精品解析：广东省中山市中山纪念中学2024-2025学年高三上学期九月月考数学试题（港澳班）

2024-2025学年广东中山纪念中学高三上九月月考数学试题（港澳班） 一､单选题 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数定义域，解不等式得到，根据交集概念得到答案. 【详解】， 由对数函数定义域可知， 故 故选：C 2. 已知非零实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取特值可判断A和C，由函数的单调性可判断B和D. 【详解】对于选项A：取，，则，故A错误； 对于选项B：因为在上单调递增，所以当时，，故B正确； 对于选项C：取，，则，故C错误； 对于选项D：因为在上单调递增，所以当时，，故D错误. 故选：B. 3. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的值域可得出，可得出，则有，利用基本不等式可求得结果. 【详解】若，则函数的值域为，不合乎题意， 因为二次函数的值域为，则， 且，所以，，可得，则， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 4. 已知，则“”的充要条件是（ ） A. a，b都不为1 B. a，b不都为1 C. a，b不都为0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的等价变形可知且，即可得出结论. 【详解】且， 即都不为1， 故选：A 5. 设函数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，将化为，利用解析式求得的值，即可得答案. 【详解】由题意得 ， 故选：C 6. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解. 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 8. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【详解】，所以，即为偶函数， 对函数，，则， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以， 所以，解得或． 故选：B 9. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 10. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小. 【详解】由可得， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即； 由可得， 显然可得. 故选：A 【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解. 11. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】有题目所给解析式及函数的奇偶性，可以求解出的解析式，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】①, , 为奇函数，为偶函数 ， ②， ①+②得， ①-②得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为， 故选：B. 12. 已知函数的定义域为，满足是奇函数，且，若，则（ ） A. -100 B. -3 C. 3 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由是奇函数，可得，可得，结合，可得，则函数的周期为4，再由，可得，，，则，所以，即可求得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 是奇函数，所以关于对称，即， 有，即， 因为，则， 所以，则， 则，则， 所以函数的周期为4， 因为， 令，则， 令，则， ， 所以， 所以 . 故选：C. 二､填空题 13. 已知函数，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】运用换元法和代入法进行求解即可. 【详解】令，得，则． 因为，所以，解得． 故答案为：3 14. 已知函数为奇函数，则的值为_____________ . 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的性质求出并验证即得. 【详解】函数中，，方程的根为， 由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为， ，即函数为奇函数， 所以的值为. 故答案为： 15. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先对不等式进行因式分解，再根据m和1的大小关系进行分类讨论，结合题意，即可求解. 【详解】由得：， ①当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有3个整数，所以； ②当时，不等式的解集为，不符合题意； ③当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有3个整数，所以； 综上所述：实数m的取值范围是：或. 故答案为：或 16. 已知函数，若，则当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，令，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由得，即，令， 则 当且仅当，即时，取得最小值，此时z也取得最小值． 故答案为：. 17. 已知为偶函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合偶函数定义可得，由结合周期函数定义证明为周期函数，利用周期性及赋值法求结论. 【详解】因为为偶函数， 所以，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以函数为周期函数，周期为， 所以， 由，可得， 由，可得， 所以， 所以， 故答案为：. 18. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为函数在上是增函数，且在上恒成立，再根据对称轴与区间的关系，可得答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 设， 因为为减函数， 所以在上是增函数， 因为，其图象的对称轴为直线， 所以，且在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 三､解答题 19. 已知. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，解不等式. 【答案】（1） （2） 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）整理后分与两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出答案； （2）因式分解后得到，对进行分类讨论，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 变形得到对一切实数x恒成立， 当时，，不对一切实数x恒成立，舍去； 当时，则需，解得， 综上，实数a的取值范围是； 【小问2详解】 ，即， 因为，所以， 因为， 所以当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上：当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 20. 已知函数. （1）若函数是偶函数，求实数m的值； （2）若，使得.成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由，即恒成立可求出； （2）由得，，再根据指数函数的单调性可求出的范围. 【小问1详解】 由函数是偶函数知，. 故，即， 化简得，恒成立. 故，实数m的值为1. 【小问2详解】 方法一： 若，使得，则， 即，能成立. 于是，，， 由指数函数单调性，得， 故实数m的取值范围为. 方法二： 若，使得，则， 即，能成立. 于是，，， 由指数函数单调性，得 解得，故实数m的取值范围为. 21. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， 【小问2详解】 由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 ， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 22. 已知函数（其中）． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）当时，，求导，利用导数的几何意义求切线的方程； （2）可化为，分和两种情况，当时，恒成立，令，，只需，求导判断单调性，求解最小值即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 且，则， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 可化为， 因为，则有： 当时，则，符合题意，； 当时，则，可得恒成立， 令，，可知：， 可得， 令，， 则在上恒成立， 可知：在上单调递增，且，， 则，使得，即， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以， 所以只需，因为，即整数的最大值为； 综上所述：整数的最大值为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东中山纪念中学高三上九月月考数学试题（港澳班） 一､单选题 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”的充要条件是（ ） A. a，b都不为1 B. a，b不都为1 C. a，b不都为0 D. 5. 设函数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12. 已知函数的定义域为，满足是奇函数，且，若，则（ ） A. -100 B. -3 C. 3 D. 2025 二､填空题 13. 已知函数，若，则______． 14. 已知函数为奇函数，则的值为_____________ . 15. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________. 16. 已知函数，若，则当取得最小值时，________． 17. 已知为偶函数，且，则______． 18. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 三､解答题 19. 已知. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，解不等式. 20. 已知函数. （1）若函数是偶函数，求实数m的值； （2）若，使得.成立，求实数m的取值范围. 21. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 22. 已知函数（其中）． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $