第1单元 勾股定理 测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

参芳答案 第一单元测试卷 1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.A8.D9.B10.C 11.3212.10013.1514.5215.7 16.解：AB=1.5,BC=2,∠B=90°，AC=√1.52+2=2.5， ∠ACD=90°，CD=2.5,.AD2=AC2+CD2=12.5.,.正方 形ADEF的面积为12.5. 17.解：连接AC,∠B=90°， △ABC为直角三角形，.：AB=4 BC=3,根据勾股定理得：AC=BC /AB2+CB2=5,又.·CD=12 AD=13,.CD2+AC2=169,AD (第17题答图) =169,.CD2+AC2=AD..△ACD为直角三角形，∠ACD= 90AR BG+AGCD =36. 18.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由勾股定理，得x2+82= (16-x)2,解得x=6,答：旗杆在离底部6米的位置断裂. 19.解：：甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮 船向南偏西45°方向航行，∴.A01B0.:甲轮船以20海里/时 的速度向南偏东45°方向航行，∴.0B=20×2=40(海里)， :AB=50海里，在Rt△A0B中，A0=√AB2-OB=√502-40 =30,“.乙轮船平均每小时航行30÷2=15（海里）. 20.解：(1)DA⊥AB,∠BAC=90°.AB=80m,BC=100m, .AC=√BC-AB=√100-80=60(m).AD=135m,点 C,D均在点A的正北方向，即点A,C,D在同一条直线上， ..CD=135-60=75(m). (2)DE⊥EC,.∠DEC=90°，CD=75m,CE=45m,.DE =√CD2-CE=√752-452=60(m). 21.解：(1)14-x: (2).AD L BC,.ADP =AC2 CD2 AD2 AB2 -BD2,..132 (14-x)2=152-x2,解得x=9. (3)由(2)得AD=√AB2-BD=√152-92=12，.SA8c= 28C·A0=7×14×12=84. 22.解：如图1，作PE⊥AD,AP=DP,∴AE=ED=12(cm), 由勾股定理得，PE=√AP-AE=l6(cm), .点B到P的垂直距离为16+10=26(cm): D 欢迎光临 图1 图2 (第21题答图) 如图2，连接AC作PM⊥AC于M,作BWN⊥AC于N. 由题意知，缩短后的挂绳长度为20+20-4=36(cm), :长方形挂牌为ABCD,点P、D、C三点在同一直线上， ∴.∠ADP=∠ADC=90°，由勾股定理得，AC=√AD+CD2= ·89 26(cm), 设PD=x(cm),则AP=36-x(cm),由勾股定理得，Ap2-PD2 =AD2,即(36-x)2-x2=242,解得，x=10(cm),PC=PD+ CD=20(cm）,San=74CxPW=7 -PCxAD,即7×26× PpW=分×20×24，解得，PW-智cm)Sc=宁4C×N =分B×BC,即子×26×BN=方×10×24，解得，BN= 咒m点B到P的重直距离为智+-智(cm)点 B的病度下降了9-26-号(cm） 23.解：(1)假(2)：AB=BC,AC>AB.∴a=c,b>c,:△ABC是 类勾股三角形，ac+a2=,c2+a2=b2.△ABC是等腰 直角三角形，∠A=45°； (3)证明：在线段AB上取一点D,使 AD=CD,连CD,过C作CE⊥AB交 AB于E,.AD=CD,.∠ACD=∠A, A .∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A, D E B (第23题答图》 ∠B=2∠A..∠CDB=∠B..CD= CB=a,..AD=CD=a,.BC=a,AB c..'.DB=AB-AD =c- 1 a.CE LAB,DE BE=2 (e-a).:.AE =AD+DE=a+ (c-a）=(a+c,在△A0E中，cE=AC-AE=B2 [宁(c+a,在t△BCE中，E=Bc-BE=d [宁e-a-[宁a+o小=d-[分c-o,整理得 b2=ac+a2,∴.△ABC是“类勾股三角形”. 第二单元测试卷 1.D2.A3.C4.C5.C6.A7.B8.B9.C10.A 11.>12.√513.214.±0.0191015.9 16.解：(1)原式=23×(3√25×3-√4×3-√9×3)=25× (155-25-35)=25×105=20×3=60; (2)原式=1-3+(-√5+2)+√5=1-3-5+2+5=0. 17.解：3是2x+1的算术平方根，2x+1=9,.x=4,-2是 -3x+y+5的立方根，.-3x+y+5=-8,.-12+y+5= -8,.y=-1,∴.x-y=4-(-1)=4+1=5,5的平方根是 ±5，∴.x-y的平方根是±5. 18.解：(1)-2+2；(2)因为(2c+4)2+√d-4=0,所以2c+4= 0,d-4=0,解得c=-2,d=4.∴.√2c+3d-√3d-2c-√8= √/2×(-2)+3×4-√3×4-2×(-2)-√8=8-√16-√8 =-4. 19.解：(1)由题意得原来正方形区域的边长为400=20(cm); (2)由(1)得这根铁丝长为20×4=80(cm),由修改后的长方 形的长、宽之比为53，设长方形的长为5x,宽为3x,由其面积 为300cm2,所以5x·3x=300,即x2=20,解得x=2V5(cm) (负值舍)，∴.长方形的周长为2×（5x+3x)=16x=325 (cm),(3):4<25<5,∴64<325<80..铁丝够用. 20.解：(1)依题意，得该长方形闲置区域ABCD的周长为：2×(8 3+98)=2×(8√3+72)=163+142（米）. (2)(85×98)-(6-1)2=85×72-(7-26)=586 4dm2,8dm2和18dm2,.正方形木板A,B,C的边长分别 -7(平方米).10×(586-7)=5806-70≈1350.71（元）. 为：2dm22dm、3,2dm,.长方形木板的长为(2√2+32) 21.解：(1)：<√5<√6，即3<√5<4，√5的整数部分 dm.宽为(2+22)dm,由图可得：S阴影都分=(22+3√2)(2+ 是3，小数部分为√5-3；(2)2<5<3，√5的整数部分是 2√2)-4-8-18=(10√2-10)dm2.(3)能截出：理由：9= 2,小数部分是5-2，即a=5-2,3<√13<4，.√13的整 3(m),2×3=6(dm),∴.两个正方形木板放在一起的宽为 数部分是3，小数部分是√3-3，即b=3,.a+b-5=5-2 3dm,长为6dm,由(2)得长方形的宽为：(2+2√2)dm,长为 +3-5=1,.a+b-5的算术平方根为T=1;(3):1<5< 22+32=5√2(dm).2+22>4,52>6,∴.能截出. 2,.10<9+5<11,x是整数，且0<y<1,.x=10,y=9+ 21.(1)解：x+2y=2(1-2),.x+2+2(y-1)=0.x,y 5-10=5-1,x-y的相反数为y-x=5-1-10=3 为有理数，x+2=0,y-1=0,∴.x=-2,y=1,故答案为： -11. -2,1;(2)证明：x+y√m=a+b√m,x-a+(y-b)m =0,:x,y,a,b为有理数，x-a,y-b都是有理数，∴.x-a 2.解：(1)04=1,04=2,0A=3,0A。=10S= 2,$ =0,y-b=0,.x=a,y=b:(3)解：：4<√7<5，√7的整 2,$=3 号=得：0赋=S9(2)而 数部分a=4,小数部分b=√7-4，：17y+7y+7(y- 27x)=2a√7+b7,.17y+√7y+7(y-2√7x) （3)=行国-子号-…品-9+号++… =8√7+√7（√/7-4），.17y-34x+217y=17+ +8-+子++…+- 4厅为有理数 17,解得x=之y=2 4-4 23.解：(1)（答案不唯一）52+5(2)√n+I-n= 22.解：(1)由图1可知，AD=3,AB=2,BD=√AD+AB= (n+I-历)(n+1+历=n+1-n 1 C./n 3,.CD=√3，点C(点C在点D的右侧)表示的数是 /n+1+√n √n+I+n√n+I+ 1+3,故答案为：1+√3；(2)设秋千绳索AC的长度为x -√n-T:h-n)(h+n-①：n(n-1) m,则AB=AC=xm,由题意得：(x-3)2+62=x2,解得：x=7. √n+/n-1 √n+√n-1 5.则绳索AC的长为7.5m. 23.解：(1)AD=1,AD=DB=DC,.DB=DC=1,AD=1,BC 后+后因为+打>，所以++后 =2,.BD2+CD2=2,BC=(2)2=2.BD2+CD2=BC2, 石+n后所以vn打-后<后-n .△BDC是等腰直角三角形，：△ABD是等腰三角形，∴.四边 形ABCD是真等腰直角四边形.故答案为：是.(2)：对角线BD 第一次月考测试卷 是这个四边形的真等腰直角线，∴.△ABD是等腰三角形，当AD 1.C2.B3.A4.A5.B6.D7.D8.C9.C10.C =BD=4时，在Rt△BDC中，BD=DC=4,由勾股定理得：BC 11.直角三角形12.-813.2+514.1或2或315.20 =42+4=42,当BD=AB=3时，在Rt△BDC中，BD=DC 16.解：(1)原式=2-2+(-1+3)=2-2-1+5=-1+5； =3,由勾股定理得：BC=√32+32=32.综上：BC=42或 (2)原式=-1+3×1=-1+3=2. 3√2.(3)由题意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形， 17.解：(1)3a-7和a+3是某正数m的平方根，.3a-7+(a+ .BD=CD,AD=DE,∠BDC=∠ADE=90°.∴.∠ADC= 3)=0,.a=1,.a+3=1+3=4,m=42=16; ∠EDB,∴.△ADC≌△EDB(SAS),∴.AC=BE. (2):b+4的立方根是2，.b+4=2,.b=4;:c是√T的 第三单元测试卷 整数部分，3<√<4，.c=3,.±√a+3b+c= 1.C2.C3.B4.A5.A6.C7.D8.A9.D10.B ±/个+3×4+3=±4，a+3b+c的平方根是±4. 11.(20,24)12.(4,1)13.(-2,1)14.-115.(0,4) 18.解：(1)CE⊥AB,理由如下，CE2+BE=2.42+1.82=9,BC2 16.解：(1)：A(-1,0),AC=3,点C在x轴 =9,∴.CE2+BE2=BC2,∴.△BCE是直角三角形，∠BEC=90°， 上，.1xc-（-1)1=3,解得：c=2或 .CE⊥AB: 4,故点C的坐标为：（-4,0)或(2,0)； (2)Sac=74B,CE=之AB2.4=3AB=2.5A北= (2)△BC如图所示，则S=4C· C AB BE =0.7,..AC=AE2 +CE=2.5. =7×3×4=6 (第16题答图) 19.解：(1)1a-321+√b-5+(c-7)2=0,.a-32=0,b 17.解：(1)由图可知，公园、游乐场和学校的坐标分别为(3，-1)， -5=0,c-万=0，.a=32,b=5,c=7 (3,2),(1,3)； (2)△ABC是直角三角形.理由如下：a2=(32)2=18,b2= (2)小强一路上依次经过的地方是：邮电局，宠物店，姥姥家， 52=25,c2=(7)2=7,a2+2=18+7=25,.a2+2=b2, 消防站，汽车站，学校，糖果店. ∴.△ABC是直角三角形，∠B=90°. 18.解：(1)点P(4a-6,2-a)在x轴上，2-a=0,.a=2, 20.解：(1)木板B为正方形，且面积为8m2..木板B的边长 ∴.4a-6=2,∴.P(2,0);(2)Q(6,8),且PQ∥y轴，.4a-6 为：W8=2√2(dm).(2)正方形木板A,B,C的面积分别为： =6,∴.a=3,.2-a=-1,.P(6,-1). ·90·单元八年级数学 第一单元测试卷 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分）》 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列各组数是勾股数的是 A.4,5,6 B.6,8,10 C.32,42,32 D.7,12,13 2.如图，为了测量池塘两岸A,B间的距离，小明在池塘一侧选取一点C,使CA⊥AB于点A,测得 AC,BC的长度分别为16m,34m,则AB间的距离为 A.15m B.25m C.30m D.32m (第2题图) (第3题图)》 (第4题图) 3.如图，长为6cm的橡皮筋AB绷直放置，固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升4cm至D 点（即CD=4cm,CD⊥AB),则橡皮筋被拉长了 A.2 cm B.4 cm C.3 cm D.5 cm 4.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,则BC的长为（) A.18 B.21 C.20 D.23 5.把直角三角形的两条直角边同时扩大为原来的2倍，则其斜边扩大为原来的 A.2倍 B.4倍 c倍 D.不变 6.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为 ①a=3,b=4,c=5;②a=6,∠A=45°；③a2=4,b2=4,c2=8;④∠A=38°，∠B=52° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ·1… 7.如图，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AD=CD=7,若点P到AC的距离为5，则点 P在四边形ABCD边上的个数为 A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 (第7题图) 8.已知某直角三角形的两条直角边长的比为5：12，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形 的斜边长为 () A.13 B.15 C.60 D.26 9.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2、4、1、2，则正方形E的面 积是 ( A.36 B.25 C.18 D.9 (第9题图) 10.如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,将△ABC沿AC折叠，点B落在B 处，AD与B'C交于E,则CE的长为 ( 号 B子 c 25 D. 6 R 第二部分 非选择题（共90分）》 (第10题图) 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.在△ABC中，∠C=90°，AB=6,BC=2,则AC2的值为 12.如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6,8，则图中阴影部分（正方形）的面积为 13.如图，南京地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB、BC两段构 成，若BC段长度为8cm,点A、C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度为 cm (第12题图) (第13题图) (第15题图) ·2 14.在□ABCD中，∠ABC=45°，AB=10,BC=20,点P为BC上一动点，连接AP,则AP长的最小值 是 15.如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小 正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4,AB=5,则DE= 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(本小题8分) 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，连接AC,∠ACD=90°，AB=1.5,BC=2,CD=2.5.以AD 为边向外作正方形ADEF.求正方形ADEF的面积. (第16题图) 17.（本小题8分) 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4,BC=3,CD=12,AD=13.求四边形ABCD的面积 B6 (第17题图) ·3· 18.（本小题8分) 如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗 杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 777☑8来地面 密 (第18题图) 19.（本小题8分) 封 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口0出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行， 乙轮船向南偏西45°方向航行.已知它们离开港口0两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮 船平均每小时航行多少海里 北 0 。东 线 45 (第19题图) ·4 20.(本小题8分) 如图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口A的正北方向，入口A和出 口B在同一条直线上，DA⊥AB,测得AB=80m,AD=135m,BC=100m. (1)求摩天轮C到淘气堡D的距离； (2)现要在距离摩天轮45m的E处修建游乐项目旋转木马(CE=45m),点B,C,E在同一条 直线上，此时恰好DE⊥EC,求淘气堡D到旋转木马E的距离. 密 D(淘气堡) 北 (旋转木马)区 C摩天轮) A(人口)B(出口) (第20题图) 封 线 ·5 21.（本小题10分) 如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给 出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程 (1)作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,则CD= (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积. D (第22题图) 6 22.(本小题12分) 如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD,测得AB=10cm,AD=24cm. (如图1)，当挂牌水平悬挂（即BC与地面平行）时，测得挂绳AP=DP=20cm.将该挂牌的挂 绳长度缩短4cm后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现AC与地面平行，且点 P、D、C三点在同一直线上，则点B的高度下降了多少厘米？ P AD A D 欢迎光临 欢迎光临 B B 图1 图2 (第21题图) ·7· 23.（本小题13分) 定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a、b、c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾 股三角形”。 请根据以上定义解决下列问题： C B 图1 图2 备用图 密 (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 (填“真”或“假”)命题； (2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC,AC>AB.请求∠A的 度数； (3)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A.且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”. 封 线 8·