精品解析：浙江省金华市第四中学2025--2026学年上学期9月九年级开学考·数学试题

浙江省金华四中2025年9月九年级开学考·数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握以上知识是解题的关键；本题根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 4. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解． 【详解】解：圆内接四边形对角互补， ，． ：：：：，设，，． ， 解得． ． 故选：B． 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 6. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至多有1个球是黑球 C. 至少有1个球是红球 D. 至少有1个球是黑球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意； B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 7. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 8. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点H是的中点，运用勾股定理在中，求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∵， ∴点H是的中点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点H是的中点， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 10. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 九年级一班计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“”“豆包”三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据概率的计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意，共有3种等可能结果，其中符合题意的有1种， ∴小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是， 故答案为：． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 3 4 5 6 7 8 … y m … 则表格中m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用二次函数图象的对称性进行作答，即可求解． 【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为： 直线， ∴与关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； 13. 如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意可得，，则，与的相似比为，则，然后问题可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵的面积是面积的9倍， ∴与的相似比为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 15. 已知二次函数在时有最小值，则______． 【答案】3或 【解析】 【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ①，抛物线开口向上，时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 又时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； 故答案为：3或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 16. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE=2BE，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q，根据题意可知，，根据得，根据正方形的性质可证明是等腰三角形，可得，根据三角形中位线的性质可得，，利用ASA可证明，可得，即可得出，，利用勾股定理可用BE表示出CH的长，即可表示出CG的长，进而可得出结果． 【详解】 如图，设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q， ∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴PH为的中位线， ∴，， ∵四边形EPFN是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质以及判定定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 已知线段、、满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【小问1详解】 ， 设，，， 又， ， 解得， ，，； 【小问2详解】 是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 18. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴，又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义证明，再根据相似三角形的判定定理证得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 19. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 20. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与相似的最小格点． 【答案】（1） 如图1，即为所求． （2） 如图2，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）22米；（3）不会 【解析】 【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上． 当时， ． （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． 22. 如图，四边形内接于为的直径，且． （1）试判断的形状，并给出证明． （2）若． ①求线段的长． ②求的值． 【答案】（1） 是等腰直角三角形， 证明：∵是圆的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）① ② 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握圆的性质是解题关键. （1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）①由为的直径，可得，利用勾股定理即可求得答案； ②过点作于点，由是等腰直角三角形，可得，再根据三角函数定义可得，可得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ， ∵为的直径， ， ； ②如图，过点作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 23. 抛物线的图象如图． （1）若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． （2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． （3）若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】（1）或 （2）函数值 （3） 解：函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点， ∴这两点关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 即函数值与解析式中的系数c有关． 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，x的取值范围为或； 【小问2详解】 解：∵， ∴点M与点N关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：当时，函数的值； 【小问3详解】 略 24. 已知为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，． （1）如图1，当C为的三等分点，且时， ． （2）如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． （3）如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得． ①求的值； ②连接，记，直接写出d的最小值． 【答案】（1）2 （2）y与x之间的关系式为； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，利用已知条件得到，再利用三角形的面积公式解答即可； （2）利用旋转的性质得到，，则，利用相似三角形的判定与性质得到，则y与x的函数关系式可求；利用，结合x的取值范围即可得出y的取值范围； （3）①连接，利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理得到，利用已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②连接，取的中点M，连接，，过点M作于点N，利用直角三角形的边角关系定理求得，，利用勾股定理求得，利用三角形的三边关系定理得到，则当点M，F，B在一条直线上时，取得最小值，结论可求． 【小问1详解】 解：过点D作于点E，如图， 为的三等分点，且， ∴． ∴． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴． 为的直径， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴y与x之间的关系式为． ∵点C在半径上（点C不与点O重合）， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：①连接，如图， 为的直径， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接，取的中点M，连接，，过点M作于点N，如图， 由（3）①知：， ∴， 为的中点， ∴， ∵，， ∴， ， ． ∵， ∴当点M，F，B在一条直线上时，取得最小值． ∵， ∴d的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，连接直径所对的圆周角和添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省金华四中2025年9月九年级开学考·数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A. B. C. D. 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至多有1个球是黑球 C. 至少有1个球是红球 D. 至少有1个球是黑球 7. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 九年级一班计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“”“豆包”三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是_____． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 3 4 5 6 7 8 … y m … 则表格中m的值是______． 13. 如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为________ 14. 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）． 15. 已知二次函数在时有最小值，则______． 16. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE=2BE，则的值为____________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 已知线段、、满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 19. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 20. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与相似的最小格点． 21. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 22. 如图，四边形内接于为的直径，且． （1）试判断的形状，并给出证明． （2）若． ①求线段的长． ②求的值． 23. 抛物线的图象如图． （1）若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． （2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． （3）若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 24. 已知为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，． （1）如图1，当C为的三等分点，且时， ． （2）如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． （3）如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得． ①求的值； ②连接，记，直接写出d的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $