重难点专题3-1椭圆、双曲线的离心率（高效培优专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 重难点专题3-1椭圆、双曲线的离心率 题型归纳 题型一：离心率基础计算 题型二：弦中点问题（点差法） 题型三：双曲线渐近线与离心率 题型四：焦点三角形与离心率 题型五：弦与离心率 题型六：离心率最值、范围 题型专练 题型一：离心率基础计算 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系a,b,c)=0,再化归为关于e的方程求解. 2.定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率©： (1)e题=后=、1-（）， (2e双线=台=√1+（）启2=V1+=V1+-tana k为新近线的领斜角与斜率) 1-1.(2025北京高考真题)双曲线x2-4y2=4的离心率为) A. B.V5 c D.5 2 2 大2 22024浙江台州德随圆起父+片1与椭圆，。子下产0<<纱的) 94 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 13425商-下云南玉误期末闲已知骑题C若+茶-16>b0)的离心率为行短维长为2，测a() A. 32 8.② C.1 D.v2 4 2 4 高下河南商丘期末)已知椭圆℃：，+八三1的左、右焦点分别为乃，，P是椭圆C 9 P+P=10,则椭圆C的离心率为) 3 C.3 D. 16 4 25 第1页共18页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(2025江西模拟预测)已知椭圆的方程为士+上=1m>n>0),且离心率与双曲线兰-二=1的离心率互为倒 m n 412 数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为() A.+-1 B.+=1 c.2 ←y2=1 D.3x2+4y2=1 43 164 231 16,(2025江西古安校拟预测尼知双曲线若-1a心06~0)的实轴长等于8，等腰梯形8CG的四个候 点均在双曲线上，边B,B,C,C都与x轴平行，其中B,B在x轴下方，且B,B=2W17,CC=10；又等腰梯形的 高等于3，则双曲线的离心率=() 5 A.4 4 B.3 c.3 D.5 1-7.2025高二全国专题练习已知R,月分别为椭圆c三+若-(a>6>0的左、右焦点，在椭圆C上存在 点P,满足P=耳，且点到直线P耳的距离为2b,则该椭圆的离心率为() A司 3 1 c.7 5 1-82025高三全国，专题练习)尼知a>b>0,设椭圆C:+长-1与双曲线C:号若-1的离心率分别为%， e2.若e2=3%,则-() A.V5 8.25 c.35 D.4V5 5 5 5 5 1-9.(24-25高二下·重庆巴南·期中)如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作 平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若S0=2√3，OB=2,则该双曲线的离心率为() A. 23 B.5 c.26 D.√6 3 3 0 第2页共18页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 仁Q2o25安做他州二衡已知双线C香茶-1a>0~0的左，右张女分别为界，片·M足C的东有支 一点，M在y轴上的射影为H,O为坐标原点若H=3NF2,F2五·MN=0,ON/F1M,则C的离心率为(） A.√2 B.5 c.5 D. V6 2 2 1-1.(多选2526高三上重庆阶段练习)已知双曲线c:+上-1，则() 6 m A.<0 B.双曲线C的实轴长为26 C.双曲线C的渐近线方程为y=±√一6x 6 D.当双曲线C的离心率等于其虚轴长时，m=- 23 1-12.(多选2025河北邢台一模)已知双曲线C:- 云=1(a>0)的左、右焦点分别为B,乃，若 |耳F=2e(e为C的离心率)，则() A.a=1 B.C的虚轴长为2W3C.e=√5 D.C的一条渐近线的斜率为V5 3 B.2425高三下产西稻州阶段练习已知O为坐标原点，椭圆C:二+1（α>6>0）的右顶点为A, OA为直径的圆与椭圆C的三个公共点分别为A,M,N,若以O,M,A,N为顶点的四边形是正方形， 则椭圆C的离心率为一 题型二：弦中点问题（点差法） 1直线和能圆号+若=1交点4A(5,),B(G,y),AB中点为M0o则：koMk-号=e2-1: 2直线和双曲线-三=1交点46，)，B,）,AB中点为M6o则：komk=兰=e2-1 2-1.24-25高三上湖北孝感阶段练习)过点M(2,)作斜率为-3的直线与椭圆C:+=1相交于4B两点， 若M为线段AB的中点，则C的离心率为() A.3 B.3 D.② 3 C. 2 22B425为=上质人E为类已知直线2--1-0与双曲收C号若=a>0b>0相交于A、s两 个不同点，点D(2,1)是AB的中点，则双曲线C的离心率为() B.2 2W3 A.2 D. 3 3 第3页共18页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2-3.2024:吉林白山.一模不5坐标轴垂直的直线过点N飞，0，≠0，椭圈C。+术=1(a>b>0)上存 在两点A,B关于I对称，线段AB的中点M的坐标为(x,乃).若x=2x。,则C的离心率为() 3 B.2 C.2 D. 3 3 2 2 242425商二下剂北论州卧假维习列2知圆C若-后Ka>60的上在点为P@00~0,名顶点为 B,斜率为4W5的直线1交椭圆C于P,Q两点，若F恰好为△BPQ的重心，则椭圆C的离心率为) 9 5或 A. 2 B.V② c.3 4 2 0. 252324商二上重庆期末利直线1-2+5=0经过椭园等+芳-1a>6>0的左供点#，日与郝圆交于 A,B两点，若M为线段AB中点，MF=OM,则椭圆的离心率为) A.② c.3 D.5-1 2 2 2 262324商二上辽宁大连期末利圆C+茶-10<b),N 33 4 一条弦，且PD=20亚，直线的斜率与P9的斜率乘积为-5，则椭圆C的离心率为) A.10 B. V5 c.25 D. √2 5 2 272425商一上湖试汉价段练习别已知质C--网广=m0m>0在精测E若+若=1a>60的 内部，直线：y=+2交E于A、B两点，并与圆C相切于D点，若D为线段AB的中点，则椭圆E的离 心率为() B. 8 c.6 D.10 4 4 2-8.(24-25高=上浙江杭州期末)已知斜率为y5的直线过双曲线C:x-卫=10m>0)的左焦点R,且与C 3 的左，右两支分别交于A,B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角 形，则双曲线的离心率() 第4页共18页 丽学科网·上好课 www.Z x xk c o m 上好每一堂课 A.2 B.2 C.3 D.5 29.24,25高二上江苏扬州期中)已知斜率为的直线过双曲线C:-上-1m>0的左焦点P,且与C 5 的左，右两支分别交于A,B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角 形，则双曲线的离心率为() A.2 B.√2 C.3 D.5 210.多选2425商=下江苏有京期利已知双曲线C于茶-1a>0b>的左、右焦点分别为、及， 过F作斜率为-√5的直线与双曲线的右支交于A、B两点(A在第一象限)，AB=B,P为线段AB的中点， O为坐标原点，则下列说法正确的是() A.4F =2AF, B.双曲线C的离心率为2 C.直线0P的斜率为- D.△AFF的面积为2√15a2 5 2-1.(多选2425高二上，山东淄博期中已知椭圆C:二+二-1的焦点分别为(0，-2，R(0,2),设直线1与 2m2 11 椭圆C交于M、N两点，且点P列 2’2 为线段N的中点，则下列说法正确的是() A.椭圆C的离心率为B B.椭圆上存在点Q使得∠FQE=90 C.直线1的方程为3x+y-2=0 D.△N的周长为4v6 2-12.(多选)2425高二上江苏连云港期未)已知椭圆C:父+ 2+m =1的焦点分别为E(0,-2)、E(0,2),设直线 I与椭圆C交于M、N两点，且点P 11 22 为线段N的中点，则下列说法正确的是() A.椭圆C的离心率为V B.椭圆上不存在点Q使得∠FQr=90 3 C.直线1的方程为3x+y-2=0 D.△FN的周长为4W 2132425商二上福建前田期中尼知双曲线若芳-1(a>Q6~0)被斜车为1的直线藏得的法的中点为 (4,2),则该双曲线的离心率为 2产1(2025四川成都模拟候已如斜率为-3的直线与双自线号若-1口06,0)的有支交于九8两点 第5页共18页 丽学科网·上好课 www Zxx k co m 上好每一堂课 (点A在第一象限，点B在第四象限)，点A关于坐标原点O对称的点为C且∠ABC=45°，则该双曲线的离心 率为 2-15,23,24商二下上海阶段练习尼知椭圆号片-1a>b0的左焦点为F,过点F作顿斜角为6心的 直线与椭圆E交于A,B两点，M为线段AB的中点，若4FM=O(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率 为一 2-16.(23-24高二上·福建龙岩期中)已知双曲线B:-二 云-1a>06>0),斜率为号的直线与万的E、右两 支分别交于A,B两点，点P的坐标为(-2,3)，直线AP交E于另一点C,直线BP交E于另一点D.若直线CD 的斜率为-三，则E的离心率为 3 题型三：双曲线渐近线与离心率 (1)焦点到渐近线的距离为b 2一直线交双曲线导-兰=1的近线于AB两点。AB的中点为M,则Kowka-号=e2-1 (过双曲线号三=1上任意一点P做切线，分别交丙新近线于MN两点，则有如下结论： ①0M-ON=a2+b2;②0N.OM=a2+b2;③SAOMN=ab. 3-1.2526商三上广东深圳开学考试若双由线C号-y=l1(口>0)的清近线方程是y=疗则C的离心率 a" 为) A.3 B.5 C.5 D.5 2 2 3之.24-25高下潮南期中已知直线Vt是双曲线C为卫a>0.6>0的一条近线，则C的洛心 率为) A.3 B. V5 C.2 D.√5 2 ③3.25.26高=上欧西成阳阶段练若双曲线C,片1@>0，b>0)的离心率为V6,则C的渐近线方程 第6页共18页 丽学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 为) A.√2x±y=0 B.x±V2y=0 C.V3x±y=0 D.x±√3y=0 3,2526高三上贵州费阳开学考询已知双曲线B:等茶1(a>0,b>0)的焦点到其新近线的距离为 2a,则E的离心率是() A.5 8.6 C.5 2 D.√5 2 36425高二下河北居山期未利若双面线号茶-1a0,0s0)的一条新近线的倾斜角为.且sm0-专 则它的离心率为) A月 25 B.16 c. D. 25 9 425高一下-河北邯郸期末)已知双曲线二-太=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角的正切值为3，贝 双曲线的离心率为() A.5 B.2 C.5 D.3 2 3-(亿4-25高二下安徽毫州期末)已知双曲线C怎广=1a>0,b>0)的右焦点为F,以0O为坐标原点一 为直径的圆与一条渐近线交于点M,直线MF与另一条渐近线交于点N,且FN=2MF,则C的离心率为) A.35 B.3 C.2 D.2W5 3 3-8.(25-26高三上·河南·开学考试)已知直线y=4V5x与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C 的离心率为) A.73 B.1+V5 C.5 12 D.√i 2 38(25-26高三上交徽合肥开学考试)若双曲线C1Q>0,b>0)的离心率为3，则℃的渐近线方程 为) A.V2x±y=0 B.x±√2y=0 C.V3x±y=0 D.x±V3y=0 第7页共18页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 318,2526商三上四川成都开学考试动已知P心k.0是双曲线Cc:手二=1a≥0，b>01的右张点，过点P 向C的一条渐近线引垂线，垂足为A,交另一条渐近线于点B,若2AF=FB,则下列结论不正确的是() Ao8=2l04B.∠A0=∠A0BC.离心率e=5D.若S=2V5,则c-45 3 3-1.2025浙江温州三模已知双曲线若。-1a>0,60)的左、右焦点分别是A、3,P在第二象限且 在双曲线的渐近线上，P=耳，线段PF,的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为() A.4 B.V3+1 C.√5 D.2 3122025重庆三模已知双曲线℃。@06>0，倾斜角为的直线I与C的新近线交于4B两点色 在第一象限，B在第四象限)，线段AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM与C的一个交点为N(-√3，-2).则 双曲线C的离心率为) A.√5 B.√5 C.2√2 D.3 312o25新赛喀什二肉已知△1因的项点R,5分别为双线C若茶=1收>0b>0)的左、右焦点。 点A在C的右支上，且4识与C的一条渐近线垂直，记C的离心率为e,若m∠RAR=5 ,则e-) A.4+2V5 B.3+2W2 C.14-62 D.13-65 314,(侈选2025河北模拟预测已知圆8=6-2+y=4，双曲线C若茶-1e>06>0)的焦距为4，C的 条渐近线与圆E交于O,A两点，另一条渐近线与圆E交于O,B两点，若OA+OB=4,则() A.C的渐近线方程为y=±5、 B.C的离心率为2 3 C.C的方程为x-上=1 D.直线AB经过C的右顶点 3 3=5(多选24-25高=下黑龙江齐齐哈尔期末已知双曲线C广1(Q>0,b>0的左右焦点分别是。 ,左，右顶点分别为A,A,以E为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点(M为第一象限的交点)， O为坐标原点，则() A.AM//AN B.MA,⊥AA C.∠MOA=60°，C的离心率为√5 D.四边形M,N的面积为2bc 第8页共18页 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 =1(a>0,b>0) 3-16.(多选23-24高三上江西期末已知0为坐标原点，R，￡分别为双曲线C:￥一少 的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设∠FM=B,过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P,Q, 则下列说法正确的是() A.FM的最小值为C-a B.MPMg为定值 C.若当日=亚时△OM恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为2√3-2 2 D.当日=亚时若直线M与圆x2+=a:相切，则双曲线C的离心率为21+6W3 3 题型四：焦点三角形与离心率 (P为椭圆形+若=1(Q>b>0)上异于长轴端点的任一点，P,P2=&2P,=B,则e== a sina+sinβ (QP为双曲线-三-1a>0,b>0)上异于实辅嘴点的任一点，<PF,P2=&∠PrR,=B.则e= 41.2425商二下湖南永州期利已知桶圆日。+芳=1a心6>0的左、右焦点分别为”、马，点>为6圆 E上位于第一象限内的一点，若P=3PF,|OP=O(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为() A.V5 B.v6 C.2 D.10 4 4 2 4 22025陕西汉中·模拟预测已知椭圆c+y=1(α>的左，右焦点分别为风，乃，过点的直线1C 于A,B两点，若△ABF的周长为12，则C的离心率为) A号 D.22 3 C.3 3 325-26高上福建开学考试肥知8，飞分别为双曲线C卡广1a0，b>0的左、石焦点，A 为双曲线C上的一点，且A耳⊥F,A=3,R=3W3,则双曲线C的离心率为) A.25 B.5 c D.1 4-4.(24-25高二下贵州黔南期末已知椭圆E:X+片=1(a>b>0)的上顶点为A,乃，乃分别为椭圆E的 左、右焦点，若△AR,的面积为，且椭圆E的离心率为；，则椭圆E的标准方程为) A. x2y=1 B.+=1 c.+=1 D. x+y=1 34 86 43 68 第9页共18页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 452425商=下云病期未利已知稀题C器+苦-Q2列的太右焦点分别是瓦，乓.O是华标原点，A是 C上第一象限的点若AF=6,∠FAE的角平分线上一点P满足PA.P厘=0，且OP=2,则C的离心率为() A.4 1 B.2 c.3 D.5 2 3 4-25高下云南昆期尼知双曲线C。a>06>0的左，石焦点分别为A,人，点2是C 上一点，且P丽P丽=0，若∠PRR=石，则C的离心率为() A.√2-1 B.√2+1 c.V3-1 D.V3+1 5.26高三上山西大丽开学考试已知椭圆C。+片1Q>6>0的左、石焦点分别为，R,点 上一点，∠FPE的平分线交x轴于点A,若P=3A,则C的离心率为) A c 48,2025高二全国专题练习如图，已知椭圆C于+1a>6>0)的左、右焦点分别为，乃P是桶 圆上的点，△PF的内切圆的圆心为I,延长PI,交x轴于点B,若 以=2，则椭圆的离心率等于(） B 1 A B.2 c. 0. .25·26高上河南新多开学考试已知椭圆C。+1Q>6>0)的左，右焦点分别为，乃，点P为 上一点，设△PFE的内切圆为OB,连接PB并延长交x轴于点A,若PA=4BA,则C的离心率为) A.3 B. 2 0.4 3 C.3 410-2425高下浙江期末已知椭圆℃+卡Q>0b>0的左、有焦点分别为，，点P为椭圆一 第10页共18页 重难点专题3-1 椭圆、双曲线的离心率 题型一：离心率基础计算 题型二：弦中点问题(点差法) 题型三：双曲线渐近线与离心率 题型四：焦点三角形与离心率 题型五：弦与离心率 题型六：离心率最值、范围 题型一：离心率基础计算 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 2.定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； (1)； (2)＝＝ (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 1-1.(2025·北京·高考真题)双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以，故选：B． 1-2.(2024·浙江台州·一模)椭圆与椭圆的(    ) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.故选：D 1-3.(24-25高二下·云南玉溪·期末)已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则(   ) A． B． C．1 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以.故选：A. 1-4.(24-25高二下·河南商丘·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征、利用椭圆定义求方程【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，进而求离心率. 【详解】由题设，且，则，所以.故选：B 1-5.(2025·江西·模拟预测)已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可得双曲线离心率为，则椭圆离心率，进而得到，然后逐一判断即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为， 椭圆的方程为，则该椭圆的长、短半轴长分别为， 离心率，解得， 对于A，，符合；对于B，，不符合； 对于C，，符合；对于D，，符合.故选：B. 1-6.(2025·江西吉安·模拟预测)已知双曲线的实轴长等于8，等腰梯形的四个顶点均在双曲线上，边都与轴平行，其中在轴下方，且；又等腰梯形的高等于3，则双曲线的离心率=(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据等腰梯形的性质，设出坐标，代入双曲线中，求出双曲线参数，求得离心率. 【详解】如图，，等腰梯形的高等于3， 设，则，实轴长等于8，则双曲线， 代入可得，可得，代入得， 化简得，解得或，因为，所以，代入得， 双曲线中，则离心率为.故选：A. 1-7.(2025高二·全国·专题练习)已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由等腰三角形性质把用表示后，利用椭圆的定义得出的关系式，整理后可求得离心率. 【详解】由题意，在等腰中，，底边上的高为，所以． 又由椭圆的定义可知，，因此， 可得，即，所以或(舍去)，故选：C． 1-8.(2025高三·全国·专题练习)已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据，得，化简即可得解. 【详解】由题意可知，，又，所以， 即，所以．故选：B. 1-9.(24-25高二下·重庆巴南·期中)如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设曲线与圆锥的底面圆交于点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设曲线与圆锥的底面圆交于点，,则,为等边三角形， 设为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴， 建立如图平面直角坐标系，设双曲线方程为， 得到,又,所以,则 则，故，从而求出离心率.故选：A. 1-10.(2025·安徽池州·二模)已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，，，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设与交于点，根据条件可得，，求出点的坐标，由关系求出点的坐标，利用得到关系，运算得解. 【详解】如图，设与交于点，由，且是的中点，所以， 又，所以，又，易得，， 则，代入双曲线方程可得，设点，则，， 又设，由可得，即，由，得， 即，化简整理得，，解得或， 又，，解得.故选：D. 1-11.(多选)(25-26高三上·重庆·阶段练习)已知双曲线，则(    ) A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、根据离心率求双曲线的标准方程、根据方程表示双曲线求参数的范围【分析】根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案. 【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确； 选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误； 选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确.故选：ABD. 1-12.(多选)(2025·河北邢台·一模)已知双曲线的左、右焦点分别为，，若(为的离心率)，则(    ) A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 【答案】AB【难度】0.85【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线方程可求焦点，的坐标，结合离心率定义求离心率，根据求，再求虚轴长，由此判断ABC，再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的斜率判断D. 【详解】由，知，，， 由，得，即，，所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误； 由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误．故选：AB． 1-13.(24-25高二下·广西梧州·阶段练习)已知为坐标原点，椭圆：()的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆，圆和正方形的几何性质，设出点的坐标，带入求出椭圆参数的关系，求出离心率. 【详解】以为直径的圆，和椭圆关于轴对称，则交点在中垂线上，不妨设点在第一象限， 则，代入椭圆：，得，即，解得. 故答案为：. 题型二：弦中点问题(点差法) 1.直线和椭圆交点，，AB中点为,则：. 2.直线和双曲线交点，，AB中点为,则：. 2-1.(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设，因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：，整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则，所以.故选：B. 2-2.(24-25高二上·山西太原·期末)已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得，所以，， 因此，双曲线的离心率为.故选：D. 2-3.(2024·吉林白山·一模)不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果. 【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，所以， 因为关于对称，所以，所以， 由线段的中点的坐标为，得出．所以， 又，∴，即， 又，∴，所以所求离心率为.故选：C． 2-4.(24-25高三下·河北沧州·阶段练习)已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为(   ) A．或 B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得. 将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心，所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以.故选：D. 2-5.(23-24高二上·重庆·期末)直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得，所以椭圆的离心率.故选：C 2-6.(23-24高二上·辽宁大连·期末)椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解. 【详解】如图，取线段的中点为，连接，    因为，所以为中点，又为中点，所以， 直线的斜率与的斜率乘积为，所以． 设，则，两式相减可得， 整理得，即，所以，所以，则．故选：B． 2-7.(24-25高二上·湖北武汉·阶段练习)已知圆在椭圆的内部，直线交于A、B两点，并与圆相切于点，若为线段AB的中点，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、二倍角的正切公式、由直线与圆的位置关系求参数、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】由题意利用点差法可得等量关系，利用圆的切线、锐角正切函数的定义以及直线关系，可得斜率，代入等量关系，结合离心率的公式，可得答案. 【详解】由题意，记直线交轴于点，连接，如下图：设，，， 则，. 又，所以，所以，即. 由图易知与圆分别相切于，则， 由，则，即， 由直线与圆，则， 在中，则， 由，则，可得， 所以直线CD的斜率， 因为，所以直线AB的斜率，即. 又直线OD的斜率为，所以，所以， 所以椭圆的离心率.故选：D. 2-8.(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由此求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，得，设， 由均在上，为的中点，得， 则，由分别在的左右两支，得， 直线的斜率分别为，， 设直线的倾斜角为，由，得， 由是以为底边的等腰三角形，得， 直线的倾斜角为，其斜率， 所以椭圆的离心率为.故选：B 2-9.(24-25高二上·江苏扬州·期中)已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、二倍角的正切公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设,由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则.， 由代入得，.所以椭圆的离心率为.故选：A. 2-10.(多选)(24-25高二下·江苏南京·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点(在第一象限)，为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是(   ) A． B．双曲线的离心率为2 C．直线的斜率为 D．的面积为 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断D选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由双曲线的定义可得，所以，，所以选项A正确； 对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为钝角且， 由可得，则， 在中，由余弦定理得，即， 等式两边同时除以可得，因为，解得，所以选项B正确； 对于D选项，因为，则为锐角， 所以， ，所以选项D错误； 对于C选项，设，，则，可得， 因为，则， 由，得，所以， 则，则直线的斜率为，所以选项C正确；故选：ABC． 2-11.(多选)(24-25高二上·山东淄博·期中)已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是(   ) A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆上点的坐标、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】求出椭圆方程，并求离心率，将以为直径的圆的方程与椭圆的方程联立，求出交点个数，即可判断选项B，利用点差法求出直线l得方程，即可判断C，观察直线l过椭圆的焦点，即可判断D. 【详解】对于选项A：由已知条件可得，即得， 所以离心率为：，故选项A错误. 对于选项B：由椭圆方程可知，， 以为直径的圆的圆心为，半径为2，圆的方程为， 联立可得，所以，圆与椭圆的交点个数为4个， 故椭圆上存在点使得，故选项B正确. 对于选项C：设，则,两式相减得， 由直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点， 可知又所以直线l的斜率为， 所以直线方程为整理得：，故选项C正确. 对于选项D：直线过椭圆的焦点，的周长为，故选项D正确.故选：BCD 2-12.(多选)(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是(    ) A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由弦中点求弦方程或斜率、椭圆中向量点乘问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】求出的值，利用椭圆的离心率公式可判断A选项；设点，由题意得出，求出的值，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】椭圆的焦点分别为、，则，， ，可得，故， 对于A选项，椭圆的离心率为，A对； 对于B选项，假设在椭圆上存在点，使得，且， ，，所以，， 解得，合乎题意，所以，椭圆上存在点使得，B错； 对于C选项，设点、，由题意可得，若直线的斜率不存在， 则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 则，上述两个等式作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即，C对； 对于D选项，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以，的周长为，D对.故选：ACD. 2-13.(24-25高二上·福建莆田·期中)已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数【分析】设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率. 【详解】设，则，， 将两点坐标代入双曲线方程得：，， 将上述两式相减可得： ，即， 可得，所以，即.故答案为：. 2-14.(2025·四川成都·模拟预测)已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点(点在第一象限，点在第四象限)，点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据题意作图，取的中点，连接，得到，，利用两角和的正切公式求得直线的斜率，再利用点差法求得，根据离心率的公式计算即可. 【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，因为，所以， 由直线的斜率，得， 则直线的斜率， 设，则，两式相减得，化简得 即，则.故答案为：. 2-15.(23-24高二下·上海·阶段练习)已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点)，则椭圆的离心率为 . 【答案】/【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】结合题意求出点的坐标，从而得，再结合点差法建立的关系式，从而得解. 【详解】因为，，过作轴交于， 则，，所以的横坐标为，即的横坐标为，且， 即，设，，，，则的中点，， 即，，所以，又，所以， 将，的坐标代入椭圆的方程可得，作差整理可得，即， 所以则.故答案为：. 2-16.(23-24高二上·福建龙岩·期中)已知双曲线，斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数 【分析】点差法分别确定线段、中点，的坐标，再根据点、、三点共线，可得离心率. 【详解】设，，线段的中点， 则，两式相减得，所以， 设，，线段的中点，同理得， 因为，所以，则，，三点共线， 所以，即，即，， 因为，所以，即，所以，故答案为：. 题型三：双曲线渐近线与离心率 (1)焦点到渐近线的距离为b (2)一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则. (3)过双曲线上任意一点P做切线，分别交两渐近线于M,N两点，则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；②；③. 3-1.(25-26高三上·广东深圳·开学考试)若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】因为双曲线的渐近线方程是， 可得，解得，则，所以双曲线的离心率为.故选：C. 3-2.(24-25高二下·湖南·期中)已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先由双曲线渐近线的定义结合题设条件得，再由离心率公式直接计算即可得解. 【详解】因为直线是双曲线的渐近线， 所以，所以.故选：B. 3-3.(25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习)若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】利用双曲线的，结合离心率可求渐近线方程. 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为，故选：A． 3-4.(25-26高三上·贵州贵阳·开学考试)已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由双曲线的定义直接可得离心率的值. 【详解】由双曲线的方程，得渐近线方程， 设焦点，其中，由题意得，所以，，.故选：D. 3-5.(24-25高二下·河北唐山·期末)若双曲线的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则它的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、根据双曲线的渐近线求标准方程、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据同角三角函数关系，由正弦值求出正切值，根据双曲线的渐近线方程，求出参数关系式，进而求出离心率. 【详解】不妨设为锐角，由，可知，则， 渐近线方程为，即，可得，离心率.故选：C. 3-6.(24-25高二下·河北邯郸·期末)已知双曲线()的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为(    ) A． B．2 C． D．3 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线渐近线方程求出两条渐近线的斜率，再利用夹角正切公式得出的值，最后根据双曲线离心率公式求解离心率. 【详解】已知双曲线()，其渐近线方差为， 因为，所以，所以，计算可得或(舍去)， 双曲线得离心率所以.故选：C. 3-7.(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知双曲线的右焦点为，以OF(为坐标原点)为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，根据求出，，再在中求出，利用算两次的思想即可求出关于的等式，进而求出离心率. 【详解】由题意可知，，， 设，，则由渐近线的对称性可知，， 因，则，， 因，则，，， 则在中，则，化简得， 则离心率.故选：A 3-8.(25-26高三上·河南·开学考试)已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为：，得，由进行求解． 【详解】由两直线垂直可得双曲线C的一条渐近线的斜率， 设焦点在x轴上的双曲线C的方程为， 则它的渐近线方程为，结合题意得到， 故C的离心率．故选：A 3-9.(25-26高三上·安徽合肥·开学考试)若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据给定的离心率求出，进而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 因为，所以. 而双曲线的渐近线方程为，所以的渐近线方程为，即.故选：B. 3-10.(25-26高三上·四川成都·开学考试)已知是双曲线C：(，)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论不正确的是(    ) A． B． C．离心率 D．若，则 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据点到两条渐近线的距离相等，结合对称性及面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而可判断C；解三角形可得， 所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】如图，∵，∴，， ∵点到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C错误； 由C知，，所以，，， ∴，∴，，，故D正确，故选：C. 3-11.(2025·浙江温州·三模)已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示：因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故，所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，，故， 在中，，，， 由余弦定理可得，解得．故选：A. 3-12.(2025·重庆·三模)已知双曲线，倾斜角为的直线与的渐近线交于两点在第一象限，在第四象限)，线段的中点为为坐标原点，直线与的一个交点为．则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D．3 【答案】B【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先表示出渐近线方程，依题意设，，即可表示点坐标，从而得到，，再两式相乘得到，最后由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意设，，则， 所以，，两式相乘得， 所以双曲线的离心率.故选：B 3-13.(2025·新疆喀什·二模)已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】正弦定理解三角形、双曲线定义的理解、用和、差角的正弦公式化简、求值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据双曲线渐近线性质以及垂直关系可得斜率关系， 设，可得，所以；在中利用正弦定理以及三角恒等变换可得，，再结合双曲线定义以及离心率表达式化简即可得出. 【详解】如下图所示：可知， 双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线， 因为与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 设，可得，所以；由可得， 在中利用正弦定理可得，可得， ； 再利用双曲线定义可得；整理可得， 因此可得.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用渐近线斜率以及垂直关系得出，再由中的正弦定理得出其边长，利用双曲线定义可得，即可求得. 3-14.(多选)(2025·河北·模拟预测)已知圆，双曲线的焦距为4，的一条渐近线与圆交于两点，另一条渐近线与圆交于两点，若，则(    ) A．的渐近线方程为 B．的离心率为2 C．C的方程为 D．直线经过的右顶点 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求直线与圆交点的坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】A选项，根据对称性可得，结合圆的半径，得到为等边三角形，故的渐近线的倾斜角，因此的渐近线方程为，A错误；B选项，利用求出离心率；C选项，根据焦距和离心率求出，求出，得到双曲线方程；D选项，求出坐标，得到直线的方程为，所以直线经过的右顶点. 【详解】A选项，由双曲线的性质与圆的对称性得，， 又，故，由圆得圆心为，半径为， 故，故为等边三角形，故双曲线的渐近线的倾斜角为， 则，因此的渐近线方程为，A错误； B选项，的离心率，B正确； C选项，由得，，所以，所以的方程为，C正确； D选项，将代入，解得或0(舍去)， 将代入得， 将代入，解得或0(舍去)， 将代入得， 结合图象，不妨取，则直线的方程为， 又的右顶点为，所以直线经过的右顶点，D正确；故选：BCD． 3-15.(多选)(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知双曲线(，)的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点(M为第一象限的交点)，O为坐标原点，则(    ) A． B． C．，C的离心率为 D．四边形的面积为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】对于A，由题意作图，根据三角形全等以及平行四边形性质，可得其正误；对于B，联立圆的方程和渐近线方程，解得的坐标，可得其正误；对于C，根据渐近线的倾斜角的正切值，利用离心率的计算公式，可得其正误；对于D，由题意作图，根据面积组合以及三角形面积公式，可得其正误. 【详解】对于A，如图：在与中，因为，，， 所以，则，，即， 所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 对于B，以为直径的圆的方程为， 联立，解得，又，则，故B正确； 对于C，由，，则，所以离心率，故C错误； 对于D，由题意可作图如下：因为，，所以， 由图可知四边形的面积，故D正确.故选：ABD. 3-16.(多选)(23-24高三上·江西·期末)已知为坐标原点，，分别为双曲线：(，)的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，设，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值为 B．为定值 C．若当时恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为 D．当时若直线与圆相切，则双曲线的离心率为 【答案】ABD【难度】0.15【知识点】双曲线中的定值问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意利用焦半径公式可知长度的最小值为，可判断A；利用点到直线的距离公式可得，再利用点M在双曲线上即可判断B；由利用直角三角形的性质和为等边三角形可得，，再根据双曲线定义即可求得离心率，可判断C；当时，直线与圆相切根据勾股定理和双曲线定义可得的关系，即可判断D. 【详解】对于A，因为是双曲线C的右焦点，点M为双曲线右支上一点， 所以由双曲线性质知线段长度的最小值为，故A正确； 对于B，设，两渐近线方程分别为，， 所以， 又因为满足，可得， 所以为定值，故B正确； 对于C，因为，所以，而(为坐标原点)恰好为等边三角形， 因此由知，，所以由双曲线的定义知：， 即，即双曲线的离心率，故C错误； 对于D，如图，设直线与圆相切于点A，连接OA，则，且， 作于点B，则，又因为，所以，， 因此在中，， 又点在双曲线右支上，所以， 整理得，即，因此，故D正确.故选：ABD. 题型四：焦点三角形与离心率 (1)P为椭圆上异于长轴端点的任一点,，则； (2)P为双曲线上异于实轴端点的任一点,，则； 4-1.(24-25高二下·湖南永州·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，(为坐标原点)，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图，由，得，， 其中，所以，可得为直角三角形， ，且，解得，， 再由勾股定理可得：；得，．故选：D． 4-2.(2025·陕西汉中·模拟预测)已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：， 则，又，所以，则离心率.故选：D. 4-3.(25-26高三上·福建·开学考试)已知，分别为双曲线C：(，)的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为(    ) A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.85【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，可得点的坐标，由此建立方程组求出即可求出离心率. 【详解】由，得，由，，不妨令， 由A为双曲线C上的一点，得，又，解得， 所以双曲线C的离心率为.故选：B 4-4.(24-25高二下·贵州黔南·期末)已知椭圆：的上顶点为，，分别为椭圆的左、右焦点，若的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】利用面积、离心率建立之间的等量关系，再结合进行求解即可． 【详解】的面积为，离心率为． 又，，解得，， 即椭圆的标准方程为．故选：C． 4-5.(24-25高二下·云南·期末)已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以，所以， 由是的中位线，可得，所以，解得， 所以的离心率为.故选：B. 4-6.(24-25高二下·云南昆明·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解. 【详解】设双曲线的焦距为，由，则，又， 所以点在双曲线的右支上，且，， ，解得.故选：D. 4-7.(25-26高三上·山西大同·开学考试)已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】利用等面积法可得， 结合可得，继而利用比例的性质可得，即得答案. 【详解】由题意知的平分线交轴于点，故， 故，(d为的边上的高)， 即得，结合可得，所以， 对于有， 故，即的离心率为.故选：A 4-8.(2025高二·全国·专题练习)如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】解法一：通过三角形内切圆的圆心是内角平分线的交点，利用角平分线的性质转化得到和的等量关系．解法二：利用三角形的面积关系转化得到和的等量关系． 【详解】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得，则，所以，故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，，所以， 由已知条件，得，所以，得，即，故选：B． 4-9.(25-26高三上·河南新乡·开学考试)已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由题意根据角平分线推可得出，利用比例关系可得出，再结合可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如图，连接、，是的内心， 则、分别是和的角平分线，为的角平分线，    可得，由比例关系性质可知． 又因为，所以椭圆的离心率.故选：A． 4-10.(24-25高二下·浙江·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，射线是的角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、向量的线性运算的几何应用【分析】根据角平分线定理得到线段比例关系，结合椭圆的定义可得结果. 【详解】如图，连接.因为三角形的三条角平分线交于一点，所以射线是的角平分线. 因为，所以.由角平分线定理得，. 设，则， 所以，， 所以椭圆的离心率.故选：B. 4-11.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的面积问题、正弦定理求外接圆半径【分析】由正弦定理可得，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得，根据，可求椭圆的离心率. 【详解】如图：设，，则①；在中，， 由余弦定理可得：，即② 得：；所以. 又；又. 因为.所以.故选：B 4-12.(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，连接并延长交线段于点，，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形(四边形)的面积、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由题意可知为的角平分线，推导出，可得出，利用比例关系可得出，再结合可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如图，连接、，是的内心， 则、分别是和的角平分线，为的角平分线， 所以到直线、的距离相等，得，同理可得， 由比例关系性质可知． 又因为，所以椭圆的离心率.故选：C． 4-13.(24-25高二上·重庆·期中)设，分别为椭圆：()的左、右顶点，是上一点，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得，， 设，则，得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】在中，由，得， 所以，由，得， 所以，设，则，    又，∴，∴， 又，∴，∴.故选：D. 4-14.(24-25高二上·河北邯郸·阶段练习)设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用已知条件求出点坐标，代入中形成齐次方程，解出离心率即可. 【详解】如图：由题意不妨设在第一象限，知， 因为，所以， 所以， 则，且，即， 又由，所以，又，即， 结合解得， 代入中，整理得， 即，解得(舍)或.故选：D. 4-15.(多选)(23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知椭圆，双曲线(，)，椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则(    ) A．若，则 B．的最小值为 C．的内心为，到轴的距离为 D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆 【答案】AC【难度】0.15【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求平面轨迹方程、双曲线定义的理解、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由椭圆、双曲线定义及余弦定理得到，即可判断A；再由离心率公式及基本不等式“1”的代换求最小值判断B；根据圆切线的性质及双曲线定义求双曲线与轴切点横坐标判断C；延长交于，若为中点，连接，根据已知易得为平行四边形，令有，结合已知条件判断D. 【详解】若椭圆、双曲线半焦距为，则，且分别为左右焦点， 中，令，则， ， 所以，则， 上式消去，得，而， 若，即，则，A对； 由上知，故， 当且仅当，即时取等号，B错； 若为内切圆与各边切点，如下图，则， 又， 所以，即切点为双曲线右顶点，有轴， 所以到轴的距离为，C对； 延长交于，若为中点，连接， 由题意且平分，故为等腰三角形且， 所以，在中为中位线，则， 且，故为平行四边形，令，则， 所以，又在第一象限且不定，故点的轨迹不为圆，D错.故选：AC 4-16.(2025·福建三明·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/【难度】0.65【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设，则，，，在等腰中应用诱导公式、二倍角余弦公式可得，在、中应用余弦定理求参数值，并得到双曲线参数的齐次式，即可得. 【详解】设，则，，故，    在等腰中，，则， 又，可得，所以，则，， 在中，可得， 所以.故答案为： 题型五：弦与离心率 1.过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ, 则；即． (当椭圆(或双曲线)焦点在轴上时，)；注:或者。 2. (1)若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－＝e2－1． 　　　 　　　　　 (2)若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 3.(1)直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB中点，k0，则k0·k＝－＝e2－1． 　 　　　　　 (2)直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，k0，则k0·k＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 5-1.(2025·云南玉溪·模拟预测)已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果. 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，.故选：B. 5-2.(24-25高一下·重庆·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析【分析】设，根据得，将点代入椭圆方程得，则， 由得，代入化简得，即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为. 设，因为，所以， 所以，则，将点代入椭圆方程得，所以， 即，则，由得， 又，所以，化简得， 所以，解得(负根舍去).故选：B 5-3.(24-25高二下·广东深圳·期末)已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据条件，确定的形状以及边长之比，结合椭圆的定义，求其离心率的值. 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以，故为直角三角形，由题意，，设， 则，解得或(舍)， 所以，．故选：B 5-4.(24-25高二下·广东汕尾·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为(    )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出对应点，作出符合题意的图形，利用求出，进而结合题意求出，再利用向量垂直的坐标表示得到，再将点坐标代入方程得到，再代入中化简得到，最后求解离心率即可. 【详解】由题意得椭圆的参数方程为，如图，故设，，， 则，， 因为，所以，， 解得，故， 因为点B关于原点O的对称点为，所以， 则，， 因为，所以，故， 化简得，则， 将代入椭圆方程， 得到，化简得， 把代入中， 得到，同除可得，解得或(舍去).故选：B 5-5.(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、垂直关系的向量表示 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即.故选： 5-6.(2024·全国·模拟预测)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆焦半径公式及应用、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一，，由，得， 整理得，得，(，舍去)所以； 解法二，如下图，直线过椭圆的右焦点，交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义，即有，， 设与轴的夹角为，则有，于是有， 可得， 可得，可得，同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得，即， 整理得，得，( ，舍去)所以；故选：A． 5-7.(2024高三·全国·专题练习)已知分别是椭圆的中心、右焦点和上顶点，直线与椭圆交于另一点．若，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的定义与已知条件将与的各边用表示出来，再利用余弦定理建立等量关系，从而得到关于离心率的方程，解三次方程可以采用试根法．本题也可利用既是的一个内角，也是的一个内角，分别在这两个三角形中利用余弦定理建立关于离心率的方程，即可求得结果 【详解】设，则，设椭圆左焦点为，连接，，如图，则， 在中，，，由余弦定理的推论，得． 在中，由余弦定理的推论，得， 因为，所以，故， 整理，得(可将四个选项中的数值依次代入，只有符合此方程)， 即，解得．故选：A． 5-8.(24-25高二上·浙江温州·阶段练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】作，结合条件可得，结合椭圆定义求出，在，中，分别由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点，，， ，，整理得， 所以，即，， ，在中，， 在中，，， 化简整理得，，解得或，又，.故选：A. 5-9.(多选)(2025高三·全国·专题练习)已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过作垂直于直线的直线，垂足为，直线与双曲线在第一象限交于点，则下列说法正确的是(    ) A．若，，则的周长为 B．若，，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】A选项，利用点到直线距离得到，由勾股定理得到，根据，，求出三边长，得到三角形周长；B选项，方法一：表达出的方程，联立，求出，求出，故；方法二：表达出的方程，联立，求出，求出，，故B正确；C选项，，由，知，从而求出的离心率；D选项，作出辅助线，得到，，根据三角函数关系得到，，由双曲线的定义得到方程，求出，从而求出离心率. 【详解】选项A：设双曲线的半焦距为，则， ，于是，故， 若，，则，，得，则的周长为，故A正确. 选项B：方法一：若，，则的方程为，焦点坐标，渐近线方程为， 故的方程为，联立并化简得，解得或， 当时，，当时，，又点在第一象限，故， 又，，所以，， ，故； 方法二：若，，则的方程为，焦点坐标，渐近线方程为， 故的方程为，联立并化简得，解得或， 当时，，当时，，又点在第一象限，故， 直线的斜率，，，故，故B正确； 选项C：若，则，由，知，则，故C错误； 选项D：如图，过作于点，则， 而为线段的中点，故，， 由，得，故，， 由双曲线的定义知，即，解得， 所以的离心率，故D正确.故选：ABD 5-10.(多选)(25-26高三上·江西·阶段练习)已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是(    ) A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得，又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得，所以，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得，所以，所以B正确； 对于C中，若，由椭圆的定义，且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得，所以，所以C不正确； 对于D中，若，设，则，由勾股定理，可得， 即，解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得，所以，D正确.故选：ABD. 5-11.(多选)(24-25高二下·四川泸州·期末)过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则(   ) A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 【答案】BC【难度】0.65【知识点】求双曲线的顶点坐标、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的得双曲线标准方程，然后判断各选项． 【详解】直线与坐标轴的交点分别为和，焦点为，即， 又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，由，解得， 选项A，实轴长为，A错；选项B，离心率为，B正确； 选项C，双曲线方程为，由解得，即， 右焦点为，则，C正确， 选项D，曲线的顶点坐标为，D错误；故选：BC． 5-12.(多选)(25-26高三上·河南新乡·开学考试)我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线(，且为常数)的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则(    ) A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题、求双曲线的切线方程、求双曲线中的弦长、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD. 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，A正确； 设点，直线不垂直于轴，设直线方程为， 由消去得， ，化简可得,又，故， 切线的方程为，即，渐近线方程为， 对于C，由，得，设， 则，一定是线段的中点，C正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，B错误； 对于D，直线交轴于点，的面积， 因此面积的最小值是，D正确.故选：ACD 5-13.(多选)(25-26高三上·山东·开学考试)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则(    ) A．直线的斜率为 B．的离心率为2 C．到上最近点的距离为 D． 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、已知两点求斜率、求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用三角形全等来计算点坐标，从而可判断A；通过点坐标代入双曲线方程求离心率，从而可判断B；通过点到直线的距离可判断C；通过联立方程组，利用坐标运算可判断D. 【详解】对于A，记双曲线的焦距为，则，， 由，，根据勾股定理得， 如图过点作轴的垂线，垂足为， 由，可得，因此，，， 即，所以，选项A正确； 对于B，将代入双曲线方程可得，即， 再将代入得，即， 解得，所以的离心率为，选项B正确； 对于C，由可知，且双曲线的渐近线方程为， 则点到双曲线的渐近线的距离为， 所以点到上最近点的距离大于，选项C错误； 对于D，由得，且双曲线的方程可转化为， 由，得， 将与联立并消去得：， 记，则，解得，所以，选项D正确.故选：ABD. 5-14.(多选)(2025·甘肃甘南·模拟预测)设，分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点(在轴上方，在轴下方)，为双曲线的半焦距，为坐标原点．则下列命题正确的是(   ) A．点的坐标为 B． C．若，则双曲线的离心率为 D．若，且的面积为，则双曲线的方程为 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、余弦定理解三角形、求直线与圆交点的坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】A选项联立渐近线方程和圆的方程即可求解；B选项利用向量的数量积即可检验；C选项利用余弦定理即可求解；D选项利用三角形的面积并结合C选项的结论可求解. 【详解】对于A选项，根据题意可得以为直径的圆的方程为， 不妨设渐近线方程为，联立方程组，解得，，故A错误； 对于B选项，，，，，， ，则，故B正确； 对于C选项，，，，且， ，，，所以由余弦定理得， ，化简得，所以，故C正确； 对于D选项，由C得，的面积为，则有， 再由，解得，，所以双曲线的方程为，故D正确．故选：BCD． 5-15.(25-26高三上·内蒙古·开学考试)已知椭圆C：()的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】已知直线QM的斜率为，P，Q为C上关于原点对称的两点,直线PF交椭圆C于另一点M，不妨计算直线的斜率，利用斜率乘积为定值，得到直线的斜率.即直线的斜率.再根据椭圆的定义列出关于的方程，求得椭圆的离心率. 【详解】不妨设，，，由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵，且， ∴，∴直线的倾斜角为,∴， 设为C的左焦点，连接，根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，，由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 5-16.(24-25高二下·河南商丘·开学考试)已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 ． 【答案】/【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，，所以， 设，则，， 因为，所以，所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以，所以，在中，由， 得，则，得，即的离心率为.故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 题型六：离心率最值、范围 6-1.(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】椭圆定义及辨析、由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】不妨设，，由，求得，进而得解. 【详解】不妨设，，该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以.所以的取值范围为.故选：C.    6-2.(24-25高二下·广东·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义和性质即可求解. 【详解】因为在双曲线的右支上，所以由双曲线的定义可得：， 又因为，所以，.则，即.故选：B. 6-3.(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】设，则，所以，当且仅当时取等号． 由，得，又，所以.故选：D. 6-4.(2025高三·全国·专题练习)双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为(    ) A． B．2 C． D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意题意，根据曲线的离心率，再由双曲线的关系式和基本不等式，即可得到最值； 【详解】双曲线中，由双曲线方程，则 ，当且仅当时取等号．故选：C． 6-5.(24-25高二上·广东汕头·期末)已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在(不含端点)，使得，则椭圆的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、数量积的坐标表示【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则，在线段上取一点， ，， 所以， 由，得， 因为，所以，从而，整理得，即， 即，即，结合，解得．故选：B． 6-6.(24-25高二上·广东·期中)椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又， ，，，，则， 即线段的长度的取值范围是.故选：B. 6-7.(2024高三·全国·专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】依题意知，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 (*)， 又点在椭圆上，则有，则(*)式可化成：，解得， 故得，又，故的离心率的取值范围为.故选：B. 6-8.(2025·山东·模拟预测)已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线定义的理解、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆定义及辨析【分析】由题意可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，由勾股定理可得三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量法或者三角换元即可求出的最大值. 【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为 因为二者共焦点，所以， 如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知， 由此解得，由题意知， 所以， 故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，则，问题转化为求的最大值， 设，由可得， 当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为.故选：B. 6-9.(24-25高二上·湖北荆州·阶段练习)已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值. 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又，所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得，又，故解得.故选：D. 6-10.(2024·辽宁·模拟预测)已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 【详解】由题意可设：，则 令，则， 当，则，可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率.故选：C. 6-11.(2025·河北邯郸·一模)已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设，则， 两式相加得，又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以，又，则， 整理得，又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是当轴时最小为，再建立关于的不等式. 6-12.(多选)(25-26高三上·河北·开学考试)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则(    ) A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出. 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，，所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确.故选：ACD. 6-13.(多选)(2025·湖北·模拟预测)已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则(   ) A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】三角恒等变换、双曲线定义的理解、平面向量数量积的定义及辨析、椭圆定义及辨析【分析】对于，由椭圆与双曲线的定义可将与用和表示，即可得出答案； 对于，由得，，再在中用一次余弦定理即可得到答案； 对于，由得，又，，代入可得答案；对于，因为，所以，化简可得，再利用三角恒等变换中的平方关系进行转化即可. 【详解】由，，得，.所以，则正确.； 因为，其中，， 所以，则正确； 对于，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即. 令，，则，其中，，取. 因为，，所以，， 所以，，故. 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则正确.故选：. 6-14.(24-25高二上·新疆哈密·阶段练习)已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】把的最大值的问题转化为椭圆上的点到圆心的最大值，进而转化为不等式恒成立问题，得到范围及离心率的最大值. 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由(*)可得，解得，故. 所以，即，即椭圆的离心率的最大值为.故答案为：. 6-15.(2025·广东广州·三模)已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】不妨设点在第一象限，根据题意求出的取值范围，结合椭圆方程可得出的取值范围，由此可得出关于、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以， 所以，化简得出.故答案为：. 6-16.(2024·山东聊城·三模)已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】/【难度】0.15【知识点】垂直关系的向量表示、向量加法法则的几何应用、根据韦达定理求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据题意得到，即，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到，再结合等面积法和向量运算，即可求解离心率. 【详解】设，直线:， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 联立，整理得，且， ，，则， 所以；整理得， 即由到直线:的距离，又， 即，而， 因为，即，所以， 又，所以.故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，其中利用等面积法转化为关键. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 重难点专题3-1椭圆、双曲线的离心率 题型归纳 题型一：离心率基础计算 题型二：弦中点问题（点差法） 题型三：双曲线渐近线与离心率 题型四：焦点三角形与离心率 题型五：弦与离心率 题型六：离心率最值、范围 题型专练 题型一：离心率基础计算 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系a,b,c)=0,再化归为关于e的方程求解. 2.定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率©： (1)e题=后=、1-（）2 (2e双曲线=后=、1+（台）2=V1+2=1V1+tana(ak为浙近线的领斜角与斜率) 1-1.(2025北京·高考真题)双曲线x2-4y2=4的离心率为) A.3 B.5 c D.5 2 【答案】B【难度】0.94【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率. 【详解】由x2-4y=4得，y=1,所以a=4B=Lc2=G2+=5 即a=2c=V5,所以e=9=5,故选：B. a 2 122024渐江台州一模情网层号+号=-1与桶图，兰十 9+4 =1(0<k<4)的) 9-k4-k A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 【答案】D【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断 【详解】对于椭圆E的长短半轴长及半焦距分别为4=3，b=2,c=V5, 对于椭圆E,的长短半轴长及半焦距分别为a,=V9-k,b,=√4-k,c,=V5, 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等故选：D 第1页共60页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13425商二下云南玉溪期未记知躺圈C荐+若-1>b>0)的离心率为 短轴长为2，则a=() A. 3W2 B.② C.1 v2 4 2 4 【答案】A【难度】0.85【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】由离心率、短轴长以及4，b,c的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知 -后 223,所以a=32赦选：A 4 a2=b2+c2 4,24-25高=下河南商丘期末已知椭圆C元+片1的左、石焦点分别为，乃，P是椭圆C上任意一点.君 P+P=10,则椭圆C的离心率为) C. 3 6 4 0.25 【答案】B【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特 征、利用椭圆定义求方程【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得α2=25，进而求离心率. 【详解】由题设a>9,且P+P=2引a10,则d=25,所以e-V亭号故选：B 15.2025江西模拟预测)已知椭圆的方程为父+上=10m>n>0),且离心率与双曲线兰-二=1的离心率互为倒 m n 412 数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为() A. 2+=1 4+3 c.+2=1 23 D.3x2+4y2=1 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由可得双曲线离心率为=2，则椭圆离心率=：进而得到化，然后逐一判断即可 【详解】因为双曲线-二-1的离心率为e= √4+12 =2,所以椭圆兰+上-1的离心率为e= 1 412 2 m n 2 椭圆的方程为父+上=1>n>0),则该椭圆的长、短半轴长分别为a=√m,b=Vm, m 离心率e=Vm-n √m 4 对于A,=4,n=3,符合：对于B,=16,n=4,不符合： 对于C,=2n=多，符合：对于D,m= 一之—、三 1,2025江西吉安模拟预测已知双血线号广-1(a>0b>0)的实辅长等于8，等题格形及4CC的四个质 点均在双曲线上，边B,B,CC都与x轴平行，其中B,B在x轴下方，且B,B=2W7,C,C=10;又等腰梯形的 高等于3，则双曲线的离心率=() 第2页共60页 学科网·上好课 www.zxx k com 上好每一堂课 5 A.4 4 B.3 c.3 2 D.5 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据等腰梯形的性质，设出坐标，代入双曲线中，求出双曲线参数，求得离心率. 【详解】如图，B,B=2W17,CC=10,等腰梯形的高等于3， 设C(5,),则B(V17,t-3),实轴长等于8，则双曲线a=4, 252 代入可得/681 ,·可物公-g,代入得6-号 -=1 16b2 化简得：-5冲+81-0：解得：=号或号因为4<CG,所以=号代入得6=3 双曲线中c=+b=6+9=5,则离心率为故选：A 17205商二全国专愿练习旧如月，月分别为桃圆C苦茶-(a>6>0的左、有焦点，在格周c上在 在点P,满足PF=,且点F到直线P耳的距离为2b,则该椭圆的离心率为) A. B.3 1 C.7 5 04 3 【答案】C【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由等腰三角形性质把P用b,c表示后，利用椭圆的定义得出a,b,c的关系式，整理后可求得离心率. 【详解】由题意，在等腰aP耳R中，PF引=E=2c,底边PR上的高为2b,所以P=4VC2-b2. 又由椭圆的定义可知，PF+PF=2a,因此4Vc2-b2+2c=2a, 可得7c2+2ac-52=0,即7e2+2e-5=0,所以e=或e=-1(舍去，故选：C. 1-8.(2025高三全国专题练习)已知a>b>0,设椭圆C:+片 +1与双曲我：之一子三1的离父分另列 h 为e,e2.若e2=3,则2=() a A.5 8.25 c.35 5 D.45 5 5 5 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值 范国【分折】根据，=女，符9。 2，化简即可得解 第3页共60页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a2-b2 a2+b2 【详解】由题意可知e=a，6Va2 a2-b2 a2+b2 又e2=3e,所以9 a2 即安所以会25故迹：8 a 5 1-9.(24-25高二下.重庆巴南·期中)如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作 平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若SO=2√3，OB=2,则该双曲线的离心率为) A. 25 B.5 c.26 D.6 3 3 H 【答案】A【难度】0.4【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算、求双曲线的离心率或离心率的取值 范围【分析】设曲线与圆锥的底面圆交于点H,P,取OB的中点Q,过s作N/AB,交直线MQ于点N, 过点2作y箱1以加，建立平面直角坐标系，设夜谁线方程为若1a0b~Q<0),得到a及点坐 标，即可求出b,从而求出离心率 【详解】设曲线与圆锥的底面圆交于点H,P,SO=2√3，OB=2,则SA=SB=AB=4,△S4B为等边三角形， 设M为SB的中点，取OB的中点2，过S作SN/IAB,交直线MQ于点N,过点N作y轴/IHP, 建立如图平面直角坐标系，设双面线方程为言-1(a~0b>Q<0), 得到a=MW=V5,又HP1AB,所以P0=√Op2-O02=√4-i=√，则P(-23,3) 则23( =1,故b=1,从而求出离心率e=h+ ,b23 故选：A, b2 a23 1-Q25安强造州二阀已知吸由线c等-1a0,6>0的东，右焦点分别为，M是C的支 一点，M在y轴上的射影为H,O为坐标原点.若HN=3NF2,F2.MN=0,ON/F1M,则C的离心率为(） A.5 B.5 c.⑤ D.6 2 2 【答案】D【难度】0.4【知识点】数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示、求双曲线的离心率或离心率的 取值范围【分析】设M瓜与H交于点E,根据条件可得HE=E,MH=FF=x,求出点M,H的坐 标，由HN=3NF关系求出点N的坐标，利用F2F.M=0得到a,c关系，运算得解， 【详解】如图，设M四与HF,交于点E,由ON/FM,且O是E的中点，所以EN=F, 又HN=3NF,所以HE=E引，又MHI/F,易得△HEM≌△F2EF1,MH=FF=2c, 第4页共60页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则xw=2c,代入双曲线方程可得以= b2(4c2-a2） 设点M(2c,m),则n2= b2(4c2-a2) H(0,m2）, a a' 区设NGw）,丽=3NE河得3Cm,即N0,m,由：MN=0,得3m=5 即36(4c-a）-5c,化简整理得3c:-d)kc:-d）=5ac,3e-14e--5e,解得e-3或e a 2 6 又e>1,e2=3 解得e=6 2 故选：D. M 1-1.多选25-26高三上重庆阶段练习已知双曲线c+上-1，则() 6+m A.<0 B.双曲线C的实轴长为26 6 C.双曲线C的渐近线方程为y=±√-6x D.当双曲线C的离心率等于其虚轴长时，m=-」 23 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、根据离心率求 双曲线的标准方程、根据方程表示双曲线求参数的范围【分析】根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C 的焦点在x轴上，由此确定<0对照。发1Q>06>0)确定Q6啊值，依次判断选项，可得正确答案 【详解】选项A:依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以<O,所以选项A正确： 选项B、C:对照焦点在x轴上的双脚线的标准方程：文户1a>0,6>0),知a=V6,b=V-m所以双曲 线C的实轴长为2V6:双曲线C的渐近线方程为：y=±x,即y=±√一6x所以选项B正确，选项C错误： b 6 选项D:双曲线C的离心率等于虚轴长时， a2+b2 6 s2五则+b=4b,所以6=4，胖特三23. 6 所以选项D正确.故选：ABD. 1-12.(多选)2025河北邢台一模)已知双曲线C:-y二 京过1(a>0)的左、右焦点分别为乃，B,若 |RF,=2e(e为C的离心率)，则() A.a=1B.C的虚轴长为2√3C.e=√2 D.C的一条渐近线的斜率为V 3 【答案】AB【难度】0.85【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、 虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线方程可求焦点耳，F的坐标，结合离心率定义求离心率e,根据|RF,=2e求a,再求虚 轴长，由此判断ABC,再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的斜率判断D. 第5页共60页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【#解1由c言云-1a0,知(-2a0.万2a0).=兰2. a 由FE=2e,得4a=4,即a=1,3a2=3,所以C的虚轴长为2√5，故A,B正确，C错误； 由C的渐近线方程为y=±V3x,得两条渐近线的斜率分别为5，-√5，故D错误.故选：AB. 132425商=下广西格州阶段练习已知0为坐标原点，椭圆C:等+若=1(a>b>0的右项点为A,以 OA为直径的圆与椭圆C的三个公共点分别为A,M,N,若以O,M,A,N为顶点的四边形是正方形， 则椭圆C的离心率为一 【答案】y6【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 3 【分析】根据椭圆，圆和正方形的几何性质，设出点的坐标，带入求出椭圆参数的关系，求出离心率。 【详解】以OA为直径的圆，和椭圆关于x轴对称，则交点在OA中垂线上，不妨设点M在第一象限， 则M 代入国C:若若1将号石-1.即d=站动-，解得=5 故答案为： VG 3 题型二：弦中点问题（点差法） 1直线和椭圆形+三=1交点4G),B(,y),AB中点为M6oo则：kwk=一号=e2-1 2直线和双曲线鳄-三=1交点A),BCG,）.AB中点为M6yw)则：komk-兰-e2-1 2-1.(4-25高二上湖北孝感阶段练习)过点M(2,1)作斜率为-3的直线与椭圆C:亡+广 ,十 =1相交于A,B两点， m2'n2 若M为线段AB的中点，则C的离心率为) 1 A. B.3 3 c. D.2 2 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率 求参数【分】利用点差法计算得出倍功离心率公式计算即可 【详解】设A(x1,y),B(x2,y2),因为M(2,1)为线段AB的中点，所以x+x2=4y+y,=2, +上=1 由 m n ,两式相减可得：S二￡=上，整理得及。-心任+)， 生+监=1 n22 n2 ￥-x2m2(y+y2) 即-3=- 22 m n 所以产-3，则心=2m㎡>m,即椭圆C:。+上 m2-21 m2n2 =1的焦点在y轴上， 2 即a=-mb=mc=a-b=,则a=,所以e名5放途：B a 3 22,2425高=太原闲已知直线2-3--0与双陶线℃。Q0,b>0)相交于A、s两】 第6页共60页 丽学科网·上好课 www Zxx k co m 上好每一堂课 个不同点，点D(2,1)是AB的中点，则双曲线C的离心率为() B.2 4 A.2 C.3 0.25 3 【答案】D【难度】0.65【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率的 取值范围【分析】利用点差法可求得，结合e=山+ b -可得出双曲线C的离心率的值. a 【详解】设点A(,y)、B(3y,),由题意可得k。=上业=名 -x231 因为点D(2,1)是AB的中点，则{ 1+x2=4 y+y2=2 生=1 因为 a2 b2 这两个等式作差可得-上，所以，-兰-长业-？{ a? 62 =-好+名-x:433 因此，双曲线C的离心率为e=S=, a va va 写25选0 23,2024吉林白山，一树不与坐标轴至直的直线I过点0.七=0，椭圆C答+若-(a>6>0上存 在两点A,B关于I对称，线段AB的中点M的坐标为(x,乃).若x=2x。,则C的离心率为) A.3 c.2 D.3 3 B. 2 2 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐 标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据点差法求出。=一，再结合kk。-1进行计算得出结果 +监=1 【详解】设0为坐标原点，在椭圆C中，设A(5y,)B(飞，y),则云云 三益所以芝片 a (a2+6-1 因为A关于格，所以与：所以答-冬没 由线段AB的中点M的坐标为(5，乃)，得出，+少=2出，+书，=2X,所以k加a=一。' 又kka=-l,kaw-k,即当=分，为 b2, a ax-xo 又x=2x,分=2，所以所求离心率为e= ，B√2.故选：C. 4亿4-25高三下河北沧州阶段练习已知椭圆C+1 元=a>b>0)的上焦点为F0,c6>c),右顶点为 第7页共60页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B,斜率为45的直线1交椭圆C于P,Q两点，若F恰好为△BPQ的重心，则椭圆C的离心率为() 9 A.或 2 B.V② c.3 4 2 D. 【答案】D【难度】0.65【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围【分析】延长BF交PQ于点M,可得点M为PQ的中点，设 P(,W).-C(,)根据点F为△BPQ的重心，列方程可求得点M的坐标由点差法可得kk。=分 o二3k三代入整理得NBa=46c,再结合GF+c即 【详解】延长BF交P2于点M,所以点M为P9的中点，设P(5,),O(2,y2) 因为B(b,O),F(0,c),点F为△BPQ的重心，所以 5++也=0∫5+x=-b, 0即成4货=2所以多》 3 (2’2 3 因为点P(x,乃)，2(x2,y)在椭圆C上， 监+=1 a2 b2 所以 两式相减得二生+-兰=0，即-y++任-(+-0， a b2 整理得kk0=当+业当-业-（凸-y)y+)a +x2￥-x2(3-x2)6+x2)b2 因为w音告层即6= 所以V3(b2+c2)-4bc=0,解得b=V3c或c=√3b. 又因为b>c,所以b=反c,a=+e=2G,所以e5故途：D 252324高二上减庆期刺直线：-2y+5=0经过椭圆号茶-1口>b>0)的东焦点，且与精圆交于 A,B两点，若M为线段AB中点，MF=OM,则椭圆的离心率为() A.② D.3-1 2 B. C.3 2 【答案】C【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率 求参数【分析】由例O得到=号结合点差法计算得-子进而求出离心率 d2-41 第8页共60页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】直线1：x-2y+V5=0的斜率号，如图， 由=OM,得∠MrO=∠MOP,则直线oM的斜率ka=- 2, 设A%1,片)，B(s,y2,M(xy), ,两式相减得-王+生=0， 3x a2 于是+五当 ,而为-业-号+业-点-k4=月 a2y+y-x ”-x22x+x2 2 因此会（小分解得号子肉以税圆的离心率，。可 故选：C 2 262324商二上辽宁大连期末利椭圆C:+卡-10<b<, PQ为椭圆C过点E的 一条弦，且PD=20,直线0的斜率与2的斜率乘积为号，则椭圆C的离心率列) A. V10 B.V5 c.25 5 D.② 5 5 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率 求参数【分析】取线段PQ的中点为M,可得NQMO,进而借助点差法求解b的值，从而得解. 【详解】如图，取线段PQ的中点为M,连接OM,QN, 因为PO=2OE,所以Q为ME中点，又N为OE中点，所以NQ1MO, 直线O的斜率与P②的斜率乘积为一，所以k。·koM=-4 =1 b2 设P(x,片)，2(2,2)，则 ,两式相减可得（化+x)化-）片+，)-)0. b2 X2+ 整理相传十公，即如是6-手所以6-专所以c5则e= ,故选：B. (x+x2)x2-x2) 5 2-7.24-25高二上湖北武汉阶段练习)已知圆C:(c-m)2+2=mm>0在椭圆B:+广 =1(a>b>0)的 内部，直线I:y=k+2m交E于A、B两点，并与圆C相切于D点，若D为线段AB的中点，则椭圆E的离 第9页共60页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 心率为() A. a. C.vG D.0 4 4 【答案】D【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、二倍角的正切公式、由直线与圆的 位置关系求参数、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】由题意利用点差法可得等量关系，利用圆的切线、锐角正切函数的定义以及直线关系，可得斜率， 代入等量关系，结合离心率的公式，可得答案 【详解】由题意，记直线l交y轴于点P,连接OD,CD,CP,如下图：设A(x,片)，B(x,),D(x,), 则2x。=x+x2,2y=片+2· 所以(5-)=京6-).所以g二， 6-3+x),即 （4-y)%=-b 1-x2)xa2 由图易知PO,PD与圆C分别相切于O,D,则∠POC=∠PDC=90°， 由CP⊥OD,则∠DOC+∠POD=∠OPC+∠POD,即∠DOC=∠OPC, 由直线1：y=x+2与圆C:(x-m)2+y2=m,则P(0,2m),C(,0), 在R△oc中a∠0rc-S号则am<C0D-号 由OC=CD,则∠COD=∠CDO,可得∠BCD=∠COD+∠CDO=2∠COD, 2tan∠COD4 所以直线CD的斜率kop=tan∠BCD=tan2∠COD= 1-tan2∠coD3 年即当业。3 因为CD1AB,所以直线AB的斜率k=-1=-3, X1-x24 又直线oD的斜率为=tan∠CoD=1, 所似对会所以答意 a281 310 所以椭圆C的离心率e= 84 故选：D 2-8.24-25高=上浙江杭州期末)已知斜率为5的直线过双曲线C:r-上-10>0)的左焦点R,且与C 3 的左，右两支分别交于A,B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角 形，则双曲线的离心率() A.2 B.√2 C.3 D.5 【答案】B【难度】O.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由点差法得kp·k4=m, 第10页共60页 重难点专题3-1 椭圆、双曲线的离心率 题型一：离心率基础计算 题型二：弦中点问题(点差法) 题型三：双曲线渐近线与离心率 题型四：焦点三角形与离心率 题型五：弦与离心率 题型六：离心率最值、范围 题型一：离心率基础计算 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 2.定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； (1)； (2)＝＝ (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 1-1.(2025·北京·高考真题)双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 1-2.(2024·浙江台州·一模)椭圆与椭圆的(    ) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 1-3.(24-25高二下·云南玉溪·期末)已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则(   ) A． B． C．1 D． 1-4.(24-25高二下·河南商丘·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 1-5.(2025·江西·模拟预测)已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为(   ) A． B． C． D． 1-6.(2025·江西吉安·模拟预测)已知双曲线的实轴长等于8，等腰梯形的四个顶点均在双曲线上，边都与轴平行，其中在轴下方，且；又等腰梯形的高等于3，则双曲线的离心率=(    ) A． B． C． D． 1-7.(2025高二·全国·专题练习)已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 1-8.(2025高三·全国·专题练习)已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则(    ) A． B． C． D． 1-9.(24-25高二下·重庆巴南·期中)如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 1-10.(2025·安徽池州·二模)已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，，，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 1-11.(多选)(25-26高三上·重庆·阶段练习)已知双曲线，则(    ) A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 1-12.(多选)(2025·河北邢台·一模)已知双曲线的左、右焦点分别为，，若(为的离心率)，则(    ) A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 1-13.(24-25高二下·广西梧州·阶段练习)已知为坐标原点，椭圆：()的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 题型二：弦中点问题(点差法) 1.直线和椭圆交点，，AB中点为,则：. 2.直线和双曲线交点，，AB中点为,则：. 2-1.(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 2-2.(24-25高二上·山西太原·期末)已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 2-3.(2024·吉林白山·一模)不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 2-4.(24-25高三下·河北沧州·阶段练习)已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为(   ) A．或 B． C． D． 2-5.(23-24高二上·重庆·期末)直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 2-6.(23-24高二上·辽宁大连·期末)椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 2-7.(24-25高二上·湖北武汉·阶段练习)已知圆在椭圆的内部，直线交于A、B两点，并与圆相切于点，若为线段AB的中点，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 2-8.(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率(    ) A．2 B． C．3 D． 2-9.(24-25高二上·江苏扬州·期中)已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为(    ) A．2 B． C．3 D． 2-10.(多选)(24-25高二下·江苏南京·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点(在第一象限)，为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是(   ) A． B．双曲线的离心率为2 C．直线的斜率为 D．的面积为 2-11.(多选)(24-25高二上·山东淄博·期中)已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是(   ) A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 2-12.(多选)(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是(    ) A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 2-13.(24-25高二上·福建莆田·期中)已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 2-14.(2025·四川成都·模拟预测)已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点(点在第一象限，点在第四象限)，点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 2-15.(23-24高二下·上海·阶段练习)已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点)，则椭圆的离心率为 . 2-16.(23-24高二上·福建龙岩·期中)已知双曲线，斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 . 题型三：双曲线渐近线与离心率 (1)焦点到渐近线的距离为b (2)一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则. (3)过双曲线上任意一点P做切线，分别交两渐近线于M,N两点，则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；②；③. 3-1.(25-26高三上·广东深圳·开学考试)若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 3-2.(24-25高二下·湖南·期中)已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 3-3.(25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习)若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 3-4.(25-26高三上·贵州贵阳·开学考试)已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率是(   ) A． B． C． D． 3-5.(24-25高二下·河北唐山·期末)若双曲线的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则它的离心率为(   ) A． B． C． D． 3-6.(24-25高二下·河北邯郸·期末)已知双曲线()的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为(    ) A． B．2 C． D．3 3-7.(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知双曲线的右焦点为，以OF(为坐标原点)为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为(   ) A． B． C．2 D． 3-8.(25-26高三上·河南·开学考试)已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 3-9.(25-26高三上·安徽合肥·开学考试)若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 3-10.(25-26高三上·四川成都·开学考试)已知是双曲线C：(，)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论不正确的是(    ) A． B． C．离心率 D．若，则 3-11.(2025·浙江温州·三模)已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 3-12.(2025·重庆·三模)已知双曲线，倾斜角为的直线与的渐近线交于两点在第一象限，在第四象限)，线段的中点为为坐标原点，直线与的一个交点为．则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D．3 3-13.(2025·新疆喀什·二模)已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则(    ) A． B． C． D． 3-14.(多选)(2025·河北·模拟预测)已知圆，双曲线的焦距为4，的一条渐近线与圆交于两点，另一条渐近线与圆交于两点，若，则(    ) A．的渐近线方程为 B．的离心率为2 C．C的方程为 D．直线经过的右顶点 3-15.(多选)(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知双曲线(，)的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点(M为第一象限的交点)，O为坐标原点，则(    ) A． B． C．，C的离心率为 D．四边形的面积为 3-16.(多选)(23-24高三上·江西·期末)已知为坐标原点，，分别为双曲线：(，)的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，设，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值为 B．为定值 C．若当时恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为 D．当时若直线与圆相切，则双曲线的离心率为 题型四：焦点三角形与离心率 (1)P为椭圆上异于长轴端点的任一点,，则； (2)P为双曲线上异于实轴端点的任一点,，则； 4-1.(24-25高二下·湖南永州·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，(为坐标原点)，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 4-2.(2025·陕西汉中·模拟预测)已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 4-3.(25-26高三上·福建·开学考试)已知，分别为双曲线C：(，)的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为(    ) A． B． C． D．1 4-4.(24-25高二下·贵州黔南·期末)已知椭圆：的上顶点为，，分别为椭圆的左、右焦点，若的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为(   ) A． B． C． D． 4-5.(24-25高二下·云南·期末)已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 4-6.(24-25高二下·云南昆明·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 4-7.(25-26高三上·山西大同·开学考试)已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 4-8.(2025高二·全国·专题练习)如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于(    ) A． B． C． D． 4-9.(25-26高三上·河南新乡·开学考试)已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 4-10.(24-25高二下·浙江·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，射线是的角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 4-11.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 4-12.(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，连接并延长交线段于点，，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 4-13.(24-25高二上·重庆·期中)设，分别为椭圆：()的左、右顶点，是上一点，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 4-14.(24-25高二上·河北邯郸·阶段练习)设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 4-15.(多选)(23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知椭圆，双曲线(，)，椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则(    ) A．若，则 B．的最小值为 C．的内心为，到轴的距离为 D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆 4-16.(2025·福建三明·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 题型五：弦与离心率 1.过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ, 则；即． (当椭圆(或双曲线)焦点在轴上时，)；注:或者。 2. (1)若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－＝e2－1． 　　　 　　　　　 (2)若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 3.(1)直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB中点，k0，则k0·k＝－＝e2－1． 　 　　　　　 (2)直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，k0，则k0·k＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 5-1.(2025·云南玉溪·模拟预测)已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为(   ) A． B． C． D． 5-2.(24-25高一下·重庆·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 5-3.(24-25高二下·广东深圳·期末)已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为(    ) A．2 B． C．3 D． 5-4.(24-25高二下·广东汕尾·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为(    )． A． B． C． D． 5-5.(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 5-6.(2024·全国·模拟预测)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则(    ) A． B． C． D． 5-7.(2024高三·全国·专题练习)已知分别是椭圆的中心、右焦点和上顶点，直线与椭圆交于另一点．若，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 5-8.(24-25高二上·浙江温州·阶段练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 5-9.(多选)(2025高三·全国·专题练习)已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过作垂直于直线的直线，垂足为，直线与双曲线在第一象限交于点，则下列说法正确的是(    ) A．若，，则的周长为 B．若，，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 5-10.(多选)(25-26高三上·江西·阶段练习)已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是(    ) A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 5-11.(多选)(24-25高二下·四川泸州·期末)过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则(   ) A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 5-12.(多选)(25-26高三上·河南新乡·开学考试)我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线(，且为常数)的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则(    ) A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 5-13.(多选)(25-26高三上·山东·开学考试)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则(    ) A．直线的斜率为 B．的离心率为2 C．到上最近点的距离为 D． 5-14.(多选)(2025·甘肃甘南·模拟预测)设，分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点(在轴上方，在轴下方)，为双曲线的半焦距，为坐标原点．则下列命题正确的是(   ) A．点的坐标为 B． C．若，则双曲线的离心率为 D．若，且的面积为，则双曲线的方程为 5-15.(25-26高三上·内蒙古·开学考试)已知椭圆C：()的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 5-16.(24-25高二下·河南商丘·开学考试)已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 ． 题型六：离心率最值、范围 6-1.(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6-2.(24-25高二下·广东·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为(   ) A． B． C． D． 6-3.(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6-4.(2025高三·全国·专题练习)双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为(    ) A． B．2 C． D．4 6-5.(24-25高二上·广东汕头·期末)已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在(不含端点)，使得，则椭圆的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 6-6.(24-25高二上·广东·期中)椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是(   ) A． B． C． D． 6-7.(2024高三·全国·专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为(   ) A． B． C． D． 6-8.(2025·山东·模拟预测)已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为(   ) A． B． C． D． 6-9.(24-25高二上·湖北荆州·阶段练习)已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是(   ) A． B． C． D． 6-10.(2024·辽宁·模拟预测)已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6-11.(2025·河北邯郸·一模)已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是(   ) A． B． C． D． 6-12.(多选)(25-26高三上·河北·开学考试)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则(    ) A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 6-13.(多选)(2025·湖北·模拟预测)已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则(   ) A． B． C． D．当时，的取值范围是 6-14.(24-25高二上·新疆哈密·阶段练习)已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 6-15.(2025·广东广州·三模)已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 6-16.(2024·山东聊城·三模)已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $