 【答案】A 【详解】由过点，可确定斜率存在， 故直线与平行，则，即， 解得：或. 当时，，此时方程为：，的方程为：重合，故舍去，； 当时，，此时方程为：，的方程为：符合， 故选：A. 二、多选题 8．已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 【答案】BC 【详解】A选项，当斜率均不存在，也平行，故A错误； B选项，根据两直线平行的判定定理，当两条不重合的直线斜率存在且相等时，两直线平行，故B正确； C选项，根据两直线垂直的判定定理，若两直线的斜率都存在，且乘积为，则两直线垂直，故C正确； D选项，当两直线中，其中一条斜率不存在，另一条斜率为0，也垂直，故D错误. 故选：BC 9．已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 三、填空题 10．已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 11．以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 四、解答题 12．已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. （2）由得,由(1)可得，所以. 13．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 14．已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 两条直线平行和垂直的判定（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 1 知识点01 两条直线平行 2 知识点02 两条直线垂直 2 剖题型·讲技巧 3 题型1 两直线平行关系的判定 3 题型2 两直线垂直关系的判定 5 题型3 已知两直线平行关求参数 7 题型4 已知两直线垂直关系求参数 9 题型5 直线平行、垂直在几何中的应用 11 练好题·提分培优 14 课标要点 1． 熟记两条不重合直线平行的判定条件，分清斜率存在、不存在两种情况并规范书写判定式。 2． 掌握两直线垂直的斜率关系，分清一条直线斜率为 0、一条无斜率的特殊垂直情形。 3． 能结合直线斜率公式，根据直线平行、垂直关系列式求解直线中的参数数值。 4． 会区分平行与垂直的判定前提，规避忽略直线重合、斜率不存在的常见解题错误。 知识点01 两条直线平行 若两条直线、不重合，且斜率分别为、，则 注： （1）成立需要同时满足两个前提：第一，两条直线的斜率都存在；第二，两条直线不重合。 （2）若两条直线不重合，且斜率均不存在，那么两条直线倾斜角都为，此时。 （3）两条不重合直线平行的完整判定结论：斜率相等，或者两条直线斜率都不存在。 练习1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 2．已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 知识点02 两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 练习3．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 4．已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 题型1 两直线平行关系的判定 方法技巧 先判断直线斜率是否存在；斜率存在就对比斜率数值；斜率都不存在则判断是否重合，不重合即为平行。 【例1】直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【例2】已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【变式1-1】设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【变式1-2】（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【变式1-3】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 题型2 两直线垂直关系的判定 方法技巧 先观察两条直线是否为水平、竖直组合；若均存在斜率，计算斜率乘积，乘积等于则垂直。 【例3】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【例4】以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2-1】以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【变式2-2】两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 题型3 已知两直线平行关求参数 方法技巧 1.先判断直线斜率是否存在； 2.若斜率存在时，则根据平行条件列出含参数的方程，解出参数后，带回原式检验两条直线是否重合，重合的参数值要舍去。 若斜率均不存在时，令两条直线横坐标的系数满足垂直x轴条件，求出参数，再验证两直线不重合。 【例5】已知两条不重合的直线，的斜率分别是，，且，是方程的两个根，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例6】若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式3-1】已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【变式3-2】（多选）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-3】过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 题型4 已知两直线垂直关系求参数 方法技巧 分两类情况讨论 第一类：两条直线斜率都存在，利用构造方程求解参数； 第二类：一条直线斜率为0，另一条无斜率，直接根据直线形式列等式求参数。 【例7】已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【例8】已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 【变式4-1】已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 【变式4-2】已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【变式4-3】设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． 题型5 直线平行、垂直在几何中的应用 【例9】已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【变式5-1】（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【变式5-2】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    一、单选题 1．平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ）    A． B． C． D． 3．已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 7．若过点的直线与过点的直线平行，则的值为（    ） A．3 B．-2 C．-2或3 D．2或-3 二、多选题 8．已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 9．已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 三、填空题 10．已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 11．以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 四、解答题 12．已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 13．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 14．已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $