专项训练04 线段上的动点问题（巩固培优）新七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“位置表示-等量关系-分类讨论”为核心方法体系，系统构建线段动点问题解题逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点1|3要点|动点位置含t表示、距离比例等量关系、分类讨论与多解验证|从基础表示到等量关系建立，再到复杂情境分类，层层递进| |题型1-4|8典例|线段长计算用位置表达式、定值问题抓不变量、时间求解列方程、新定义问题转化模型|题型覆盖中考高频考法，方法与知识点一一对应，实现以题载法|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练04线段上的动点问题 知识复盘卡 【知识点1线段上的动点问题】 1.动点位置的表示（含时间参数） -基本公式：点P从端点A出发，速度为V,运动时间为t: 向端点B运动：AP=t,PB=AB-t。 若从B向A运动：BP=t,PA-AB-t。 -关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。 -多动点：分别用含t的式子表示各自的位置（用距离或比例）。 2.核心等量关系：距离与比例 -距离相等：如AP=PB(中点)，列方程t=AB-t。 -距离和/差为定值：如AP+PB=AB(恒成立，无新信息)；AP-PB=d(需讨论P的位置)。 vt。m -比例关系：如AP:PB=m:n,列比例方程AB一t=n· -折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B再返回A)。 3.分类讨论与多解验证 -位置不确定：点P可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP>PB或AP<PB)。 ~绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t后需验证是否在运动时间范围内。 -多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1线段上含动点求线段长问题】 1.已知：M是线段AB上一定点，C,D两点分别从M,B出发以lcm/s,3cms的速度沿直线BA向A,M 运动，运动方向如箭头所示。 119 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D B ()若AB=10cm,当点C,D运动2秒时，求AC+MD的值. (2)若C,D运动时，总有MD=3AC,则AM= AB MN 3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,AB的值为 2.琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣。 如图1，图2，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=10,AC=6,求MN的长. A M C N B A M CN B 图1 图2 (I)根据题意，琪琪求得MN=_; (2)琪琪在求解(1)的过程中，发现MW的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开 始深入探究， 己知AB=a,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解 答： ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN-: ②物图2，丛N分别为靠i近A,B的4CBC的三等分点，即W-写4C,BN=BC,求y的长： 3 ③若N分别为前近4B的AC:BC的n等分点：即仙-4C.BN=C,则w- 【题型2，线段上含动点求定值问题】 3.已知线段AB=m,CD=n,线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 m-12+(6-n)=0」 AC DB (I)求线段AB,CD的长： (2)若点M,N分别为线段AC,BD的中点，BC=4,求线段MN的长； (3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，P是线段AB延长线上任意一点，有下列两个结论：① PA-PB PA+PB PC是定值，②PC是定值，请选出正确的结论并求出该定值。 4.如图线段AB=12,动点Q从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，点M为线段AQ的 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中点，点N为线段BQ的中点，设运动时间为t. AMO N B A B 备用图 (1)当点Q在射线AB上运动时， ①当t=2时，线段MB的长度为 ②线段MN的长度为 (2)当点在线段AB上运动时，下列2个结论中：①2MB-B0为定值：②2MB+BO为定值.正确的结论 是 一，说明理由并求其值， (③)若动点O出发时，动点p也同时从点B出发，以]个单位长度秒沿射线BA运动.P+BM是否存在 最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由. 【题型3线段上含动点求时间问题】 5.如图，已知点C在线段AB上，AC=2BC,AB=18.点D,点E在直线AB上，满足DE=8,且点D 在点E的左侧. A (I)当E为BC中点时，求AD的长： (②)点F(异于A,B,C三点)在线段AB上，AF=3AD,CE+EF=3,求AD的长； (3)若点D从点A处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段AB向右运动，点E随之向右运动，设运动时间 为t秒，求出当点D或点E三等分线段AB时t的值. 6.如图，线段AB=5cm,AC:CB=3:2,点P以0.5cms的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q 以1cms从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C一→B一.运动），当点P运动到点C时， 点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒. C B (1)当t=1时，PQ=cm: (2)当t为何值时，点C为线段PO的中点？ 3/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存 在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由。 【题型4线段上含动点的新定义型问题】 7.综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用己有经验，对“优点”进行研究.定义： 点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC,则称点C是线段AB的“优点”，线段AC,BC称作互为 “优点”伴侣线段。 0E F 4 -2-1012345678 图1 图2 (1)观察判断 如图1，点C为线段AB的“优点”. ①若AC=8,AC<BC,则AB=一； ②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C),则AC一BD(填“=”或“≠”）： (2)性质探究 如图2，在原点为O的数轴上有E,F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4.若点M在点N的 左侧，且M,N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长； (3)拓展应用 在(2)的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，求点G表示 的数. 8.对于数轴上A,B,M,N四点，给出如下定义：当点M在线段AB上（不与点A,B重合）， d=AM-BM称为点M关于线段AB的“内差距”；当点N在线段AB外，d,=AN-BN称为点N关于 线段AB的“外差距”. 如图，点A表示的数为-5，点B表示的数为4.若点M表示的数为-1，则“内差距”④，=1；若点N表示 的数为5，则“外差距”d,=9 M BN -5 -1 45 (I)已知点A表示的数为-7，点B表示的数为3， 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若点M关于线段AB的“内差距”4，=0，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为，点M关于线段AB的“内差距”为，点N关于线段AB的“外差距”为2，且 d+d2=12,求m的值： (②)点A表示的数为x,A0=5,点9关于线段AB的“外差距”d,=16,原点0关于线段AB的“内差 距”d,若d=24,求点0表示的数. ★能力培优练 1.已知点证是线段B上一点，若4M-品，点V是直线5上的-动点：且N-BN=N,则 的() 3 3 A.4 B. C.1或 D.4或2 2.如图，已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6,动点P从点A出 发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M,N始终为AP,BP的中点， 设运动时间为(t>0)秒，则下列结论中正确的有() ①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3:③BP=2时，t=2:④在点P的运动过程中，线段N的 长度不变. B N+PMA 0 A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 3.己知线段AB=24cm,动点P从点A出发，以每秒6cm的速度沿AB向右运动，同时，动点Q从点B出 发，以每秒4cm的速度沿BA向左运动，设运动时间为t秒(0<t<4).在整个运动过程中，请你用t的式子 表示线段P№的长= A B 4,数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三 点满足“中点关系”·己知，如图点A,B表示的数分别为-2,6，点C为数轴上一动点.若A,B,C 5/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为一· A B -8-7-6 -5-4-3-2-10123456789 5.如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC=8.动点P从点B 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为(>0)秒 0i4 (I)直接写出数轴上点C表示的数： (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段CP的长度： (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是AP的中点，N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN是否 发生变化？若有变化，请说明理由；若不变，请求出MW的长度， 6.如图，数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速 度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设点C运动 时间为t秒(t>0) B 0 (1)①A,B两点之间的距离为 一，线段AB的中点表示的数为， ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为 一，点D表示的数为 (2)当t=4时，描述C、D两点的位置关系. (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE-CD的 值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由. 7.如图，0为数轴的原点，A0=5,BD=6,O为BD的中点，C为AB的中点. A D CO B、 (1)求C0的长度： (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点从O出发，以每秒1个 单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒(>0)，当1满足什么条件时，AP+2B0有最小值，并 求出该最小值。 8.综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，己知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为-2和 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 A B -20 8 实践探究 (1)线段AB的长为 (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(t>0)秒， ①当0<t<5时，线段PA=一，线段PB=一，点P表示的数为 ：(用含t的代数式 表示) ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，当动点P在(2)条件下运动时，线段MN的长度是 否与点P的运动时间t有关.若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出 线段MN的长度. ★创新拓展练 1.如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条 线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“奇点”. B 图① 【新知理解】 (1)线段的中点」 这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 (2)若点A和点B在数轴上表示的数分别是-10和14，点C是线段AB的“奇点”，求点C在数轴上表示 的数、 【应用拓展】 (3)如图②，已知AB=24cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B 出发，以lcm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设 移动的时间为s.当点P是线段AQ的“奇点”时，直接写出运动时间t的所有可能值. A B 图② 2.如图①，点M是线段AB上任意一点，图中共有三条线段AB、AM和BM,若其中的两条较短线段中有 7/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“友好点”. M B D 图① 图② A B 图③ (I)若AB=l2cm,点M是线段AB上靠近点A的“友好点”，求BM的长： (②)如图②，若CD=24cm,点M是线段CD的“友好点”，点N是线段CD的中点，则MN+MC= cm; (3)如图③，已知AB=24cm,动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发， 以3c/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止.设移动的时 间为，请求出t为何值时，A、PQ三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”、 3.如图，已知数轴上原点为0，点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足(a-10)+b+4=0 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(>0)秒. A (1)写出数轴上点A表示的数是 ,点B表示的数是 点P表示的数是 (用含t的式子表示)： (2)设点M是AP的中点，点N是PB的中点.点P在直线AB上运动的过程中，线段MN的长度是否会发生 变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MW的长度。 (3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点O出发，以每秒3个 单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,Q,R同时出发；若点P,R间的距离记为PR,点P,Q间的距 离记为P吧，是否存在一个数n,使得nPR-P的值与1无关？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明 理由 4.定义：若点A,B,C在同一直线上，且AB=mAC,则dABc=m.例如AB=6,AC=3,则ABc=2 Q P -2 图1 A B 图2 A 备用图 (1)如图1，O为数轴的原点，点P,Q表示的数分别为4和-2，则og= 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，已知线段AB=12Cm,点P从点A出发向右运动，点Q从点B出发向左运动，若点P运动速度为 lcm/s,点Q的运动速度为2cm/s.设运动时间为t. ①请用含有t的代数式分别表示dAPs和dAoB. 1 ②当，为何值时，dAos-dAPs= Γ2 1 ③若线段PO的中点为M,直接写出dw=3时，的值. 5.定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2倍关系，即AC=2BC或BC=2AC, 则称点C是线段AB的“倍距点” P→ MN→ C B C 图1 图2 ()线段AB的中点该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知AB=9,点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC=- (3)如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点. ①现有一动点P从原点0出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒(>0)，求 当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN(如图2，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位的速度 沿数轴向右匀速运动.当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值. 9/9 专项训练04 线段上的动点问题 【知识点1 线段上的动点问题】 1. 动点位置的表示（含时间参数） - 基本公式：点P 从端点A出发，速度为v，运动时间为t： - 向端点B运动：AP = vt，PB = AB - vt。 - 若从B向 A运动：BP = vt，PA = AB - vt 。 - 关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。 - 多动点：分别用含 t 的式子表示各自的位置（用距离或比例）。 2. 核心等量关系：距离与比例 - 距离相等：如AP = PB（中点），列方程 vt = AB - vt 。 - 距离和/差为定值：如AP + PB = AB（恒成立，无新信息）； AP - PB = d （需讨论P 的位置）。 - 比例关系：如 AP : PB = m : n ，列比例方程 = 。 - 折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B再返回A ）。 3. 分类讨论与多解验证 - 位置不确定：点P可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP > PB或AP < PB）。 - 绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t后需验证是否在运动时间范围内。 - 多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。 【题型1 线段上含动点求线段长问题】 1．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 2．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算； （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； ②根据、，可知、，所以可得，从而可得； ③由，，知，，即得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）①因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【题型2 线段上含动点求定值问题】 3．已知线段，，线段在直线上运动(点A 在点 B 的左侧，点C在点D的左侧)，且． (1)求线段，的长； (2)若点 M，N 分别为线段，的中点，，求线段的长； (3)当运动到某一时刻时，点D 与点 B 重合，P是线段延长线上任意一点，有下列两个结论：① 是定值， ②是定值，请选出正确的结论并求出该定值． 【答案】(1)，． (2)9 (3)②正确，2 【分析】本题考查了非负数的性质、线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由非负数的性质求出，，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点C在点B 的右侧时，②当点C在点B 的左侧时，分别计算即可得出结果； （3）由题意可得，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 即，． （2）解：①当点C在点B 的右侧时，如图1所示． ∵M，N分别为线段，的中点，， ∴，， ∵， ∴． ②当点C在点B 的左侧时，如图2 所示． ∵M，N分别为线段，的中点，， ∴ ∵， ∴； 综上所述，线段的长为9； （3）解：②正确，且， ∵点 D与点B 重合， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，为定值，理由见解析 (3)存在，的最小值为 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段的长度； ②利用中点性质分别表示出和，再通过线段和差求出的长度； （2）用含时间的代数式分别表示和，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值； （3）建立数轴模型，用绝对值表示和，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． （2）解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． 【题型3 线段上含动点求时间问题】 5．如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 【答案】(1)7 (2)的长为3或5 (3)当或或时，点或点三等分线段 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）首先根据得到，，然后由线段中点的概念得到，然后利用线段的和差关系求解即可； （2）根据题意分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，然后分别根据线段的和差关系求解即可； （3）根据题意分点E为线段靠近点B的三等分点，点为线段靠近点的三等分点和点运动到线段靠近点的三等分点，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图， 因为，， 所以，． 因为为中点， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：①当点在点的左侧时，如图， 因为，， 所以点是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以； ②当点在点的右侧时，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以． 其他情况不存在，舍去． 综上所述，的长为3或5． （3）解：当点E为线段靠近点B的三等分点时， 此时，， 所以， 所以点D向右运动了秒，即； 当点为线段AB靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即； 当点运动到线段靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即． 综上所述，当或或时，点或点三等分线段． 6．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【题型4 线段上含动点的新定义型问题】 7．综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则_____； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则_____（填“＝”或“≠”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4．若点在点的左侧，且均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，求点表示的数． 【答案】(1)①24；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出，与的数量关系即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：24； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴，即 由①得， ∴，即 ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为， 综上，点表示的数为或10． 8．对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． 【答案】(1)①见解析；②或 (2)或 【分析】本题考查线段的和差关系，绝对值，掌握“内差距”“外差距”的定义是解题的关键． （1）①由可得，进而可得；②先根据“外差距”的定义求出，进而可得，再根据，求出，分和两种情况，分别计算即可； （2）根据，可得，根据，可得，进而可得或4，或，分点Q在点A右侧与左侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：①∵点M关于线段的“内差距”， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点； ②∵点N关于线段的“外差距”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M关于线段的“内差距”为， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述，m的值为或； （2）解：∵点Q关于线段的“外差距”， ∴， ∵原点O关于线段的“内差距”为，， ∴， ∴或， ∴或4， ∴或， 当点Q在点A右侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或4， ∴点Q表示的数为9或17， 当点Q在点A左侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或 ∴点Q表示的数为或， 综上所述，点Q表示的数为或. 1．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题． 【详解】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 2．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据两点间距离进行计算即可； ②利用路程除以速度即可； ③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可； ④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：设点B对应的数是x， ∵点A对应的数为4，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴点B对应的数是-2，故①错误； 由题意得： 6÷2=3（秒）， ∴点P到达点B时，t=3，故②正确； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴4÷2=2（秒）， ∴BP=2时，t=2， 当点P在点B的左侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴8÷2=4（秒）， ∴BP=2时，t=4， 综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ∴，， ∴， 当点P在点B的左侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ，， ∴， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确． 所以，上列结论中正确的是②④． 故选：D． 3．已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 4．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为或或； 故答案为：或或． 5．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且．动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段的长度； (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段是否发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)或12 (2) (3)不发生变化， 【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标； （2）分两种情况：若点P在线段上，这时；若点P在线段的延长线上，这时；分别求解即可； （3）分两种情况分析：①如图1，当点P在线段上运动时，②如图2，当点P在的延长线上运动时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为4，C是数轴上一点，且． ∴当点C位于点A左侧时，点C表示的数为：， 当点C位于点A右侧时，点C表示的数为：， ∴点C表示的数为或12； （2）当点C在数轴的负半轴上时，点C表示的数是， ①若点P在线段上，这时， 则； ②若点P在线段的延长线上，这时， 则； 综上可得：； （3）线段的长度不发生变化.理由如下： ①如图1，当点P在线段上运动时， ； ②如图2，当点P在的延长线上运动时， ； 由上可知，线段的长度不发生变化，其值为4． 6．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 7．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)1 (2)当，有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算： （1）先根据线段中点的定义得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为，则运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t，根据两点距离计算公式得到，，则，由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和，故当时，的值最小，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为， ∴运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t， ∴，， ∴， 由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， ∴当，有最小值，最小值为． 8．综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 (1)线段的长为________； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)①，，；②的长与点P的运动时间t无关，的长度为5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （2）①由题意可得点表示的数为，再根据两点间的距离公式计算即可得解； ②分两种情况：当时，线段，线段；当时，线段，线段；分别求解即可得解． 【详解】（1）解：线段的长为； （2）解：①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴当时，线段，线段； 故答案为：； ② 当时，线段，线段； ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 当时，线段，线段， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长与点P的运动时间t无关，的长度为5． 1．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据“奇点”的定义即可求解； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，，根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； （3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； 解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：（1）设点为线段的中点， ∴， ∵点在线段上， ∴中点是线段的“奇点”， 故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和， ∴，， ∵点是线段的“奇点”， ∴点在线段上，且或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”， ∴或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 2．如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)或4或或． 【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可． （2）根据“友好点”的定义可得或可求出的长，再由中点的定义可得的长，再求出的长即可得出结果． （3）由题意可知，A不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P或Q点是“友好点”，再分别当P点是“友好点”时，和Q点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ， ， 解得， ． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”， 故P或Q点是“三等分点”． ， t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得 综上所述：或4或或． 3．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 4．定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 5．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $