函数性质的综合应用专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数性质的综合应用 一、单项选择题（每小题5分） 1.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x十1)=f(一x十1)，当0≤1时，f(x) =2-2x+3,则∫()等于( ) A.- B.子 c.- D. 2.若函数fx)的定义域为R,其图象关于点(2,2)对称，且f(x十1)是偶函数，则f(O) +f(1)+f(2)++f(2024)=() A.2023 B.-2023 C.4050 D.-4050 3.已知函数f)的定义域为R,且f(专x+1)是偶函数，fc-1)是奇函数，则( A.f(0)=0 B.f(3)=0C.f1)=0 D.f(3)=0 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意1,2∈R,当1<2时，都有f(x)一f (x2)<x1一x2,则关于x的不等式f(x2-1)+f(一2x-2)<x2-2x-3的解集为 A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-∞，-3)U(1,+∞)D.(-∞，-1)U(3,+∞) 5.已知定义在R上的函数fx)满足：fx)+f(2一x)=2,f(x)一f(4一x)=0,且f(0)=2.若 1EN,22r()=(） A.506 B.1012C.2025 D.4048 6.x∈R,f(x)+fx+3)=1-f(xf(x+3),f(一1)=0，则f(2024)的值为() A.2 B.1C.0D.-1 10gx,0<x≤2， 7.已知函数f)=气2x-3,x>2,若fa+1)一f2a-120,则实数a的取值范围是 () A.(-∞，2] B.[2,+∞) C.[2,6] D.（,2] 【-x2-2ax-a,8<0, 8.已知函数f()=气ex+1n(x十1)，x≥0在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A.(-∞，0] B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞) 二、多项选择题（每小题6分） 9.已知函数f(x)的定义域为R,f(x十1)为奇函数，f(x十2)为偶函数，且对任意的x1, 6∈1,2.，都有20.则(） A.f(x)是奇函数B.f(2025)=0 C.f)的图象关于(1,0)对称D.f(m)Pf(e) 10.己知定义在R上的函数f()满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数，则下 1/5 列说法一定正确的是() A.函数f(x)的周期为2 B.函数f()的图象关于点(1,0)对称 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f()的图象关于直线x=3对称 11.已知定义域为R的函数f(x)满足：x,y∈R,f(x+y)+f(x一y)=f(xf6y),且f(1) =1,则下列结论正确的是() A.f(0)=2 B.f(x)为偶函数 C.f()为奇函数 D.f(2)=-1 三、填空题（每小题5分） 12.定义在R上的函数f(x)满足f(2十x)=f(2一x),且f(x)在（一∞，2]上单调递减，则 不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为 1.设f是定义在R上的函藏，且/+2)产得，=3，则/YQ023)= 14若定义在R上的偶函数f)满足f(-1)=f)+f十1)=2，则f(专)= f(2023)+f(2024)+f(2025)= 四，解答题 a,azb, 15.(13分)已知a,b∈R,记maxa,b}={b,a<b,函数f(=maxc+1,k-2 |}x∈R). (I)写出fx)的解析式，并求出f(x)的最小值； (2)若函数gx)=x2-付(x)在(-∞，一1]上具有单调性，求实数k的取值范围. 16.(15分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)=fx)+fy)+1,且当x>0时，f(x) >-1. (I)求f(O)的值，并证明f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 3 17.(15分)已知函数f)=年· (山)求证：函数f)的图象关于点（专，吉）对称： (2)求S=f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+…+f(2022)+f(2023)的值. 18,(17分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x十2)=一f(x).当 2/5 x∈[0,2]时，f(x)=2x一x2. (1fx)的最小正周期： (2)当x∈[2,4]时，求f(x): (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)。 19.(17分)我们知道函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x) 为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称图形的 充要条件是函数y=f(x十a)为偶函数. (1)已知函数(x)=x2-2x十a(e-1十e-+1),求该函数图象的对称轴方程； (2)若函数g)的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，gw)=x2-是. ①求gx)的解析式： ②求不等式gx)>g(3x-1)的解集， 参考答案 3/5 1.C2.C3.D4.B5.C6.B7.D8.B9.BC10.BC11.BD 12.[-1,0] 13.号14.14 15解：(1)因为x+12-|x-22=6x-3, 当x2时，|x+12-|x-22=6x-3≥0， 则f(x)=max{x+1,|x-2}=|x+1=x+1; 当x<专时，|x+12-|x-22=6x-3<0, 则f(x)=max{|x+1l,|x-2l}=|x-2l=2-x. 2-x,x<寺， 所以f(闭=气x+1,x之，故函数￡（田在(-0，）上单调造减，在[克，+∞)上 单调递增， 所以函数F()的最小值为f(告)=专十1=： (2)当x≤一1时，f(x)=2-x,则g(x)=x2-kf(x)=2+kx一2k,因为函数g(x)在 (一∞，一1]上具有单调性，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在（一∞， 一1]上只能单调递减，所以-多≥-1，解得k≤2，因此，实数k的取值范围是(-∞，2]. 16.解：(1)令x=y=0,得f(0)=-1. 在R上任取X1,2且X1>X2,则X一X2>0, 所以f(x1-x2)>-1. 又f(x)=f(x1-x2)+x)=f(x1-x)+f(x)+1>f(x),所以函数f(x)在R上 是增函数. (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4得f(x2+x+1)>f(3), 因为函数f(x在R上是增函数， 所以x2+x+1>3, 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{xx<一2或x)1}. 1区架0证明：因为1(=希所以f1-力=品器=斋， 所以￡()+f(1-)=1,即函数f()的图象关于点（告，吉）对称. (2)由(1)知f(x)+f(1-x)=1, 因为S=f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+f(1)++f(2022)+f(2023), 则S=f(2023)+f(2022)+…+f(1)+f(0)+…+f(-2021)+f(-2022), 所以2S=4046,即S=2023. 18,解：(1)f(x+2)=-f(x,.f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 4/5 ∴.f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)的最小正周期是4. (2)当x∈[-2,0]时，-x∈[0,2]，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x是奇函数，.f(-x)=一f(x)=-2x-x2 ∴.f(x)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， ∴.f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数，∴.f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x一4)=x2-6x十8. 即当x∈[2,4]时，f(x=x2-6x+8. (3).f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1, 且f(x)是周期为4的周期函数， ∴.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2020)+f (2021)+f(2022)+f(2023)=0. ∴.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=f(0)+f(1)=1 19.解：(1)因为(x)=(x-1)2-1+a[ex1+e-(x1)], 所以φ(1+x)=x2-1+a(ex+e-), 令h(x)=中(x十1)，则该函数的定义域为R, h(-x)=(-x)2-1+a(e-x+e=x2-1+a(e-x+e=h(x), 所以，函数h(x)=中(x十1)为偶函数， 因此，函数中(x)=x2-2x十a(ex1+e-+1)图象的对称轴方程为x=1. (2)①因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，g(x)=x2-是， 当K1时，2-x1,则g()=g(2-x)=(2-x)2-2=(x-2)2+2, x2-贵，x≥1， 所以，8)=气(x-2)2+点，x<1. ②当x之1时，g(x)=x2-袁，因为函数y=x2,y=-是在[1，+∞)上单调递增， 所以，函数g(x)=x2-是在[1，十∞)上单调递增， 因为g(x)>g(3x-1),则|x-1>13x-2|, 不等式两边平方可得(3x-2)2<(x-1)2,即(2x-1)(4x-3)<0,解得<x<, 因此，不等式g()>g(3x-1)的解集为{<x<是} 5/5