精品解析：河南省驻马店市新蔡县2022-2023学年九年级下学期4月期中素质测试数学试题

九年级数学（下册） 期中综合检测卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有一个正确答案） 1. 把一根铁丝截成同样长的小段，截成的段数和每段的长度（ ） A. 成正比例 B. 成反比例 C. 不成比例 D. 无法确定 2. 如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（　　） A. 4：9 B. 2：3 C. 16：81 D. 9：4 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 5. 一款便携式音箱以锂电池作为电源该电池的电压为定值．工作时电流I(单位： A)与电阻R(单位：Ω)之间的函数关系如图所示．则当电阻R为4Ω时，电流I（ ） A. 6A B. A C. 1A D. A 6. 如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ） A. B. 平分 C. D. 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解是（　　） ​ A. B. 或 C. 或 D. 8. 如图，在中，点E在BA的延长线上，，EC，BD交于点F．若，则DF的长为（ ） A. 3．5 B. 4．5 C. 4 D. 5 9. 在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ） 甲：若，则在上存在2个点P，使与相似； 乙：若，则的最大值为 A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个图象的一支位于第二象限的反比例函数解析式：___________． 12. 在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为___________． 13. 若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为_____________． 15. 如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于网格点上，按要求完成下列任务． （1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形； （2）以点O为位似中心，在第一象限中画出，使得与△ABC位似，且位似比为3∶1． 19. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长． 20. 如图所示，直立在点B处的标杆AB长2.5米，观察者站在点F处，人眼E、标杆顶A、树顶C在同一条直线上，点F，B，D也在同一条直线上．已知BD＝10米，FB＝3米，EF＝1.7米，求树高DC．(结果保留一位小数) 21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 22. 如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，轴，，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若的对应线段恰好经过点O． （1）求双曲线的解析式． （2）小彬通过观察图形得出一个结论：点C在双曲线上．请你证明这个结论的正确性． 24. （1）问题背景 如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB＋∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE． （2）变式迁移 如图2．在四边形DEBC中，2∠EDB＋∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG． （3）拓展应用 如图3，在四边形DECB中，2∠DBE＋∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n>1，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（下册） 期中综合检测卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有一个正确答案） 1. 把一根铁丝截成同样长的小段，截成的段数和每段的长度（ ） A. 成正比例 B. 成反比例 C. 不成比例 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例及正比例的定义：如果两个量的比值一定成正比例；如果乘积一定成反比例，据此判断即可． 【详解】解：因为截成的段数×每段的长度=铁丝的长度（一定）， 乘积一定，符合反比例的意义； 所以截成的段数和每段的长度成反比例， 故选：B． 【点睛】题目主要考查正、反比例的定义，理解正比例和反比例的定义是解题关键． 2. 如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（　　） A. 4：9 B. 2：3 C. 16：81 D. 9：4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似边比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应高比是4：9， ∴这两个相似多边形面积的比是16：81． 故选C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图象与点的关系，熟练掌握解析式的确定是解题的关键．先确定解析式，再代入解析式，计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A、∵，不符合题意； B、∵，符合题意； C、∵，不符合题意； D、∵，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例和总长度，求出的长．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 故选：A． 5. 一款便携式音箱以锂电池作为电源该电池的电压为定值．工作时电流I(单位： A)与电阻R(单位：Ω)之间的函数关系如图所示．则当电阻R为4Ω时，电流I（ ） A. 6A B. A C. 1A D. A 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为 再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式，然后代入R=4Ω求得电流I即可． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为 ∵反比例函数图象过（2，3）， ∴k=3×2=6， ∴I= 当R=4Ω时， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 6. 如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A；结合角平分线的定义可判断B；结合直角三角形两个锐角互余可判断C；D选项没有条件可判断和相似． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A能判断，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴，故B能判断，不符合题意； ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，故C能判断，不符合题意； ∵，结合题意没有满足使和相似的条件， ∴不能判断，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解是（　　） ​ A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点， 观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集是或． 故选：B． 8. 如图，在中，点E在BA的延长线上，，EC，BD交于点F．若，则DF的长为（ ） A. 3．5 B. 4．5 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 设则 即 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质与图象，掌握相关知识是解决问题的关键．因为， 所以图象过一、三象限，画出函数图象，利用图象数形结合的解决问题． 【详解】解：， ∴图象过一、三象限，如图， 由图象可知， 故选：C． 10. 题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ） 甲：若，则在上存在2个点P，使与相似； 乙：若，则的最大值为 A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】B 【解析】 【分析】（1）由与相似，，分与两种情况求解：设，则，将各值分别代入与中计算求解即可判断甲的正误；由，可证，则，设，则，即，解得，然后求最大值即可判断乙的正误． 【详解】解：甲：∵与相似，， ∴分与两种情况求解： ①当时，设，则， ∴，即， 解得：或， ②当时，设，则， ∴，即， 解得：， 综上所述，当，在上存在3个点P，使与相似，故甲错误； 乙：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 即， ∴， ∵， ∴当时，最大，且，故乙正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个图象的一支位于第二象限的反比例函数解析式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据图象的一支位于第二象限，确定k为负数解答即可． 本题考查了图象分布与函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据图象的一支位于第二象限，确定k为负数， 故（答案不唯一）， 故答案为：． 12. 在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 13. 若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据点A（a，b）在反比例函数y＝，可以求得ab的值，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上， ∴b＝，得ab＝3， ∴ab﹣1＝3﹣1＝2， 故答案为：2 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过反比例函数图象上的点向轴或轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于． 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点，，轴于点轴于点， ∴， ∵与的面积之和为2， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知及勾股定理可求得GE的长，延长GE交BC的延长线于点H，易得△GDE≌△HCE，由全等三角形的性质可得HE=GE，CH=DG，则由垂直平分线的性质定理得GF=HF；由勾股定理建立方程可求得CF的长，从而可求得GF的长． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠BCD=90°，CD=6， ∴∠D=∠ECH=90°， ∵E为DC的中点， ∴， 在Rt△GDE中，由勾股定理得：， 如图，延长GE交BC的延长线于点H， 在△GDE和△HCE中， ， ∴△GDE≌△HCE， ∴，CH=DG=2， 即点E是GH的中点， ∵ ∴由垂直平分线的性质定理得GF=HF=CF+CH=CF+2， 在Rt△HEF中，由勾股定理得：， 在Rt△EFC中，由勾股定理得：， 由上可得方程：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质定理等知识，其中构造辅助线得到全等三角形是本题的关键及难点． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 【答案】（6，）． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案. 【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M， ∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5， ∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5， ∴B（5，0），C（8，4）， ∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝， 设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣， ∴直线BC的关系式为y＝x﹣， 将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，）， 故答案为：（6，）． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式以及求两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 【答案】图象的另一支在第四象限， 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象的一支所在象限，确定另一支所在象限，再依据反比例函数性质求出常数的取值范围． 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数（）中，当时图象在第二、四象限是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，一支在第二象限， ∴另一支在第四象限． ∵在二、四象限， ∴， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于网格点上，按要求完成下列任务． （1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形； （2）以点O为位似中心，在第一象限中画出，使得与△ABC位似，且位似比为3∶1． 【答案】（1） 如图1所示． （2）如图1所示． 【解析】 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特性得到、、的坐标，然后连线即可； （2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以3，得到、、的坐标，然后连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了轴对称变换与位似变换，根据轴对称特性与位似特定找到三角形变换后相应的顶点是解题关键． 19. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易证根据相似三角形的性质，可得又代入即可求出． 【详解】∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∵AD＝8cm，BD＝4cm， ∴AB＝12cm， 20. 如图所示，直立在点B处的标杆AB长2.5米，观察者站在点F处，人眼E、标杆顶A、树顶C在同一条直线上，点F，B，D也在同一条直线上．已知BD＝10米，FB＝3米，EF＝1.7米，求树高DC．(结果保留一位小数) 【答案】树高DC约为5.2米 【解析】 【详解】解：如图所示，过E作EG⊥DC，垂足为G，交AB于H，则，即，解得CG≈3.47米． 所以DC＝DG＋CG≈1.7＋3.47≈5.2(米)， 即树高DC约为5.2米． 21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 22. 如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形，且， ． ． ， ， 即； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键． （1）由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论； （2）由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由，得出，求得，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ． 又为边的中点， ． 在Rt中，， 由（1）知 即， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，轴，，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若的对应线段恰好经过点O． （1）求双曲线的解析式． （2）小彬通过观察图形得出一个结论：点C在双曲线上．请你证明这个结论的正确性． 【答案】（1） （2） ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点C在双曲线上． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由旋转的性质及等边三角形的判定得出是等边三角形，，利用等边三角形的性质及勾股定理确定，代入解析式求解即可确定函数解析式； （2）根据三角形内角和定理得出，，再由旋转的性质确定，确定相应k的值相等，即可证明 【小问1详解】 解：∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点B作轴， ∴， ∴， ∴； ∵双曲线经过点B， ∴． ∴双曲线的解析式为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图象，熟练运用反比例函数的基本性质是解题关键． 24. （1）问题背景 如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB＋∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE． （2）变式迁移 如图2．在四边形DEBC中，2∠EDB＋∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG． （3）拓展应用 如图3，在四边形DECB中，2∠DBE＋∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n>1，直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵2∠EDB＋∠BDC=180°，∠BDA＋∠BDC=180° ∴2∠EDB=∠BDA ∴∠EDB=∠EDA ∵∠DEB=90°，∠DEB＋∠DEA=180° ∴∠DEB=∠DEA=90° ∴在△ADE与△BDE中 ∴ ∴AE=BE （2）证明：如图2，延长CD，BE交于点M 由（1）得ME=BE ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴DG=FG （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知和平角的性质可得∠EDB=∠EDA，利用全等三角形的判定定理和性质得，从而得证AE=BE． （2）延长CD，BE交于点M，由（1）得ME=BE，根据三角形相似的判定（平行于三角形一边的直线和其他两边或延长线相交，所截得的三角形与原三角形相似），可得，，再利用相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例），从而进一步得到结论． （3）在CB延长线上截取BP=BE，连接DP，由（1）得，，利用全等三角形判定定理和性质，可得，进一步得∠PDB=∠EDB，再根据相似三角形的判定定理（两角分别对应相等的两个三角形相似）和性质可得，，从而进一步得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在CB延长线上截取BP=BE，连接DP 由（1）得， 在和中 ∴ ∴∠PDB=∠EDB ∵∠EDB=∠DCB ∴∠PDB =∠DCB ∵∠P=∠P ∴ ∴ ∴ 设BP=1，则PD=n ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是添加辅助线，熟练掌握并灵活应用相关性质和判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $