精品解析： 重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年七年级上学期开学考试数学试题

数学 （满分100分，答题时间80分钟） 一、填空题（每小题2分，共30分） 1. 甲有元钱，乙有元钱，若要使甲变为乙的两倍，那么乙应该给甲______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．本题可通过设未知数，根据甲变为乙的两倍这一数量关系列出方程，进而求解乙应该给甲的钱数． 【详解】解：设乙应该给甲元， 甲原本有元，乙给甲元后，甲的钱数变为元；乙原本有元，给甲元后，乙的钱数变为元， 根据变化后甲变为乙的两倍，可列方程： 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：， 因此，乙应该给甲元． 故答案为：． 2. 某商家做活动，活动前将某件商品涨价，活动时再打七五折出售，这件商品活动后价格比原价低______． 【答案】 【解析】 【分析】把原价看作单位“1”，先求出涨价后的价格，再求出打七五折后的价格，最后与原价比较得出降低的百分比．本题主要考查了百分数的实际应用，熟练掌握单位“1”的确定以及百分数的计算是解题的关键． 【详解】解：设原价为． 涨价后的价格： 打七五折后的价格： 活动后价格比原价低： 故答案为： 3. 如图的图中共有______个正方形． 【答案】 【解析】 【分析】这道题主要考查组合图形中正方形个数的计数知识点，具体是通过分类讨论不同边长的正方形，涉及到对图形的观察分析以及有序计数的数学思想，避免重复或遗漏计数． 【详解】解：设一个小正方形的边长为1， 正方形的边长可以是，，，(因为图的列数为，边长最大只能是；行数为，不影响边长的最大值)， 对于一个的网格(为行数，为列数)，边长为的正方形数量为： 数量(行数)(列数) 具体到(行数，列数)： 边长为的正方形：个数为（个）， 边长为的正方形：个数为（个）， 边长为的正方形：个数为（个）， 边长为的正方形：个数为（个）， 将所有边长的正方形个数相加：（个）， 故答案为：． 4. 计算，括号内应填入（ ）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不同进制数的转换与计算．需要先将七进制数和三进制数,都转化为十进制数，再进行加法运算，最后可将结果转化为其他进制(题目未明确要求，这里默认转化为十进制表示结果)． 【详解】解：根据七进制转十进制的方法， 根据三进制转十进制的方法， 将转化后的十进制数相加:， 因此，． 故答案为：． 5. 对于两个数，规定一种新运算，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查定义新运算.解题的关键在于理解新运算的规则，先根据计算出的值，再将该值代入中计算最终结果． 【详解】解：根据新运算规则， 当，时，， ∴， 根据新运算规则， 当，时，， ∴， 故答案为：． 6. 如果两个四位数的差为8922，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有______个． 【答案】78 【解析】 【分析】此题考查了整数的加减运算，首先求出最小的一对是9922，1000，然后结合最大的四位数是9999求解即可． 【详解】解：因为最小的四位数是1000， 所以， 所以最小的一对是9922，1000， 因为最大的四位数是9999， 所以这样的数对共有个． 答：这样数对共有78个． 故答案为：78． 7. 如果用符号“”表示数字a的整数部分，例如，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】先对分母中进行放缩，确定其范围，进而得到整个分数的范围，再求整数部分．本题主要考查了取整函数与不等式放缩，熟练掌握通过放缩确定数的范围是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以有项． 所以 ． 则， ，． 所以的范围是，即． 所以． 故答案为：． 8. 将8本书分给3个同学，在至少每个人都有一本情况下，共有______种不同的分法． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查排列组合问题，根据3个同学都分到书，可以根据一一列举法，列举出各种可能，即可得出答案． 【详解】解：把8本书分成3组，每组至少有1本，可以是：1本，1本，6本； 1本，2本，5本； 1本，3本，4本； 1本，4本，3本； 1本，5本，2本； 1本，6本，1本； 2本，1本，5本； 2本，2本，4本； 2本，3本，3本； 2本，4本，2本； 2本，5本，1本； 3本，1本，4本； 3本，2本，3本； 3本，3本，2本； 3本，4本，1本； 4本，1本，3本； 4本，2本，2本； 4本，3本，1本； 5本，1本，2本； 5本，2本，1本； 6本，1本，1本； ∴共有21种不同的分法， 故答案为：21． 9. 盘子里有10个乒乓球，小明准备将它们全部取出来，每次可以取出2个，也可以取出3个，那么要全部取出这些乒乓球，小明共有______种不同的取法． 【答案】 【解析】 【分析】通过列举每次取个和取个的不同组合，使得取出的乒乓球总数为个，从而确定取法的数量．本题主要考查了搭配问题，熟练掌握通过列举不同组合来解决问题是解题的关键． 【详解】解：方案一：全部每次取个，（次），即取次个． 方案二：取次个，（个），还剩（个），（次），即取次个和次个． 所以共有种不同的取法． 故答案为：． 10. 门锁密码是一个三位数，甲说“它是”；乙说：“它是”；丙说：“它是”；丁说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字”，那么门锁密码是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是逻辑推理．通过分析题目中所给的条件，运用排除法和逐步推理的方法，对每个数位上的数字进行分析和判断，从而确定门锁密码；在推理过程中，需要根据“每人都只猜对了位置不同的一个数字”这一关键条件，对每个数字的位置进行合理推断． 【详解】解：分析个位数字： 甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和乙都猜了个位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以个位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以个位数字只能是； 分析十位数字： 甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和丙都猜了十位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以十位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以十位数字只能是； 分析百位数字： 由于个位数字已经确定是，十位数字只能是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，那么丙猜的和乙猜的，所以百位数字只能是甲猜的； 综上，门锁密码是． 11. 如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是______平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积的计算与比例关系.通过作交于交，于，于，连接，结合正方形面积公式及中点性质，利用平行线分线段成比例定理，逐步推导得出相关线段的比例关系，进而推出，通过设，最终联立方程，解得,由图可知即可解答． 【详解】解：过作交于交，于，于，连接， 根据正方形面积公式，， ∵是中点， ∴， ， 同理可得：， ∵由正方形性质得：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是中点， ∴点是的中点， 同理可得：点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设， ∴， ， ， ∵与是等高三角形， ∴， 同理可得：， ， 即， 解得：，即， ∴； 故答案为：． 12. 方程：的解为______． 【答案】5055 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，如何构造出分数裂项的基本形式是解题的关键．把提取出来，并提取公因数，再利用分数裂项求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 现有克糖水，含糖率，加入______克糖后含糖率增加了． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查百分数的应用．解题的关键是先求出原来糖水中糖的质量，再根据含糖率的变化求出变化后的含糖率，最后根据变化后的含糖率求出变化后糖水的总质量，进而求出加入糖的质量． 【详解】解：已知原来糖水质量为克，含糖率为，根据水的质量糖水质量(含糖率)，可得水的质量为： (克) 加入糖后含糖率增加了，则现在的含糖率为：， ∵水的质量不变，根据现在糖水质量水的质量(现在的含糖率)，可得现在糖水质量为： (克) 根据加入糖的质量现在糖水质量原来糖水质量，可得加入糖的质量为： (克)． 故答案为：． 14. 在，，，中，最大的分数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，先求出，，，的倒数，根据得出，即可得出答案． 【详解】解：的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， ∵， ∴， ∴在，，，中，最大的分数是． 故答案为：． 15. 将共一百多名的五年级全体同学按每3人一组进行分组，结果多出1人，按每5人一组进行分组，结果多出2人，按每7人一组进行分组，结果多出1人，五年级总人数应该是______人． 【答案】127 【解析】 【分析】 本题主要考查了数整除，先得出被3除余1的数，被7除余1的数，可以表示为（n为自然数），根据五年级总人数在100和200之间，得出，然后得出在100和200之间被3除余1，被5除余2，被7除余1的数为127，即可得出答案． 【详解】解：∵3和7的最小公倍数为， ∴既能被3又能被7整除的数一定是的倍数， ∴被3除余1的数，被7除余1的数，可以表示为（n为自然数）， ∵五年级有一百多名学生， ∴五年级总人数在100和200之间， 当时，，当时，， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴在100和200之间被3除余1，被5除余2，被7除余1的数为127， ∴五年级总人数应该是127人． 故答案为：127． 二、计算题（每小题3分，共27分） 16. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算律（乘法分配律等）、运算顺序以及数的凑整、拆分等技巧是解题的关键． （1）观察式子，尝试通过变形构造相同因数，利用乘法分配律简便计算． （2）按照先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的顺序，逐步计算． （3）设，，将式子简化后计算． （4）把每个数凑成整百、整千等，再减去凑的部分，简便计算． （5）通过观察，提取公因式，利用乘法分配律计算． （6）将带分数拆分为整数和分数部分，分别计算整数和分数的和． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：设，， ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 17. 已知，问：a的整数部分是多少？ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分数的性质．根据分数的性质，原式变形为，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴的整数部分是1． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消法，将每一项转化为的形式，然后进行化简计算．本题主要考查了分数的裂项相消法，熟练掌握分数裂项的公式及裂项后相消的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 19 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】要计算这个复杂的分数式子，我们可以先分别对分子和分母进行化简，再计算它们的比值． 【详解】解：分子是：， 先对每一项的分母进行化简： 第一项分母：， 第二项分母：， 第三项分母：， 第项分母：，第k项为， 分母的最后一项，括号里到，此时，即，对应项为， 原式= ． 三、解答题（17题7分，18-19题各8分．20-21题各10分，共43分） 20. 试求不大于50的所有因数个数为6的自然数之和． 【答案】249 【解析】 【分析】本题考查了因数个数的计算．解题的关键在于理解因数个数的计算方法，即一个数的因数个数等于其质因数分解后，每个质因数的指数加1后相乘的结果，然后根据这个方法找出不大于50的所有因数个数为6的自然数，最后求出它们的和． 【详解】解：设一个数N的质因数分解形式为（为质数，为正整数），根据因数个数公式，N的因数个数为， ∵因数个数为6，而， ∴有两种情况： 情况一：（为质数），此时因数个数为； ①当时，，满足条件； ②当时，，不满足条件； 情况二：（为不同的质数），此时因数个数为， ①当时，，满足条件； ②当时，，满足条件； ③当时，，满足条件； ④当时，，满足条件； ⑤当时，，满足条件； ⑥当时，，满足条件； ⑦当时，，满足条件； ⑧当时，，不满足条件； ∴将满足的数相加得到：， ∴不大于50的所有因数个数为6的自然数之和为249． 21. 用M表示所有被3除余1的全体正整数，如果M中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被M中的任何数整除，称此数为“M素数”，问：第9个“M素数”是什么？ 【答案】34 【解析】 【分析】本题主要考查了数的整除，根据题意先写出“M中数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，…，再得出“M素数”为4，7，10，13，19，22，25，31，34，37，…，最后得出答案． 【详解】解：根据题意“M中数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，… “M素数”应为上列数中去掉1，16，28，…， 即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，37，…， 所以第9个“M素数”是34． 22. 已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第21项是10946，那么它的前19项的和是多少？ 【答案】10945 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据得出一般规律．设“斐波那契”数列为，根据题意可知：，且，，根据数据得出，从而得出当时，，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：设“斐波那契”数列为，根据题意可知： ，且，， 前n项和， 由可得： ， ， ， ……， ， 将以上式子相加： ， 移项得：，即， 当时，， ∵斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第21项是10946， ∴，， ∴， 即它的前19项的和是10945． 23. 从10名A校学生和8名B校学生中选出8人参加数学知识问答比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？ （1）恰有3名B校学生入选； （2）至少有两名B校学生入选； （3）某两名B校学生，某两名A校学生必须入选； （4）某两名B校学生，某两名A校学生不能同时入选； （5）某两名B校学生和某两名A校学生中最多入选两人． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【解析】 【分析】本题主要考查了组合数的应用，熟练掌握组合数的计算公式以及利用正难则反的思想解决组合问题是解题的关键． （1）要恰有3名B校学生入选，那么需从B校选3人，从A校选5人，用组合数计算两者选法数再相乘． （2）“至少有两名B校学生入选”的反面是“入选0名或1名B校学生”，用总的选法数减去这两种情况的选法数． （3）某两名B校学生和某两名A校学生必须入选，那么只需从剩下的学生中选4人． （4）“某两名B校学生和某两名A校学生不能同时入选”的反面是“这四人同时入选”，用总的选法数减去这四人同时入选的选法数． （5）“某两名B校学生和某两名A校学生中最多入选两人”，分入选0人、1人、2人三种情况，分别计算选法数再相加． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：总的选法数： ， 入选0名B校学生的选法数：， 入选1名B校学生的选法数：， 至少有两名B校学生入选的选法数：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：总的选法数：， 这四人同时入选的选法数：， 某两名B校学生和某两名A校学生不能同时入选的选法数：； 【小问5详解】 解：入选0人的选法数：， 入选1人的选法数：， 入选2人的选法数：， 最多入选两人的选法数：． 24. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米．如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是210米，求A、B两点间的距离为多少米？ 【答案】350米 【解析】 【分析】本题主要考查了分数混合运算的应用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据题意得出第四次相遇点与第五次相遇点相差：（个）全程，根据第四次相遇点与第五次相遇点的距离是210米，列出算式，求解即可． 【详解】解：根据题意可得：第四次相遇两人共跑了7个全程，甲跑了（个）全程， 即此时甲距离A地个全程； 第五次相遇时，两人共跑了9个全程，甲跑了（个）全程， 即此时甲距离A地个全程； 所以第四次相遇点与第五次相遇点相差：（个）全程， 所以全程是：（米）， 答：A、B两点间的距离为350米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （满分100分，答题时间80分钟） 一、填空题（每小题2分，共30分） 1. 甲有元钱，乙有元钱，若要使甲变为乙的两倍，那么乙应该给甲______元． 2. 某商家做活动，活动前将某件商品涨价，活动时再打七五折出售，这件商品活动后价格比原价低______． 3. 如图的图中共有______个正方形． 4. 计算，括号内应填入（ ）． 5. 对于两个数，规定一种新运算，，，那么______． 6. 如果两个四位数的差为8922，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有______个． 7. 如果用符号“”表示数字a整数部分，例如，，那么______． 8. 将8本书分给3个同学，在至少每个人都有一本的情况下，共有______种不同的分法． 9. 盘子里有10个乒乓球，小明准备将它们全部取出来，每次可以取出2个，也可以取出3个，那么要全部取出这些乒乓球，小明共有______种不同的取法． 10. 门锁密码是一个三位数，甲说“它是”；乙说：“它是”；丙说：“它是”；丁说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字”，那么门锁密码是______． 11. 如图，正方形面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是______平方厘米． 12. 方程：的解为______． 13. 现有克糖水，含糖率，加入______克糖后含糖率增加了． 14. 在，，，中，最大的分数是______． 15. 将共一百多名的五年级全体同学按每3人一组进行分组，结果多出1人，按每5人一组进行分组，结果多出2人，按每7人一组进行分组，结果多出1人，五年级总人数应该是______人． 二、计算题（每小题3分，共27分） 16. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 17. 已知，问：a的整数部分是多少？ 18. 计算：． 19. 计算：． 三、解答题（17题7分，18-19题各8分．20-21题各10分，共43分） 20. 试求不大于50所有因数个数为6的自然数之和． 21. 用M表示所有被3除余1全体正整数，如果M中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被M中的任何数整除，称此数为“M素数”，问：第9个“M素数”是什么？ 22. 已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第21项是10946，那么它的前19项的和是多少？ 23. 从10名A校学生和8名B校学生中选出8人参加数学知识问答比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？ （1）恰有3名B校学生入选； （2）至少有两名B校学生入选； （3）某两名B校学生，某两名A校学生必须入选； （4）某两名B校学生，某两名A校学生不能同时入选； （5）某两名B校学生和某两名A校学生中最多入选两人． 24. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米．如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是210米，求A、B两点间的距离为多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $