2.1有理数的加法 同步课讲义2025-2026学年浙教版（2024）七年级数学上册

2.1有理数的加法 讲解目录 【知识点1】有理数的加法 1 【题型1】有理数加法的实际应用 3 【题型2】有理数的加法运算与数轴、绝对值的综合 4 【题型3】有理数的加法运算律 7 【题型4】运用有理数的加法运算律进行简便计算 8 【题型5】有理数的加法中的符号问题 10 【题型6】运用有理数加法法则进行计算 11 知识讲解 【知识点1】有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b=b+a；  结合律（a+b）+c=a+（b+c）． 1.（2024秋•枣阳市期末）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图（1）表示的是（+23）+（-54）=-31的计算过程，则图（2）表示的计算过程是（　　） A．（-22）+（+23）=1 B．（-22）+（+32）=10 C．（+22）+（-32）=-10 D．（+22）+（-23）=-1 【答案】B 【分析】由白色算筹表示正数，灰色算筹表示负数，即可列式计算． 【解答】解：由题意可得： 图（2）表示的计算过程是（-22）+（+32）=10． 故选：B． 2.（2025•花都区二模）（-1）+2=（　　） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．依此即可求解． 【解答】解：（-1）+2=1． 故选：C． 3.（2025•滨海新区二模）计算2+（-3）的结果等于（　　） A．-6 B．-1 C．1 D．6 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：2+（-3） =-（3-2） =-1． 故选：B． 题型专练 【题型1】有理数加法的实际应用 【典型例题】一天早晨的气温是-7 ℃，中午上升了10 ℃，中午的气温是（    ） A.-1 ℃ B.-3 ℃ C.1 ℃ D.3 ℃ 【答案】D 【解析】中午的气温为：， 故选D． 【举一反三1】甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为8:00时，东京时间为9:00，巴黎时间为1:00，那么东京与北京的时差为9-8=+1 h，巴黎与北京的时差为1-8=-7 h．已知卡塔尔与北京的时差为-5 h，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（　　） A.11月20日05时 B.11月20日19时 C.11月21日05时 D.11月21日19时 【答案】B 【解析】卡塔尔与北京的时差为-5 h，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行， ∴， 卡塔尔卢塞尔的时间为11月20日19时． 故选B. 【举一反三2】一辆巡逻车从A地出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则B地在A地的       边（填“东”或“西”）． 【答案】西 【解析】， ∴B地在A地的西边， 故答案为：西． 【举一反三3】2023年国庆节，全国从9月29日到6日放假8天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中某著名景点，在9月29日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． (1)10月2日的人数为______万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是10月______日，达到______万人．游客人数最少的是10月______日，达到______万人． (3)请问此风景区在这八天内一共接待了多少游客？ (4)如果你也打算在下一个国庆节出游此景点，对出行的日期有何打算？ 【答案】解：（1）（万人）， 故答案为：； （2）9月30日，人数为：（万人）； 10月1日，人数为：（万人）； 10月2日，人数为：（万人）； 10月3日，人数为：（万人）； 10月4日，人数为：（万人）； 10月5日，人数为：（万人）； 10月6日，人数为：（万人）； ∴10月1日，人数最多为万人，10月6日，人数最少为万人， 故答案为：； （3）（万人） 此风景区在这八天内一共接待了26.13万游客； （4）由（2）可知，十一假期出游的人数从2日开始逐步减少， ∴最好在十一后几天出行． 【题型2】有理数的加法运算与数轴、绝对值的综合 【典型例题】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】在数轴上表示出，，如图， 由图可知：，且|a|＞|b|， ∴故①错误， ，故②错误， 故③正确， ，故④正确， 故⑤正确， 故⑥错误， ∴正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【举一反三1】若x是的相反数，y是一个正数，且，则的值为（    ） A.2 B.8 C.或2 D.8或 【答案】B 【解析】由题意得：， ∵y是一个正数， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三2】如图，在数轴上有A，B，C三点，点A，B对应的数分别为，3．若点C到点A的距离等于其到点B的距离，则点C对应的数为(   ) A. B. C.0 D.1 【答案】B 【解析】∵点C到点A的距离等于其到点B的距离， ∴点C为的中点， ∴点C表示的数为：． 故选：B． 【举一反三3】如图，数轴上的两个点分别表示和m，若这两个点之间的距离为5，则m的值为      ． 【答案】2 【解析】由数轴得，表示m的点在表示的点的右边， 所以， 故答案为：2． 【举一反三4】如图，数轴上的A，B两点表示的数分别为，．把一张透明的胶片放置在数轴所在的平面上，并在胶片上描出线段（点A，B分别对应点，）．左右平移该胶片，平移后的点表示的数为a，点表示的数为b． (1)计算：； (2)若胶片向右平移m个单位长度，求的值（用含m的式子表示）． 【答案】解：（1）， 故答案为：， （2）根据题意得：， 故答案为：． 【举一反三5】若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中O是原点，且． (1)用“＜”号把连接起来； (2)的值是多少？ (3)判断与的符号． 【答案】解：（1）由图可知：，， ∴； （2）∵两点在原点的两侧，且， ∴互为相反数， ∴； （3）∵，， ∴． 【题型3】有理数的加法运算律 【典型例题】应用了（    ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律与结合律 D.以上都不是 【答案】C 【解析】应用了加法交换律与结合律， 故选：C． 【举一反三1】计算，这个运算应用了（    ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律和结合律 D.以上均不对 【答案】C 【解析】观察已知算式可知，应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 【举一反三2】下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A．，则此项错误，不符合题意； B．，则此项正确，符合题意； C．，则此项错误，不符合题意； D．，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【举一反三3】在下面的计算过程后面填上运用的运算律． 计算：． 解：原式（        ） .（        ） 【答案】加法交换律；加法结合律 【解析】 （加法交换律） .（加法结合律） 故答案为：加法交换律，加法结合律． 【举一反三4】在括号内填入每步运算的依据． 解： （_________________） （_________________） .（_________________） 【答案】加法交换律；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加仍得这个数 【解析】 （加法交换律） （互为相反数的两个数相加得零） .（一个数与零相加仍得这个数） 故答案为：加法交换律；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加仍得这个数． 【举一反三5】计算： (1)； (2)． 【答案】解：（1）原式； （2）原式=． 【题型4】运用有理数的加法运算律进行简便计算 【典型例题】计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 故选：B. 【举一反三1】计算0.75＋＋0.125＋＋的结果是(　　) A.6 B.－6 C.5 D.－5 【答案】B 【解析】原式= = =－6． 故选：B． 【举一反三2】计算，所得的结果是(　　) A.－3 B.3 C.－5 D.5 【答案】C 【解析】原式， 故选：C. 【举一反三3】用简便方法计算：        ． 【答案】 【解析】原式 ， 故答案为：． 【举一反三4】计算：      ． 【答案】0 【解析】原式 ， 故答案为：0． 【举一反三5】计算：． 【答案】解：原式 ． 【举一反三6】计算：． 【答案】解：原式 . 【题型5】有理数的加法中的符号问题 【典型例题】已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A.两个加数必须都为正数 B.两个加数都为负数 C.两个加数中至少有一个正数 D.两个加数必须一正，一负 【答案】C 【解析】A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意； B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意； D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】使等式成立的有理数是（    ） A.任意一个整数 B.任意一个非负数 C.任意一个非正数 D.任意一个有理数 【答案】B 【解析】， 与同号或为， 是任意一个非负数． 故选：B． 【举一反三2】如图所示： （1）|a＋b|＝     ； （2）|a＋c|＝     ． 【答案】﹣a﹣b；﹣a﹣c 【解析】由数轴知：a＜0，b＞0，c＜0，|a|＞|b|， 所以a+b＜0，a+c＜0． （1）|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b； （2）|a+c|＝﹣（a+c）＝﹣a﹣c． 故答案为：（1）﹣a﹣b；（2）﹣a﹣c． 【举一反三3】已知：，，且，求的值． 【答案】解：，， ，， ， ，，或，， 或． 【题型6】运用有理数加法法则进行计算 【典型例题】计算的结果等于（    ） A.1 B. C.7 D. 【答案】D 【解析】， 故选：D． 【举一反三1】已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A. B. C. D.以上都不对 【答案】D 【解析】当时，，故A选项错误； 当时，，故B选项错误； 当，时，，此时，故C选项错误， 故选：D． 【举一反三2】两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（　　） A.同为正数 B.同为负数 C.一正数一负数 D.一个为0，一个为负数 【答案】B 【解析】∵两数相加，和小于任何一个加数， ∴这两个数同为负数． 故选：B． 【举一反三3】比大2的数是          ． 【答案】 【解析】依题意可得：， 故答案为：． 【举一反三4】计算：             ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 【举一反三5】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【举一反三6】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1有理数的加法 讲解目录 【知识点1】有理数的加法 1 【题型1】有理数加法的实际应用 2 【题型2】有理数的加法运算与数轴、绝对值的综合 3 【题型3】有理数的加法运算律 4 【题型4】运用有理数的加法运算律进行简便计算 5 【题型5】有理数的加法中的符号问题 5 【题型6】运用有理数加法法则进行计算 6 知识讲解 【知识点1】有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b=b+a；  结合律（a+b）+c=a+（b+c）． 1.（2024秋•枣阳市期末）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图（1）表示的是（+23）+（-54）=-31的计算过程，则图（2）表示的计算过程是（　　） A．（-22）+（+23）=1 B．（-22）+（+32）=10 C．（+22）+（-32）=-10 D．（+22）+（-23）=-1 2.（2025•花都区二模）（-1）+2=（　　） A．-3 B．-1 C．1 D．3 3.（2025•滨海新区二模）计算2+（-3）的结果等于（　　） A．-6 B．-1 C．1 D．6 题型专练 【题型1】有理数加法的实际应用 【典型例题】一天早晨的气温是-7 ℃，中午上升了10 ℃，中午的气温是（    ） A.-1 ℃ B.-3 ℃ C.1 ℃ D.3 ℃ 【举一反三1】甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为8:00时，东京时间为9:00，巴黎时间为1:00，那么东京与北京的时差为9-8=+1 h，巴黎与北京的时差为1-8=-7 h．已知卡塔尔与北京的时差为-5 h，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（　　） A.11月20日05时 B.11月20日19时 C.11月21日05时 D.11月21日19时 【举一反三2】一辆巡逻车从A地出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则B地在A地的       边（填“东”或“西”）． 【举一反三3】2023年国庆节，全国从9月29日到6日放假8天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中某著名景点，在9月29日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． (1)10月2日的人数为______万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是10月______日，达到______万人．游客人数最少的是10月______日，达到______万人． (3)请问此风景区在这八天内一共接待了多少游客？ (4)如果你也打算在下一个国庆节出游此景点，对出行的日期有何打算？ 【题型2】有理数的加法运算与数轴、绝对值的综合 【典型例题】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】若x是的相反数，y是一个正数，且，则的值为（    ） A.2 B.8 C.或2 D.8或 【举一反三2】如图，在数轴上有A，B，C三点，点A，B对应的数分别为，3．若点C到点A的距离等于其到点B的距离，则点C对应的数为(   ) A. B. C.0 D.1 【举一反三3】如图，数轴上的两个点分别表示和m，若这两个点之间的距离为5，则m的值为      ． 【举一反三4】如图，数轴上的A，B两点表示的数分别为，．把一张透明的胶片放置在数轴所在的平面上，并在胶片上描出线段（点A，B分别对应点，）．左右平移该胶片，平移后的点表示的数为a，点表示的数为b． (1)计算：； (2)若胶片向右平移m个单位长度，求的值（用含m的式子表示）． 【举一反三5】若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中O是原点，且． (1)用“＜”号把连接起来； (2)的值是多少？ (3)判断与的符号． 【题型3】有理数的加法运算律 【典型例题】应用了（    ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律与结合律 D.以上都不是 【举一反三1】计算，这个运算应用了（    ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律和结合律 D.以上均不对 【举一反三2】下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】在下面的计算过程后面填上运用的运算律． 计算：． 解：原式（        ） .（        ） 【举一反三4】在括号内填入每步运算的依据． 解： （_________________） （_________________） .（_________________） 【举一反三5】计算： (1)； (2)． 【题型4】运用有理数的加法运算律进行简便计算 【典型例题】计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】计算0.75＋＋0.125＋＋的结果是(　　) A.6 B.－6 C.5 D.－5 【举一反三2】计算，所得的结果是(　　) A.－3 B.3 C.－5 D.5 【举一反三3】用简便方法计算：        ． 【举一反三4】计算：      ． 【举一反三5】计算：． 【举一反三6】计算：． 【题型5】有理数的加法中的符号问题 【典型例题】已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A.两个加数必须都为正数 B.两个加数都为负数 C.两个加数中至少有一个正数 D.两个加数必须一正，一负 【举一反三1】使等式成立的有理数是（    ） A.任意一个整数 B.任意一个非负数 C.任意一个非正数 D.任意一个有理数 【举一反三2】如图所示： （1）|a＋b|＝     ； （2）|a＋c|＝     ． 【举一反三3】已知：，，且，求的值． 【题型6】运用有理数加法法则进行计算 【典型例题】计算的结果等于（    ） A.1 B. C.7 D. 【举一反三1】已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A. B. C. D.以上都不对 【举一反三2】两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（　　） A.同为正数 B.同为负数 C.一正数一负数 D.一个为0，一个为负数 【举一反三3】比大2的数是          ． 【举一反三4】计算：             ． 【举一反三5】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【举一反三6】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 学科网（北京）股份有限公司 $