第3章 专题6 求离心率的值或取值范围-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 6 专题6 求离心率的值或取值范围 刷难关 2 1.［山东泰安2025高二期中］已知椭圆的左、右焦点分别为，， 上两动点，均位于轴上方，且，若与的交点在轴上，且纵坐标为 ，则椭 圆 的离心率为( ) B A. B. C. D. 题型1 求离心率的值 3 解析 如图，由于，与的交点在 轴上，结合椭圆的对称性， 故,,设，代入中，得 ， 解得，故 . 设与的交点为，则 . 显然,则,将,代入上式,得，化简得 ， 即 .故选B. 题型1 求离心率的值 4 2.［河南南阳2025高二月考］双曲线的左、右焦点分别为,，直线 过且与双曲线右支交于点，原点到直线的距离为，且，则双曲线 的离心 率为( ) D A. B. C.2 D. 题型1 求离心率的值 5 解析 如图. 由题意得，故 ， 题型1 求离心率的值 6 由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得 ， 化简得，又，所以 ， 方程两边同时除以，得，解得，所以离心率 .故选D. 题型1 求离心率的值 7 3.已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为 的直线交双曲线右 支于点，且满足（ 为原点）为等腰三角形，则该双曲线的离心率为( ) A A. B.2 C. D. 题型1 求离心率的值 8 解析 设双曲线的右焦点为,连接，如图所示.在双曲线的右支上， . 双曲线的左焦点，且为等腰三角形， ， ， , . 又 ， 为等边三角形，则 ， ， . 在中，，,可得 ， ,即,则 . 题型1 求离心率的值 9 多种解法 如图所示，过点作轴于点 . 双曲线的左焦点，且为等腰三角形， ， ， ， . 题型1 求离心率的值 10 在中，，，则 . 点在双曲线 上， ,化简得 , ,即,等式两边同除以 ，得 . 令，即,解得,即 . , .故选A. 题型1 求离心率的值 11 4.［安徽多校2025高二联考］已知椭圆的右焦点为，过点 且斜率为1 的直线与交于,两点，若（为坐标原点），则 的离心率为( ) D A. B. C. D. 题型1 求离心率的值 12 解析 设椭圆的半焦距为,，则直线的方程为 ， 设,，由 得，因为点在的内部，所以, , . 又，所以 ， 将代入，可得, ， 再将,代入，可得，又，所以 ， 故的离心率 .故选D. 题型1 求离心率的值 13 5.已知椭圆和双曲线的焦点相同，, 分 别为左、右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若 轴，则椭圆和双曲线的离心率之 积为___. 1 题型1 求离心率的值 14 解析 设，由题可知， . 因为轴，所以 ， 所以椭圆和双曲线的离心率之积为 . 题型1 求离心率的值 15 归纳总结 1.与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的解题方法 （1）结合定义，利用图形中几何量之间的大小关系求解； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线上等）列出所讨论的离心率 适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出离心率的值或取值范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数,一个适当的参数作为自变量来表示这个 函数，通过讨论函数的值域来求离心率的值或取值范围; （4）利用代数基本不等式:代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）构造一个一元二次方程，利用判别式大于或等于0求解. 题型1 求离心率的值 16 2.解有关圆锥曲线的问题时所使用的数学思想方法 （1）数形结合的思想方法.一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种 量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由 代数量确定几何特征;三是要注意用几何方法直观解题. （2）转化的思想方法,如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问 题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化. （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的二次 函数知识等. （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等. 题型1 求离心率的值 6.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点 是椭圆上一点， ， ，则椭圆离心率的取值可能为( ) AB A. B. C. D. 题型2 求离心率的取值范围 18 思路导引 设,则，根据椭圆定义得到 根据，得到，利用勾股定理得到 联立①②可得 ，然后利用换元法求离心率的范围即可 题型2 求离心率的取值范围 19 解析 设，，由椭圆的定义可得，可设 ，则 ，即有.由得， ， 即 . 由可得，令，可得 ， ，，，即有 , ，解得 . 故选 . 题型2 求离心率的取值范围 20 7.［江苏常州一中2024高二期中］,分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意一点.若的最小值为，则双曲线的离心率 的取值范围是______. 题型2 求离心率的取值范围 21 解析 因为,是双曲线的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意一点， 所以，代入 ， 得，当且仅当 时取 等号，又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，所以 ,所以 . 题型2 求离心率的取值范围 22 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为 的 直线与双曲线的右支交于， 两点，则该双曲线的离心率的取值范围为______. 题型2 求离心率的取值范围 23 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 由于过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，则 ，因此 ，又，所以该双曲线的离心率的取值范围为 . 题型2 求离心率的取值范围 24 9.［福建福州四中2025高二段考］设,为椭圆与双曲线的公共焦点，, 分别为左、右焦 点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线 的 离心率，则椭圆 离心率的取值范围是_______. 题型2 求离心率的取值范围 25 思路导引 由题意结合椭圆与双曲线的定义分别表示出, 的长度，再根据题中椭圆和双曲线有公共 焦点的关系，结合离心率的定义得到椭圆与双曲线离心率之间的关系式，从而求出椭圆离心率的 取值范围. 题型2 求离心率的取值范围 26 解析 如图，设椭圆的方程为 ，双曲线的方程为 ，椭圆和双曲线的半焦距为 ， 设,，由题意可得 ， 由椭圆的定义，可得，由双曲线的定义，可得，解得 . 设椭圆的离心率为，,，因为，两边同除以,得，即有 ， 由，则，可得，则 . 题型2 求离心率的取值范围 27 规律方法 求离心率的常用方法 （1）构造,的齐次式，解出 . 根据题设条件，借助,,之间的关系，构造,的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 的一 元方程，从而解得离心率 . 比如专题6中的第3题的多种解法、第9题. （2）通过求定点坐标——根据点在曲线上求解离心率. 标准方程是圆锥曲线的量化体现之一，点 在圆锥曲线上，除了满足圆锥曲线的定义外,其 坐标也应满足曲线的方程,因此用,,刻画点 的坐 标后,将其代入曲线方程也是解决离心率问题的有效途径之一. 比如专题6中的第1题. 题型2 求离心率的取值范围 28 （3）利用圆锥曲线定义求离心率. 比如专题6中的第2题、第3题、第5题. （4）利用平面几何的性质 很多离心率问题是以平面图形为载体出现的，平面图形背后有一些隐含的性质，比如三角形面积 的等价转化，三角形两边之和大于第三边，垂线段最短等. 比如专题6中的第4题. （5）以 为函数式，利用配方、换元等方法求函数的值域，也是求离心率常用的方法. 比如专题6中的第6题、第7题. 题型2 求离心率的取值范围 $$