精品解析：广东省湛江市雷州市八中集团 2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

25-26学年雷州八中集团九年级第一学期开学摸底测试 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符题意； C、是最简二次根式，则此项符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 1，，2 D. 1，1， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意； B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：A． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与运算，根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断． 【详解】解：A． 与不能合并，所以A选项计算错误，不符合题意； B． ，选项B中结果计算错误，不符合题意； C． ，所以C选项计算计算错误，不符合题意； D． ，所以D选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. 3，4，5 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、0.3，0.4，0.5都是小数，不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 5. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，则的，得出经过的象限是第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限 ∴不经过的象限是第二象限 故选：B 6. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，方差和中位数，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数， 故选：． 7. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为：万元， 2022的教育经费为：万元， ∴可得方程：． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 8. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之积是 D. 两根之和是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，韦达定理，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的根的判别式，判断A选项和B选项，利用韦达定理，判断C和D选项，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 故有两个相等的实数根， 故A和B选项不符合题意； 则，； 即两根之积是4，两根之和是4； 故选：D 9. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，再根据菱形面积计算公式可得，据此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，D是的中点，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：2． 14. 一次函数，当时，函数的取值范围是，那么代数式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数中所得性质是解决本题的关键． 先分析一次函数随的增大而减小，再将点带到一次函数解析式中可得d与m的关系，c与n的关系，代入即可求解． 【详解】解：一次函数中， 随的增大而减小， 当时，函数的取值范围是， ∴当时，；当时，， ，在一次函数图象上， ①，②， ， ． 故答案为：． 15. 如图，直线（k是常数，且）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴直线（是常数，且）与直线的交点坐标为：； ∴关于，的方程组，即的解为：， 故答案为：． 三、解答题（5+5+8+8，共26分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括二次根式的性质、零指数幂、绝对值，先根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值进行化简，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 18. 如图，在，，，． （1）请根据下面的描述，利用无刻度的直尺和圆规作图： ①作斜边的垂直平分线，交于点，交于点； ②连接，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点（点不与点重合），连接，． （2）求证：四边形是菱形； （3）求四边形的周长． 【答案】（1） 图形如图所示： （2） 证明：，， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分线段， ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质，菱形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （3）设，利用勾股定理构建方程求出，然后利用菱形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， 则有， 解得， 菱形的周长． 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的周长； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了网络图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）利用利用勾股定理求出的长，相加即得； （2）连接，根据勾股定理与勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：，，，； 四边形的周长为 ． 【小问2详解】 解：连接， ，，， ． ． ， ． 四、解答题（每小题8分，共24分） 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）求出，，的值； （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由： （3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，直接写出与a的大小关系． 【答案】（1），， （2）甲 理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲． （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差，熟练掌握相关定义与意义是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数、方差的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据表格中数据，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况进行分析，即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲的方差为， ； 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：7、9、9、9、10， 乙得分的中位数为9，即； 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况， 所以去掉一个最高分和一个最低分之后，数据的波动变小，方差更小， 因此， 21. 如图，直线l分别交x轴和y轴于点A，B， ，． （1）求点B的坐标； （2）若点C在x轴的负半轴上，的面积为4，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形面积，求得点的坐标是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再写出点B的坐标； （2）先根据的面积为4，求得的长，得到C的坐标，再根据点B、C的坐标，运用待定系数法求得直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵的面积为4， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． 22. 某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍．设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 【答案】（1）型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； （2）购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 【解析】 【分析】（1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，结合题意建立一元一次方程求解即可； （2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，先利用不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数表达式，结合一次函数的性质得出的最小值． 【小问1详解】 解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 根据题意得， 解得， ， 答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， 根据题意得， 解得， ， 根据题意得， ， 随着的增大而增大， 时，最小，， 答：购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是从题目中提取关键信息建立方程． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （1）求黄金矩形中边的长； （2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴CD=，EC=BC-AB==， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可． （2）求得CD，EC=BC-AB=，计算即可． 【小问1详解】 ∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） （3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出结果即可； （3）①由点在上得点的坐标为其中，过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，证明得，求出的横坐标为； ②证明矩形为正方形得，作于点G，作于点E，证明得，，求出可知点在上． 过点作轴交轴于点，由，可知当，，三点共线时，最小，最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：直线过点， ，解得， 将点代入得：，解得 【小问2详解】 解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：①由（1）得直线的解析式为， 当时，，所以的坐标为， 当时，，所以的坐标为， 点在上， 点的坐标为其中 过点作垂直轴于点，作垂直轴于点， ， ，， 即， ． ． ． 的横坐标为； ②． 由①得， 矩形为正方形， 作于点G，作于点E， ， 又 又， ， ， 点在上， 在正方形中， ， 作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． 坐标为， 又， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年雷州八中集团九年级第一学期开学摸底测试 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 1，，2 D. 1，1， 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. 3，4，5 D. 0.3，0.4，0.5 5. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 7. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之积是 D. 两根之和是4 9. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 13. 如图，在中，D是的中点，，则的长是______． 14. 一次函数，当时，函数的取值范围是，那么代数式的值是______． 15. 如图，直线（k是常数，且）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为_____． 三、解答题（5+5+8+8，共26分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，在，，，． （1）请根据下面的描述，利用无刻度的直尺和圆规作图： ①作斜边的垂直平分线，交于点，交于点； ②连接，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点（点不与点重合），连接，． （2）求证：四边形是菱形； （3）求四边形的周长． 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的周长； （2）求的度数． 四、解答题（每小题8分，共24分） 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）求出，，的值； （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由： （3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，直接写出与a的大小关系． 21. 如图，直线l分别交x轴和y轴于点A，B， ，． （1）求点B的坐标； （2）若点C在x轴的负半轴上，的面积为4，求直线的解析式． 22. 某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍．设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （1）求黄金矩形中边的长； （2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 24. 在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） （3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $