15.3.1 等腰三角形 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦等腰三角形的性质与判定，以“轴对称”为切入点，通过动手剪纸、图形观察和逻辑推理，构建从直观感知到抽象概括的学习路径，形成由“定义—性质—应用”的完整知识链条，有效搭建前后知识点之间的学习支架。 资料亮点突出，体现核心素养导向。注重几何直观与推理能力培养，设计分类讨论题型强化思维严谨性，借助尺规作图训练空间观念与操作意识，习题设置层次分明，既夯实基础又拓展思维，充分展现数学眼光、数学思维与数学语言的融合运用，助力学生实现从“学会”到“会学”的转变。

 15.3.1 等腰三角形 15.3.1　第1课时　等腰三角形的性质 素养目标 1.经历用纸剪等腰三角形的过程,从轴对称的角度体会等腰三角形的特点. 2.能说出等腰三角形的性质并能简单应用. 等腰三角形的性质及应用. 【自主预习】 1.等腰三角形的两个底角有什么数量关系? 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线有什么特点? 1.如图,AD为△ABC的中线.若AB=AC,则下列结论不一定成立的是 ( ) A.BD=CD B.AD⊥BC C.∠BAD=∠CAD D.AD=CD 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,则∠B=　　　　°.  【合作探究】 知识点：等腰三角形的性质 　　阅读课本本课时全部内容,解答下列问题. 1.如图,在△ABC中,AB=AC,作底边上的中线AD. 求证:∠B=∠C,∠ADB=90°,∠BAD=∠BAC. 证明:在△BAD和△CAD中, ∴△BAD≌ (SSS),  ∴∠B= ,∠ADB= = ,∠BAD= = .  2.等腰三角形 (填“是”或“不是”)轴对称图形,对称轴有 条,对称轴是 所在的直线.  　　性质1:等腰三角形的两个 相等,简写成“ ”.符号语言:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠ .  性质2:等腰三角形的 、 、 相互重合,简写成“ ”.  1.下列说法错误的是 ( ) A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等腰三角形顶角的外角是底角的两倍 2.若在△ABC中,AB=AC,5∠B=2∠A,则∠C的度数为 .  3.如图,已知DE∥BC,AB=AC,∠1=125°,求∠C的度数. 题型1 等腰三角形与角度的分类讨论 例1　若等腰三角形一个内角为80°,则它的另外两角的度数为 .  【方法归纳交流】若给出的等腰三角形的一个角指代不明时,要对这个角是 还是 进行分类讨论.  题型2 等腰三角形性质的应用 例2　如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC.(不能用三角形全等证明) (1)如图1,若AD=AE,求证:BD=CE. (2)如图2,若BD=CE,F为DE的中点,求证:AF⊥BC. 变式训练　如图,在△ABC中,AB的中点为F,EF⊥AB交BC于点E,D为线段CE的中点,BE=AC. (1)求证:AD⊥BC. (2)若∠BAC=75°,求∠B的度数. 15.3.1　第2课时　等腰三角形的判定 素养目标 1.知道等腰三角形的判定方法并能简单运用. 2.通过探索等腰三角形的判定定理,进一步体会轴对称的特征,发展空间观念. 3.会用尺规作图的方法作等腰三角形. 等腰三角形的判定定理及应用. 【自主预习】 怎样的三角形是等腰三角形? 1.在△ABC中,若∠B=∠C,则下列说法正确的是 ( ) A.AB=BC B.AB=AC C.BC=AC D.∠A=60° 2.在△ABC中,∠A=98°,当∠B=　　　　°时,△ABC是等腰三角形.  【合作探究】 知识点一：等腰三角形的判定 　　阅读课本本课时“思考”和“例2”的内容,解答下列问题. 如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC. 证明:如图,过点A作AD⊥BC,则∠ADB= = .  在△ABD和△ACD中, , ∴△BAD≌ (AAS),  ∴AB= .  　　文字语言:如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也 .(简写成“ ”)  　　符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴ .  1.对“等角对等边”这句话的理解,正确的是 ( ) A.只要两个角相等,那么它们所对的边也相等 B.在两个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等 C.在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等 D.在一个三角形中,如果有两条边相等,那么它们所对的角也相等 2.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=90°,在射线BA上找一点D,使△ACD为等腰三角形,则∠ADC的度数为 .  3.如图,OC平分∠AOB,P是OC上任意一点,PD∥OB交OA于点D,求证:△DOP是等腰三角形. 知识点二：用尺规作等腰三角形 　　阅读课本本课时“例3”的内容,解答下列问题. 如图,已知线段AB,用直尺和圆规,以AB为底边作等腰△ABC,使高CD=AB.(不要写作法,保留作图痕迹) (新趋势)用尺规作图“已知底边和底边上的高,作等腰三角形”,有下列作法: ①作线段BC=a; ②作线段BC的垂直平分线m,交BC于点D; ③在直线m上截取DA=h,连接AB,AC. 这样作法的根据是 ( ) A.等腰三角形“三线合一” B.等腰三角形两底角相等　 C.等腰三角形两腰相等 D.等角对等边 题型1 等腰三角形个数的判断 例1　如图,在正方形方格中,方格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,那么点C的个数为 ( ) A.5　 　　B.6　 　　C.7　 　　D.8 题型2 等腰三角形判定的应用 例2　如图,已知点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,且OD∥AB,OE∥AC. (1)图中共有哪几个等腰三角形?选一个进行证明. (2)直接写出△ODE的周长与BC的长的关系. (3)若BC=12 cm,则△ODE的周长为　　　　.  变式训练　如图,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC于点E,∠D=20°. (1)求∠B的度数,并判断△ABC的形状. (2)若线段DE的延长线恰好过点B,试说明DB平分∠ABC. 课时1 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:等腰三角形的两个底角相等. 2.解:等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合. 自学检测 1.D　2.50 【合作探究】 知识点 1.AC　DC　AD　△CAD　∠C　∠ADC　90° ∠CAD 　∠BAC 2.是　1或3　顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高 归纳总结　底角　等边对等角　C　顶角平分线 底边上的中线　底边上的高　三线合一 对点训练 1.A　2.40° 3.解:∵∠1=125°,∴∠ADE=180°-125°=55°. ∵DE∥BC,AB=AC, ∴AD=AE,∠C=∠AED, ∴∠AED=∠ADE=55°. 又∵∠C=∠AED,∴∠C=55°. 题型精讲 题型1 例1　 80°,20°或50°,50° 方法归纳交流　顶角　底角 题型2 例2 证明:(1)如图,过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB=AC,AD=AE, ∴BF=CF,DF=EF, ∴BF-DF=CF-EF, ∴BD=CE. (2)∵BD=CE,F为DE的中点, ∴BD+DF=CE+EF, ∴BF=CF. 又∵AB=AC,∴AF⊥BC. 变式训练 解:(1)证明:如图,连接AE. ∵AB的中点为F,EF⊥AB交BC于点E, ∴AE=BE. ∵BE=AC, ∴AE=AC. ∵D是EC的中点,∴AD⊥BC. (2)设∠B=x°, ∵AE=BE,∴∠BAE=∠B=x°, ∴由三角形的外角的性质知∠AEC=2x°. ∵AE=AC,∴∠C=∠AEC=2x°. 在△ABC中,3x+75=180,解得x=35, ∴∠B=35°. 课时2参考答案 【自主预习】 预学思考 解:两边相等或两个角相等的三角形是等腰三角形. 自学检测 1.B　2.41 【合作探究】 知识生成 知识点一 ∠ADC　90°　∠C　∠ADC　AD　△CAD　AC 归纳总结　相等　等角对等边　AB=AC 对点训练 1.C 2.20°或70°或100° 3.证明:∵OC平分∠BOA, ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD∥OB, ∴∠DPO=∠BOC, ∴∠DPO=∠AOC, ∴DP=DO, ∴△DOP是等腰三角形. 知识点二 1.解:如图,△ABC为所作. 对点训练 A 题型精讲 题型1 例1 D 解析:如图,分情况讨论: ①当AB为等腰△ABC的底边时,符合条件的点C有4个; ②当AB为等腰△ABC的一条腰时,符合条件的点C有4个. 故选D. 题型2 例2 解:(1)图中共有两个等腰三角形,它们分别是△OBD和△OCE. 以△OBD为例. ∵BO平分∠ABC,∴∠1=∠2. 又∵OD∥AB, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴DB=OD, ∴△OBD是等腰三角形. (2)△ODE的周长与BC的长相等. (3)12 cm. 变式训练 解:(1)∵DE⊥AC于点E,∠D=20°, ∴∠CAD=70°. ∵AD∥BC, ∴∠C=∠CAD=70°. ∵∠BAC=70°, ∴∠B=40°,AB=BC, ∴△ABC是等腰三角形. (2)∵线段DE的延长线恰好过点B,DE⊥AC, ∴BD⊥AC. ∵AB=BC, ∴DB平分∠ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $