第15讲 线段、射线、直线（5类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第15讲 线段、射线、直线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 线段、射线、直线的联系与区别 题型2 点与线的位置关系 题型3 两点确定一条直线 题型4 直线相交的交点个数问题 题型5 画直线、射线、线段 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段、射线、直线、端点、延伸、表示方法、两点确定一条直线。 1. 在现实情境中理解线段、射线、直线的概念，能用自己的语言描述它们的特征。 2. 掌握线段、射线、直线的表示方法（用两个大写字母或一个小写字母），能正确读、写并识别图形。 3. 理解线段、射线、直线的区别与联系（如线段有两个端点，射线有一个端点并向一方延伸，直线无端点并向两方延伸）。 4. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实，能用它解释和解决实际生活中的问题。 学习重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，理解它们之间的区别与联系。 学习难点：理解“两点确定一条直线”的几何事实，并能灵活运用它解决实际问题；正确区分射线（注意端点字母在前）的表示方法。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线段、射线、直线的概念 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【易错提醒】 线段、射线、直线易错警示：线段有两个端点，可度量；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线无端点，向两方无限延伸。注意：射线与直线不能用长度度量。表示时射线端点在前（如射线OA），直线可用两个大写字母或小写。 即时即练1．下列说法错误的是（　　） A．  直线l经过点A B．  点C在线段上 C．  射线与线段有公共点 D．  直线a，b相交于点A 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、点与线的位置关系、直线相交的交点个数问题 【分析】根据点和直线的位置关系，相交线的有关内容判断即可． 【详解】解：A、由图可得，点A在直线l上，故直线l经过点A，故本选项不符合题意； B、由图可得，点C在线段的上方，故点A不在线段上，故本选项符合题意； C、由图可得，射线与线段有交点，故射线与线段有公共点，故本选项不符合题意； D、由图可得，点A为直线a、b的公共点，故直线a、b相交于点A，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．根据如图所示的图形填空： (1)点B在直线_________，点C在直线_________； (2)点E是直线与_________直线_________的交点，直线与直线相交于点_________； (3)过点A的直线有_________条，分别是__________________． 【答案】(1)上，外 (2) (3)3，直线，直线，直线 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键． （1）观察图形，根据点与直线的位置关系进行判断即可； （2）确定经过点E的直线是哪两条即可得出结论；观察图形确定直线与直线的交点即可； （3）观察图形确定过点A的直线即可解答． 【详解】（1）解：点B在直线上，点C在直线外， 故答案为：上，外； （2）解：点E是直线与直线的交点，直线与直线相交于点F， 故答案为：； （3）解：过A点的直线有3条，分别是直线，直线，直线， 故答案为：3，直线，直线，直线． 知识点02 直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 【易错提醒】 直线性质易错警示：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。注意：“有且只有”包含存在性与唯一性。两条直线相交只有一个交点。勿将“两点确定一条直线”误认为“两点之间线段最短”（那是线段性质）。 即时即练1．如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，读用所学的数学知识解释它这样操作的原因是 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查直线的性质：两点确定一条直线，熟记性质是解题的关键． 【详解】建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙，其依据的基本事实是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 题型1 线段、射线、直线的联系与区别 【例1】下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线．根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线． 故选：B． 【例2】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 【技巧归纳】 直线无端点向两方无限延伸，射线有一个端点向一方延伸，线段有两个端点有长度。区别在于端点数和延伸方向，联系：线段和射线是直线的一部分。注意表示方法：线段AB、射线OA、直线l。解题时根据条件画图。 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．直线与直线是同一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据相关知识逐项分析判断即可， 【详解】解：、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，原选项说法错误，不符合题意； 、延长线段和延长线段的含义是不相同的，原选项说法错误，不符合题意； 、直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，原选项说法错误，不符合题意； 、直线与直线是同一条直线，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式1-2】下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 题型2 点与线的位置关系 【例3】正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】此题考查了网格作图，延长线段即可得到答案． 【详解】解：如图，可知直线经过的点是点， 故选：C． 【例4】如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 点在直线上（属于）或直线外（不属于）。判断时，若点在直线上则满足直线方程；用几何画图可直观。不在同一直线上的三点确定一个平面（立体）。解题时分类：点在线段上（包括端点）或延长线上。注意“射线”方向：点在射线上需满足方向。多用图形辅助。 【变式2-1】如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线和线段的概念．根据直线、线段的概念求解即可． 【详解】A．点B在直线上，正确，不符合题意； B．点A在直线外，正确，不符合题意； C．点C在线段上，正确，不符合题意； D．点M在线段的延长线上，原表述不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】如图，下面说法中错误的是（   ）    A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查点与线的位置关系，解题的关键是掌握点与线的位置关系．根据点与线的位置关系求解即可． 【详解】解：A、点B在直线上，本选项说法正确； B、点A在直线外，本选项说法正确； C、点C在线段上，本选项说法正确； D、点M在射线上，本选项说法错误． 故选：D 题型3 两点确定一条直线 【例5】如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键；根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的依据是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 【例6】李明值日时，发现桌子不整齐，他想了一下，先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿就把课桌摆整齐了．这是因为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，即两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题关键． 根据直线的性质即可求解． 【详解】解：根据两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【技巧归纳】 过两点有且只有一条直线。应用：作图时连接两点；判断三点共线时，只需验证其中两点确定的直线是否过第三点。若给出多个点，求直线条数：n个点最多有n(n-1)/2条（无三点共线）。最短路径：两点之间线段最短。常见于生活应用。 【变式3-1】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线．上述“画参照线”方法的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确把握直线的性质是解题关键．直接利用直线的性质分析得出答案． 【详解】解：上述“画参照线”方法的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【变式3-2】墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 题型4 直线相交的交点个数问题 【例7】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 【例8】如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 【答案】21 【分析】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 四条直线相交最多的交点个数可通过画图得出交点个数，通过继续增加直线的条数可以找出规律即可解答； 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即； 三条直线相交最多有3个交点，即； 四条直线相交最多有6个交点，即， 五条直线相交最多有10个交点，即， …… ∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且）． ∴当时，最多有个交点 故答案为：． 【技巧归纳】 n条直线最多交点数为n(n-1)/2（无平行、无三线共点）。若平行，交点减少；若三线共点，交点减少。计算时考虑特殊情况。如4条最多6个。也可由已知交点反推直线条数。注意“同一平面内”前提。使用组合数C(n,2)计算。分类讨论。 【变式4-1】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【变式4-2】观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点； 7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点， … n条直线相交最多有个交点； 故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分； 2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分； 4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分； 6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分； … n条直线最多把平面分成； 故答案为：，，，； 题型5 画直线、射线、线段 【例9】如图所示，已知：四点A，B，C，D．根据下列语句，画出图形．    (1)画直线，线段． (2)画射线，相交于点O． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直线、射线与线段，解决本题的关键是根据直线、射线与线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，线段； （2）根据射线有一个端点、向一个方向无限延伸，画出射线，，相交于点． 【详解】（1）如图所示，直线，线段即为所求；    （2）如图所示，射线，即为所求．    【例10】已知三点A，B，C，请用尺规按要求完成下列作图．（保留画图痕迹） (1)画直线． (2)画射线． (3)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是直线、射线、线段的概念与作法，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键． （1）过点A，B作直线即可； （2）作射线即可； （3）连接并延长在射线上依次截取线段等于和即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，即为所求． 【技巧归纳】 画线段：连接两点，标端点；画射线：从端点出发向一个方向延伸，标端点；画直线：过两点向两端延伸，不标端点。使用直尺，虚线表示延长部分。注意标注字母。根据题目要求，区分延伸方向。射线有方向性，直线无方向。尺规作图保持清晰。 【变式5-1】如图，平面上有四个点，按照下列语句画图： (1)画射线，直线交于E点； (2)画线段，并将其反向延长至F，使得； (3)连接，在上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了线段直线射线的作图和两点之间线段最短，准确作图是关键． （1）画射线，直线相交于E点即可； （2）延长，再截取，使得； （3）连接，交于点P，根据两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，射线，直线即为所求， （2）如图，即为所求， （3）如图，点P即为所求， 【变式5-2】如图，平面上有五个点．按下列要求画出图形． (1)连接； (2)画直线交于点M； (3)画射线； (4)请在平面上找一点O，使它与点B，C，D，E的距离之和最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了基本的几何作图，包括连线、直线、射线的画法，以及“两点之间，线段最短”这一性质，正确理解题意并作图是解决本题的关键． （1）根据连线的画法作图即可； （2）根据直线的画法作图即可； （3）根据射线的画法作图即可； （4）根据“两点之间，线段最短”这一性质作图即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： （3）解：作图如下： （4）解：连接， ∵使它与点B，C，D，E的距离之和最小， 则，， ∴与的交点O可使它与点B，C，D，E的距离之和最小， 作图如下： 一、单选题 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【分析】根据直线、线段、射线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线上的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线和射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意． 2．下列关于画图的语言叙述正确的是（    ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点 D．过，，三点画一条直线 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的基本性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：、∵直线两端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画直线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵射线一端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画射线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵线段有固定端点，可延长， ∴延长线段到点是正确的作图叙述，符合题意； 、∵，，三点不一定在同一条直线上，只有三点共线时才能画出一条直线， ∴过，，三点画一条直线的表述错误，不符合题意． 3．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 4．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 5．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用线段的数量求解． 【详解】解：该图形中线段的条数为（条）， ∴需印制车票的种类数量是． 二、填空题 6．把序号填在括号里．___________是直线，___________是射线，___________是线段． 【答案】 ①⑤/⑤① ④ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟知它们的定义是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义解答即可． 【详解】解：①⑤是直线，④是射线，②⑥是线段， 故答案为：①⑤，④，②⑥． 7．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的定义和性质，根据直线的定义和性质，直线是向两方无限延伸的，没有端点． 【详解】①线段向两方无限延长后，两端无限延伸，形成直线，正确；②射线反向延长后，变为向两方无限延伸，形成直线，正确；③直线没有端点，正确；④直线没有端点，因此说有无数个端点错误． 故答案为：①②③． 8．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 9．往返于甲、乙两地的火车，中途停靠9站，需要准备_____种不同的车票． 【答案】 110 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 总站数为个，此问题可转化为求11个站点之间构成的线段数量，再考虑方向性即可求解． 【详解】解：甲、乙两地和中途停靠站，共个站， 车票种类由起点和终点决定，且往返车票不同， 需要准备不同的车票数为． 故答案为：． 10．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示． 12．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 【答案】(1)； (2)； (3)枚徽章． 【分析】（）根据线段的定义求解即可； （）根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （）设共有名成员参加活动，由题意得，则要送出的徽章总数为，从而求解． 【详解】（1）解：图中线段为：，，，，，，，，，，共条， 故答案为：； （2）解：该线段中共有， 故答案为：； （3）解：设共有名成员参加活动，由题意得，， 所以要送出的徽章总数为， 答：总共要送出枚徽章． 13．画图：已知A、B、C、D四点，根据要求画图． (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上取点P，使的值最小； (5)连接DC，并反向延长至点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：如图，点即为所求； （5）解：如图，点即为所求． 14．观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)三条直线相交，最多有3个交点 (2)四条直线相交，最多有6个交点 (3)n条直线相交，最多有个交点 【分析】本题考查的是直线两两相交的交点数量的探究． （1）结合图形，根据直线两两相交且交点不重合时最多分析求解，即可解题； （2）结合图形，根据直线两两相交且交点不重合时最多分析求解，即可解题； （3）先分别找出两条直线，三条直线，四条直线的最多交点数量规律，再总结归纳得出n条直线相交，最多有交点个数的规律，即可解题． 【详解】（1）解：如题图，三条直线相交，最多有3个交点； （2）解：如题图，四条直线相交，最多有6个交点； （3）解：两条直线相交，有1个交点； 三条直线相交，最多有个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 依次类推， 写出n条直线相交，最多有个交点． 15．课本问题 如图，以A、B、C、D四点中的两点为端点的线段共有多少条？ (1)【解题回顾】解：以A为端点的线段有3条，以B为端点的线段有2条，以C为端点的线段有1条，所以一共有 条． (2)【一般化探索】如图①，线段上有n个点，求图①中线段共有多少条？ (3)【类比探究】在如图②所示的（边长都是8个单位长度）的正方形网格中，求图②中正方形共有多少个？ (4)在如图③所示的的立方体中有多少个小立方体？ 【答案】(1)6 (2) (3)204 (4) 【分析】（1）将以A、B、C三个端点线段条数求和即可； （2）类比（1）得到规律求解即可； （3）类比（2）得到规律求解即可； （4）类比（3）得到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵以A为端点的线段有3条，以B为端点的线段有2条，以C为端点的线段有1条， ∴一共有（条）． 故答案为：6． （2）解：∵线段上有n个点，不妨记为， 则以为端点的线段有条， 以为端点的线段有条（不以为端点的）， 以为端点的线段有条（不以为端点的）， …… 以为端点的线段有0条， 故图①中共有线段（条）． （3）解：∵正方形网格规格可设为， ∴边长分别为8，7，6，…，1的正方形， 则边长为的有个， 的有个， 的有个， … 的有个， 故图②中共有正方形（个）． （4）解：将正方体分为，，，…，规格， 即棱长为8的有个， 7的有个， 6的有个， … 1的有个， 故图③中有（个）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第15讲线段、射线、直线 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1线段、射线、直线的联系与区别 题型2点与线的位置关系 题型3两点确定一条直线 题型4直线相交的交点个数问题 题型5画直线、射线、线段 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.在现实情境中理解线段、射线、直线的概念，能用自己的语言描述它们的 特征。 线段、射线、直线、 2.掌握线段、射线、直线的表示方法（用两个大写字母或一个小写字母）， 端点、延伸、表示方 能正确读、写并识别图形。 法、两点确定一条直 3.理解线段、射线、直线的区别与联系（如线段有两个端点，射线有一个端 线。 点并向一方延伸，直线无端点并向两方延伸)。 4.掌握“两点确定一条直线”的基本事实，能用它解释和解决实际生活中的 问题。 学习重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，理解它们之间的区别与联系。 学习难点：理解“两点确定一条直线”的几何事实，并能灵活运用它解决实际问题；正确区分射线 (注意端点字母在前)的表示方法。 02 教材全解 知|识1框|架 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义 两点之间直的部分 用两个端点字母表示 线段 表示方法 射线端点混淆 用小写字母表示 高频易错点 直线表示不规范 有两个端点 特征 有长度可度量 图形识别与表示 不能延伸 线段射线直线区分 高频考点 定义 从一点向一方无限延伸 两点确定直线应用 有一个公共点 相交 射线 表示方法 用端点和射线上一点字母表示 两线位置关系 线段、射线、直线 有一个端点 没有公共点 平行 特征 向一方无限延伸 点在线上 点与线的位置关系 不可度量长度 点在线外 定义 向两方无限延伸 两点确定一条直线 基本事实 用两个点字母表示 两点之间线段最短 直线 表示方法 用小写字母表示 没有端点 特征 向两方无限延伸 不可度量长度 知1识I精I讲 知识点0】线段、射线、直线的概念 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段 a;线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射 线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线1；直线， 直线AB;直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 a ● a ● e A B A B A B 端点个数 无 一个 两个 直线a 射线a 线段a 表示法 直线AB(BA) 射线AB 线段AB(BA) 作法叙述 作直线a 作射线a 作线段a 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 作线段AB 作直线AB 作射线AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【易错提醒】 线段、射线、直线易错警示：线段有两个端点，可度量；射线有一个端点，向一方无限延伸：直线无端 点，向两方无限延伸。注意：射线与直线不能用长度度量。表示时射线端点在前（如射线OA)，直线可 用两个大写字母或小写。 即时即练1 下列说法错误的是() A 直线1经过点A B 点C在线段上 A B AB 射线 与线段 有公共点D. 直线a,b相交于点A B CD AB b 2.根据如图所示的图形填空： (I)点B在直线AD 点C在直线AD (2)点E是直线与 直线 的交点，直线BC与直线AE相交于点 (3)过点A的直线有 条，分别是 知识点02直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.两条直线相交，只有一个交点 【易错提醒】 直线性质易错警示：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。注意：“有且只有”包含存在性 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与唯一性。两条直线相交只有一个交点。勿将“两点确定一条直线”误认为“两点之间线段最短”（那是 线段性质) 。 即时即练1.如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，读用所学的数学知识解 释它这样操作的原因是 03 题型突破 题型1线段、射线、直线的联系与区别 【例1】下列直线的表示方法正确的是() A,直线Ab A B 直线AB c.直线ab p b D 直线bA 【例2】如图，下列说法错误的是(）· A B C A.图中共有2条线段 B.直线AB与直线AC表示的是同一条直线 C.射线AB与射线AC表示的是同一条射线 D.线段AC与线段CA表示的是同一条线段 【技巧归纳】 直线无端点向两方无限延伸，射线有一个端点向一方延伸，线段有两个端点有长度。区别在于端点数和延 伸方向，联系：线段和射线是直线的一部分。注意表示方法：线段AB、射线O4、直线1。解题时根据条 件画图。 【变式1-1】下列说法正确的是() A.射线AB和射线BA是同一条射线 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 C.延长直线AB D.直线AB与直线BA是同一条直线 【变式1-2】下列说法：(1)两点确定一条直线：(2)画一条射线，使它的长度为3cm;(3)线段AB 和线段BA是同一条线段；(4)射线AB和射线BA是同一条射线；(5)直线AB和直线BA是同一条直线. 其中错误的有()个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型2点与线的位置关系 【例3】正方形网格中，直线P经过的点是() A.点A B.点B C.点C D.点D 【例4】如图，直线1与直线m相交于点0，下列说法错误的是() P. A/OB A.点A在直线m外 B.点P在直线I上 C.点B在线段OA的反向延长线上 D.直线m与线段AB相交于点O 【技巧归纳】 点在直线上（属于）或直线外（不属于）。判断时，若点在直线上则满足直线方程；用几何画图可直观。 不在同一直线上的三点确定一个平面（立体）。解题时分类：点在线段上（包括端点）或延长线上。注意 “射线”方向：点在射线上需满足方向。多用图形辅助。 【变式2-1】如图，下列说法中，错误的是（) A● M C B 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.点B在直线MC上 B.点A在直线BC外 C.点C在线段MB上 D.点M在线段CB的延长线上 【变式2-2】如图，下面说法中错误的是() A。 M C B A.点B在直线MC上 B.点A在直线BC外 C.点C在线段MB上 D.点M在线段BC上 题型3两点确定一条直线 【例5】如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 【例6】李明值日时，发现桌子不整齐，他想了一下，先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆 中间的课桌，一会儿就把课桌摆整齐了.这是因为 【技巧归纳】 过两点有且只有一条直线。应用：作图时连接两点；判断三点共线时，只需验证其中两点确定的直线是否 过第三点。若给出多个点，求直线条数：n个点最多有(-1)/2条（无三点共线）。最短路径：两点之间 线段最短。常见于生活应用。 【变式31】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办 法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后 松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线.上述“画参照线”方法的依据是 【变式3-2】墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具.如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画 出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点 就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是：一 6/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4直线相交的交点个数问题 【例】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线a,则直线a和原来三条直线 最少有 一个交点 【例8】如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交 点，则七条直线相交最多有 个交点. 【技巧归纳】 条直线最多交点数为(m-1)/2(无平行、无三线共点)。若平行，交点减少；若三线共点，交点减少。计 算时考虑特殊情况。如4条最多6个。也可由已知交点反推直线条数。注意“同一平面内”前提。使用组 合数C(m,2)计算。分类讨论。 【变式41】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点：4条直线两两相交，最多有6个交点：5条 直线两两相交，最多有10个交点；“；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点 【变式42】观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： × 图(1) 图(2) 图(3) (1)在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交最多有 个交点，…，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最 多有 个交点： (2)在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面 分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，…，像这样，8条直线最多把平面 分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分 题型5画直线、射线、线段 【例9】如图所示，己知：四点A,B,C,D.根据下列语句，画出图形. A· B I)画直线AB,线段CD (2)画射线AC,BD,相交于点O 【例10】已知三点A,B,C,请用尺规按要求完成下列作图.（保留画图痕迹） A .B C· (I)画直线AB」 (2)画射线AC (3)连接BC并延长BC到D,使得DC=AB+BC. 【技巧归纳】 画线段：连接两点，标端点：画射线：从端点出发向一个方向延伸，标端点；画直线：过两点向两端延 伸，不标端点。使用直尺，虚线表示延长部分。注意标注字母。根据题目要求，区分延伸方向。射线有方 向性，直线无方向。尺规作图保持清晰。 【变式5-1】如图，平面上有四个点A,B,C,D,按照下列语句画图： 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B D (I)画射线AB,直线CD交于E点： (②)画线段BC,并将其反向延长至F,使得BF=BC: 3)连接AC,在AC上找一点P,使得PB+PD最短. 【变式5-2】如图，平面上有五个点4，B,C,D,E.按下列要求画出图形. A. ·E B D (1)连接BD; (2)画直线AC交BD于点M; (3)画射线CB: 4)请在平面上找一点O,使它与点B,C,D,E的距离之和最小（保留作图痕迹）· 04过关检测 一、单选题 1.如图，下列说法正确的是() 0 B A.直线OB和直线BO不是同一条直线B.点B是直线AB的一个端点 C.射线OA和射线OB不是同一条射线D.图中共有3条线段 2.下列关于画图的语言叙述正确的是() A.画直线AB=10cm B.画射线OB=10cm C.延长线段AB到点C D.过A,B,C三点画一条直线 3.下列几何图形与相应语言描述不相符的是()· 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P a C B B B A 甲 乙 丙 A.如图乙所示，直线a与直线b交于点OB.如图甲所示，直线AB不经过点P C.如图丁所示，线段AB与射线CD一定相交D.如图丙所示，点C在线段AB上 4.生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大 距离（如图所示），以下估计正确的是() 1拃 A.一支水笔的长度约1拃 B.课桌的高度约2拃 C.黑板的长度约3拃 D.试卷的宽度约6拃 5.如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需 印制车票的种类数量是() A B C D E A.4 B.8 C.10 D.20 二、填空题 6.把序号填在括号里。 是直线， 是射线， 是线段 ① ② ③ ⑤ ⑥ 7.关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线：③直线 没有端点；④直线有无数个端点，其中正确的是 (填序号) 8.如图，已知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线 段是 10/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m 挡板 b'c 9.往返于甲、乙两地的火车，中途停靠9站，需要准备_种不同的车票 10.两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点A处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置 点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）· H. ULNNLLL .w. 0 10111111101000 B. 006606160006601 A 三、解答题 11.如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形： P M (I)画射线NP； (2)画直线MP: B)连接MN,并延长MN至点R,使NR=MN. 12.观察下图，并解决下列问题： A B C D E 【模型构建】 (1)图中共有 条线段： (2)若线段上标记了m个点（含线段的两个端点），则该线段中共有 条线段： 3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节，己知每两名成员之间要合作完成一次双 人游戏，总共完成了45次双人游戏.若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.画图：己知A、B、C、D四点，根据要求画图. A ●B D。 ℃ (I)画直线AB: (2)画射线AD: (3)画线段BD: 4)在线段BD上取点P,使PA+PC的值最小： (⑤)连接DC,并反向延长DC至点E,使DE=CD 14.观察下列直线相交的情况： ×X (1)两条直线相交，有1个交点：三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）· 15.课本问题 如图，以A、B、C、D四点中的两点为端点的线段共有多少条？ A B C D 图① 图② 图③ (I)【解题回顾】解：以A为端点的线段有3条，以B为端点的线段有2条，以C为端点的线段有1条，所 以一共有条。 (2)【一般化探索】如图①，线段AB上有n个点，求图①中线段共有多少条？ (3)【类比探究】在如图②所示的8×8（边长都是8个单位长度）的正方形网格中，求图②中正方形共有多 少个？ (4)在如图③所示的8×8×8的立方体中有多少个小立方体？ 12112