第十三章 三角形全章压轴突破8个专题（60题）（必考点分类集训）-2025-2026学年八年级数学上册必考点分类集训系列（人教版2024）

第十三章 三角形全章压轴突破8个专题（60题） 【人教版2024】 压轴突破1 三角形的三边关系的应用 1 压轴突破2 三角形的面积问题 2 压轴突破3 三角形内角和定理与外角性质的应用 2 压轴突破4 角度计算中的分类讨论思想 4 压轴突破5 含角平分线的复杂角度计算 5 压轴突破6 三角形的角度计算与折叠问题 9 压轴突破7 三角形中多结论问题 11 压轴突破8 三角形中角度计算综合探究题 13 压轴突破1 三角形的三边关系的应用 1．现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 3．设△ABC的三边分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，则边长c的取值范围是（　　） A．6＜c＜8 B．2＜c＜14 C．8≤c＜14 D．2＜c＜8 4．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 压轴突破2 三角形的面积问题 5．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 6．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高是（　　） A．3 B．6 C．12 D．1.5 7．如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　 ． 8．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 压轴突破3 三角形内角和定理与外角性质的应用 9．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α 10．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（） A．210° B．235° C．180° D．200° 11．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 12．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 13．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（　　） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 14．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（　　） A．62° B．152° C．208° D．236° 15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 16．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为 　 　 °． 17．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是 　 　 ． 18．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　 °． 压轴突破4 角度计算中的分类讨论思想 19．已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，则∠BFC的度数为　 　 ． 20．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 ． 21．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为 　 　 ． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．则∠α，∠1，∠2之间的关系为 　 　 ． 23．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分线，点F在BD所在的射线上，若CF垂直于△ABC的一边，则∠BFC的度数为 　 　 ． 24．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 　 　 度． 压轴突破5 含角平分线的复杂角度计算 25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 26．如图，BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G，∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，则∠A的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 27．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝α，则∠A2025＝（　　） A． B． C． D． 28．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（　　） A． B． C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠1 29．如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA，OB，OC，作△AOB的一条角平分线AD．若∠BAC＝α，则∠1+∠2的度数为（　　） A． B． C．160° D． 30．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB的度数是 　 　 ． 31．如图，∠ABC，∠ADC的角平分线交于点F，若∠A＝15°，∠C＝65°，则∠F的度数为　 　 ． 32．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则；以此来推，∠B、∠C的三条四等分角线分别对应交于O1、O2、O3，则；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，⋯，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C＝ 　　 （用含n和α的代数式表示）． 33．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，CD平分外角∠ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点．若∠BOC＝130°，则∠E﹣∠D的度数为　 　 ． 34．如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝25°，∠E＝30°，则∠D＝　 　 ． 35．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝40°，则∠G的度数为 　 　 ． 36．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E、F分别在边BC、AC上，∠FEC＝28°，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，则∠P的度数为　 　 ． 压轴突破6 三角形的角度计算与折叠问题 37．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（　　） A．30° B．32° C．35° D．60° 38．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 39．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　　） A．α+β B．α+2β C．2α+β D． 40．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 41．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °． 43．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　 　 ． 压轴突破7 三角形中多结论问题 44．如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，连接CO，△ABC的外角∠ACG的平分线与O的延长线交于点E，OD⊥OC交BC于点D．下列四个结论：①OD∥CE；②；③∠AOB＝∠BDO；④∠ACG＝2∠AOE．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 45．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB∠CGE．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 46．如图，AD交BC于点O，∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P，∠B＝∠D，则下列结论：①∠PAO+∠PCE＝90°；②∠PAB∠BCD；③∠P＝90°+∠D；④∠P＝90°∠B；其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 47．如图，D是△ABC的边AC上点，连接BD，CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M．△ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G．当∠CBD＝∠A时，有下列四个结论： ①∠CHD与∠G互余； ②∠CBD＝∠BCG； ③∠MHD﹣∠G＝90°； ④∠MHD＝90°+∠A． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 48．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 50．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；其中正确的是 　 　 ． 压轴突破8 三角形中角度计算综合探究题 51．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CD交于点F． （1）【问题呈现】如图①，若∠A＝100°，求∠BFC的度数； （2）【问题推广】如图②，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，则∠BFC＝ 　 　 °； （3）【问题拓展】若P，Q分别是线段AB，AC上的点，若∠AQP＝α，∠ACB＝70°，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α的式子表示）． 52．已知∠MAN＝52°，点B，C分别在AM，AN上． （1）如图1，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠MBC的平分线与∠BCN的平分线交于点O，则α+β＝　 　 °，∠O＝　 　 °； （2）如图2，点E是线段BC延长线上一点，过点E作EF⊥AN，垂足为点F，∠MAN与∠CEF的平分线交于点D，求∠ACE与∠ADE的数量关系； （3）如图3，若点G在∠MAN内部（点G不在线段BC上），∠CGB＝108°，连接BG与CG，∠GBM与∠GCN的平分线交于点H，求∠BHC的度数． 53．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系． （3）在图3中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　 （用x、y的代数式表示）． （4）在图4中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论． 54．综合与实践 在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． 【问题初探】 （1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 　 　 °； 【问题再探】 （2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系． 55．如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E． （1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数； （2）如图2，当点D在线段BC上时， ①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由； ②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由． 56．在ABC中，AE平分∠BAC，∠ACB＞∠ABC． （1）如图①，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠EAD的度数　 ； （2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠ABC，∠ACB，∠EAD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图②，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请直接写出∠ABC，∠ACB，∠EPD之间的数量关系． 57．阅读下面的材料，并解决问题． △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．图1中∠ACD＝∠A+∠B． （1）已知在△ABC中，∠A＝66°，图2﹣图4的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图2，∠O＝ 　 　 ；如图3，∠O＝ 　 　 ；如图4，∠O＝ 　 　 ； （2）在（1）的条件下，如图5，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ 　 　 ； （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的角平分线交于点O1，O2，若∠1＝105°，∠2＝125°，则∠A的度数为 　 　 ． 58．已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，当∠OCD＝40°时，∠CED的度数为　 　 ； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO； （3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数． 59．如图，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠ODC的平分线交于点P． （1）如图1，当∠AOB＝∠OCD＝60°时，∠P＝ 　 　 ． （2）如图2，当∠AOB＝60°，点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠P的大小是否变化？若变，请说明理由；若不变，请求出∠P的度数． （3）如图3，若∠OCD+∠ODC＝α（0°＜α＜180°），请直接写出∠P的度数（用含α的式子表示）． 60．如图1，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠B：∠C＝3：5，在边BC上有一点D从B向C运动，运动到点C处停止． （1）当∠ADB＝90°时，求∠CAD的度数； （2）如图2，把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M，若点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）． ①直接写出∠CAD的取值范围； ②探索∠BDM与∠BAM之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在点D从B向C运动过程中，设∠BAD＝α°，同时将BC绕点B按顺时针方向旋转β°，即∠CBC＝β°，且满足α：β＝2：3，若运动过程中AD、BC所在直线相交于点P，当∠BPD＜120°时，求α的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形全章压轴突破8个专题（60题） 【人教版2024】 压轴突破1 三角形的三边关系的应用 1 压轴突破2 三角形的三边关系的应用 3 压轴突破3 三角形内角和定理与外角性质的应用 5 压轴突破4 角度计算中的分类讨论思想 12 压轴突破5 含角平分线的复杂角度计算 19 压轴突破6 三角形的角度计算与折叠问题 29 压轴突破7 三角形中多结论问题 36 压轴突破8 三角形中角度计算综合探究题 47 压轴突破1 三角形的三边关系的应用 1．现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】因n段之和为定值144cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列． 【解答】解：∵每段的长为不小于1（cm）的整数， ∴最小的边最小是1， ∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形， ∴第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55， 再大时，各个小段的和大于150cm，不满足条件． 上述这些数之和为143，与144相差1，故可取1，1，2，3，5，8，13，21，34，56， 这时n的值最大，n＝10． 故选：B． 2．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 【分析】先由a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，得2c﹣6＜c＜3c﹣6，解得3＜c＜6，结合c为整数即可作答． 【解答】解：∵三角形的三边分别为a，b，c， ∴a﹣b＜c＜a+b， ∵a＞b，且a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6， ∴2c﹣6＜c＜3c﹣6， 解得3＜c＜6， ∵c为整数， ∴c的长是4或5， 故选：B． 3．设△ABC的三边分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，则边长c的取值范围是（　　） A．6＜c＜8 B．2＜c＜14 C．8≤c＜14 D．2＜c＜8 【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到关于a、b的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【解答】解：∵|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0， ∴a+b﹣14＝0，a﹣b+2＝0， 解得a＝6，b＝8， ∵b﹣a＜c＜b+a， ∴2＜c＜14， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 4．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答． 【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x， 根据题意得：AB＝2m，BC＝8m，CD＝3m， ∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，即5m＜AB+x＜11m， ∴3m＜x＜9m， ∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m， 故选：D． 压轴突破2 三角形的三边关系的应用 5．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍，计算即可． 【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点， ∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE， ∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高是（　　） A．3 B．6 C．12 D．1.5 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作EF⊥BC，利用面积公式即可求得答案． 【解答】解：过点E作EF⊥BC交BC于点F，如图， 由题意可知：，， ∴， ∵△ABC的面积为30，BD＝5， ∴， 解得EF＝3， 故△BDE中BD边上的高为3． 故选：A． 7．如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　 ． 【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可． 【解答】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 8．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 压轴突破3 三角形内角和定理与外角性质的应用 9．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α 【分析】先根据邻补角性质求得∠ADE+∠AED＝360°﹣α，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵∠ADE＝180°﹣∠1，∠AED＝180°﹣∠2， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠1+180°﹣∠2＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣α， ∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣α）＝α﹣180°， 故选：C． 10．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（） A．210° B．235° C．180° D．200° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可得∠α＝∠1+∠D、∠β＝∠4+∠F，再根据三角形内角和定理可得∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F＝90°+30°+90°，最后计算即可． 【解答】解：如图：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F， ∴∠α+∠β ＝∠1+∠D+∠4+∠F， ＝90°+30°+90° ＝210°， ∴∠α+∠β的度数为210°． 故选：A． 11．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数． 【解答】解：连接BC，如图所示， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E＝∠1+∠2， ∴∠D+∠E＝50°， 故选：C． 12．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【分析】连接EF，利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EF， ∵∠B+∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°． ∵∠D＝70°， ∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°， ∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE， ∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°． 故选：A． 13．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（　　） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 【分析】延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论． 【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠DGF＝∠DCE+∠E， ∴∠DGF＝70°+30°＝100°． ∵∠EFD＝130°，∠EFD＝∠DGF+∠D， ∴∠D＝30°． 而图中∠D＝20°， ∴∠D应增加10°． 故选：A． 14．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（　　） A．62° B．152° C．208° D．236° 【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A， 又∵∠BED＝∠D+∠EGD， ∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD， 又∵∠CGE+∠EGD＝180°， ∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°， 又∵∠D＝28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°， 故选：C． 15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【分析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠1+∠E，结合三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，即可获得答案． 【解答】解：如下图， ∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠1+∠E， 又∵∠2+∠C+∠D＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是180°． 故选：A． 16．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为 　 　 °． 【分析】由三角形外角性质得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠E+∠F＝∠1+∠2＝∠BOF＝120°，即得∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2＝120°． 【解答】解：由三角形外角性质可得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠E+∠F＝∠1+∠2＝∠BOF＝120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°， 故答案为：240． 17．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是 　 　 ． 【分析】在△CEF中，利用三角形内角和定理可求出∠ECF的度数，连接AC，并延长AC交EF于点M，利用平行线的性质，可得出∠BAD＝∠ECF，此题得解． 【解答】解：在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°， ∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°． 连接AC，并延长AC交EF于点M，如图所示． ∵AB∥CF，AD∥CE， ∴∠BAC＝∠FCM，∠DAC＝∠ECM， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCM+∠ECM＝∠ECF＝45°． 故答案为：45°． 18．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　 °． 【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出∠BEM＝∠BAE+∠B，∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，将其相加后可得出∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论． 【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示． ∵∠BEM是△ABE的外角， ∴∠BEM＝∠BAE+∠B． 同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C， ∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C， 即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C， ∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°， ∴∠CFD＝70°． 故答案为：70． 压轴突破4 角度计算中的分类讨论思想 19．已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，则∠BFC的度数为　 　 ． 【分析】利用三角形内角和及外角的性质求解即可． 【解答】解：已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，如图1，当BD与CE交于点F时， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°， ∠BFC＝∠CEB+∠ABD＝140°； 如图1，△ABC是锐角三角形时， 由题意得：∠ADB＝∠CEB＝90°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°， ∠BFC＝∠CEB+∠ABD＝140°； 如图2，△ABC是钝角三角形时，∠ACB是钝角， 同理可求，∠ABD＝90°﹣40°＝50°， ∠BFC＝90°﹣∠ABD＝40°； 如图3，△ABC是钝角三角形时，∠ABC是钝角， 同理可得∠BFC＝40°； 故答案为：40°或140°． 20．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 ． 【分析】分两种情况进行讨论：当∠BFD＝90°时，当∠BDF＝90°时，分别依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠ADF的度数． 【解答】解：如图1所示，当∠BFD＝90°时， ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°； 如图2，当∠BDF＝90°时， 同理可得∠BAD＝30°， ∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°， ∴∠B＝42°， ∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣42°﹣30°＝108°， ∴∠ADF＝∠BDA﹣∠BDF＝108°﹣90°＝18°， 综上所述，∠ADF的度数为18°或60°． 故答案为：60°或18°． 21．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为 　 　 ． 【分析】分三种情况讨论：①当CE⊥BC时，②当CE⊥AB于F时，③当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时， ∵∠A＝60°，∠ACB＝42°， ∴∠ABC＝78°， ∵BM平分∠ABC， ∴∠CBEABC＝39°， ∴∠BEC＝90°﹣39°＝51°； ②如图2，当CE⊥AB于F时， ∵∠ABE∠ABC＝39°， ∴∠BEC＝90°+39°＝129°； ③如图3，当CE⊥AC时， ∵∠CBE＝39°，∠ACB＝42°， ∴∠BEC＝180°﹣39°﹣42°﹣90°＝9°． 综上所述，∠BEC的度数为9°、51°、129°． 故答案为：9°、51°、129°． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．则∠α，∠1，∠2之间的关系为 　 　 ． 【分析】依题意分以下三种情况：①当点P在线段AB上时，则∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，再根据∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°可得出∠α，∠1，∠2之间的关系；②当点P在BA的延长线上时，则∠PAD＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC，进而得∠APD＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC，再根据∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°，可得出∠α，∠1，∠2之间的关系；③当点P在AB的延长线上时，则∠PBE＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC，进而得∠BPE＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC，再根据∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°可得出∠α，∠1，∠2之间的关系，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点P是直线AB上一动点， ∴有以下三种情况： ①当点P在线段AB上时，如图1所示： ∴∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2， ∵∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°，∠C＝90°， ∴90°+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠α＝360°， ∴∠1+∠2﹣∠α＝90°； ②当点P在BA的延长线上时，如图2所示： ∵∠PAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC， ∴∠APD＝∠DPE+∠APE＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC， ∵∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°， ∴90°+∠ABC+∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC+∠1＝180°， ∴∠2﹣∠1﹣∠α＝90°； ③当点P在AB的延长线上时，如图3所示： ∵∠PBE＝∠C+∠BAC＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC， ∴∠BPE＝∠DPE+∠BPD＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC， ∵∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°， ∴∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC+∠2+90°+∠BAC＝180°， ∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°， 综上所述：∠α，∠1，∠2之间的关系为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°． 故答案为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°． 23．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分线，点F在BD所在的射线上，若CF垂直于△ABC的一边，则∠BFC的度数为 　 　 ． 【分析】分三种情形：CF⊥AB，CF′⊥BC，CF″⊥AC分别求解即可． 【解答】解：如图，当CF⊥AB于点H时， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°， ∵∠CHB＝90°， ∴∠BFC＝∠CHB+∠ABD＝90°+30°＝120°； 当CF′⊥CB时，∠BF′C＝90°﹣30°＝60°； 当CF″⊥AC时，∠BF″C＝180°﹣30°﹣140°＝10°． 综上所述，∠BFC的度数为120°或60°或10°． 故答案为：120°或60°或10°． 24．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 　 　 度． 【分析】由∠MON＝40°，AB⊥OM，利用三角形的内角和定理可求得∠ABC＝50°，结合“灵动三角形”的定义可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案． 【解答】解：∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∵∠MON＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， 当△ABC为“灵动三角形”时， ①当∠ACB＝3∠ABC时， ∠ACB＝3×50°＝150°（舍去）， ②当∠ACB＝3∠CAB时， 4∠CAB+50°＝180°， ∴∠CAB＝32.5°， ∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝57.5°， 综上，∠OAC＝57.5°． 三角形ABC中，有一个角是50度的时，∠OAC°． 故答案为：57.5°或°． 压轴突破5 含角平分线的复杂角度计算 25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题． 【解答】解：如图： ∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD， ∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2， 设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y， 由外角的性质得： ∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2∠ABD（2x+y）＝xy， ∴x+20＝xy，解得y＝40°， ∴∠1＝∠2（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°， ∴∠DFB＝60°． 故选：C． 26．如图，BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G，∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，则∠A的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【分析】连接BC，根据题意得到∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝30°，∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠BGC＝67.5°，进而得出∠GBD+∠GCD＝（∠GBC+∠GCB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝37.5°，得到∠ABC+∠ACB＝2（∠GBD+∠GCD）+（∠DBC+∠DCB）＝105°，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接BC， ∵BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G， ∴∠EBD＝∠FBE∠ABD，∠FCD＝∠ECF∠ACD， ∵∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝30°， ∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠BGC＝67.5°， ∴∠GBD+∠GCD＝（∠GBC+∠GCB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝37.5°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠GBD+∠GCD）+（∠DBC+∠DCB）＝105°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝75°， 故选：C． 27．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝α，则∠A2025＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出∠A2025的度数． 【解答】解：∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ∴∠A1BD∠ABC，∠A1CD∠ACD， 又∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1， ∴（∠ABC+∠A）＝∠ABC+∠A1， ∴∠A1∠A， 同理可得：∠A2∠A1∠A， ∠A3∠A，.....． 则A2025∠A， ∵∠A＝α， ∴∠A2025， 故选：C． 28．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（　　） A． B． C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠1 【分析】由∠DCB是△ACD的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠DCB＝3∠DAC，在△BCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ECB＝180°﹣3∠EBC，结合∠1＝∠DCB﹣∠ECB，可得出∠1＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°，变形后可得出∠DAC+∠EBC＝60°∠1，利用角平分线的定义，可得出∠PAB∠DAC，∠PBA∠EBC，进而可得出∠PAB+∠PBA（60°∠1），再结合∠2＝180°﹣（∠PAB+∠PBA），即可求出∠2＝150°∠1． 【解答】解：∵∠DCB是△ACD的外角， ∴∠DCB＝∠D+∠DAC＝3∠DAC． 在△BCE中，∠E＝2∠EBC， ∴∠ECB＝180°﹣∠E﹣∠EBC＝180°﹣3∠EBC， ∴∠1＝∠DCB﹣∠ECB＝3∠DAC﹣（180°﹣3∠EBC）＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°， ∴∠DAC+∠EBC＝60°∠1． ∵∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P， ∴∠PAB∠DAC，∠PBA∠EBC， ∴∠PAB+∠PBA（∠DAC+∠EBC）（60°∠1）， ∴∠2＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°（60°∠1）＝150°∠1． 故选：A． 29．如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA，OB，OC，作△AOB的一条角平分线AD．若∠BAC＝α，则∠1+∠2的度数为（　　） A． B． C．160° D． 【分析】根据角平分线定义可得，，从而可求出∠1+∠2． 【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠BAC＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵BO是∠ABC 的平分线，CO是∠ACB 的平分线， ∴，， ∴， ∵∠OCB+∠OBC+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣（∠OCB+∠OBC）＝180°﹣（90°）＝90°， ∵AO是∠BAC和平分线， ∴， ∵AD是∠BAO的平分线， ∴α， ∴， 故选：A． 30．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB的度数是 　 　 ． 【分析】由角平分线定义得到∠ABP∠ABC，∠MAP∠CAM，由三角形的外角性质推出∠MAP＝∠ABP+∠APB，即可得到∠APB∠C＝40°． 【解答】解：∵BP平分∠ABC，AP平分∠CAM， ∴∠ABP∠ABC，∠MAP∠CAM， ∵∠MAP＝∠ABP+∠APB， ∴∠CAM∠ABC+∠APB， ∴（∠ABC+∠C）∠ABC+∠APB， ∴∠APB∠C80°＝40°． 故答案为：40°． 31．如图，∠ABC，∠ADC的角平分线交于点F，若∠A＝15°，∠C＝65°，则∠F的度数为　 　 ． 【分析】根据题意，如图所示，延长FB交AD于点E，设BC，DF交于点G，根据角平分线的定义可得∠ABF＝∠CBF，∠ADF＝∠CDF，根据三角形的内角和，外角和的性质可得∠F+∠CBF＝∠C+∠CDF①，∠ABF﹣∠A＝∠F+∠CDF②，然后①﹣②得∠A+∠F＝∠C﹣∠F，由此即可求解． 【解答】解：如图所示，延长FB交AD于点E，设BC，DF交于点G， ∵∠ABF＝∠CBF，∠ADF＝∠CDF， ∵∠BGF＝∠CGD， ∴∠F+∠CBF＝∠C+∠CDF①， 由外角的性质可知：∠ABF＝∠A+∠AEF，∠AEF＝∠F+∠ADF， ∴∠CBF﹣∠A＝∠ABF﹣∠A＝∠AEF＝∠F+∠ADF＝∠F+∠CDF②， ∴①﹣②得，∠A+∠F＝∠C﹣∠F， ∴2∠F＝∠C﹣∠A， 又∵∠A＝15°，∠C＝65°， ∴2∠F＝65°﹣15°＝50°， ∴∠F＝25°， 故答案为：25°． 32．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则；以此来推，∠B、∠C的三条四等分角线分别对应交于O1、O2、O3，则；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，⋯，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C＝ 　　 （用含n和α的代数式表示）． 【分析】根据三角形的内角和等于180°得出∠ABC+∠ACB，根据n等分的定义求出∠On﹣1BC+∠On﹣1CB的度数，在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：由题意可知：∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，，， ∴ ； ∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB） ． 故答案为：． 33．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，CD平分外角∠ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点．若∠BOC＝130°，则∠E﹣∠D的度数为　 　 ． 【分析】利用角的平分线，外角性质，三角形内角和定理，计算即可． 【解答】解：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，CD平分∠ACF，CE平分∠ABC，BE平分∠FBG， ∴ ， 解得：∠A＝80°， ∴ ， ∴ ， ∴∠E﹣∠D＝50°﹣40°＝10°， 故答案为：10°． 34．如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝25°，∠E＝30°，则∠D＝　 　 ． 【分析】设∠BAE＝α，∠DCE＝β，根据角平分线的定义得∠EAD＝∠BAE＝α，∠BCE＝∠DCE＝β，由三角形的内角和定理得∠AHB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝155°﹣α，∠CHE＝180°﹣（∠E+∠BCE）＝150°﹣β，再根据对顶角相等得155°﹣α＝150°﹣β，据此得α﹣β＝5°，同理由三角形的内角和定理得∠EGA＝180°﹣（∠E+∠EAD）＝150°﹣α，∠CGD＝180°﹣（∠D+∠DCE）＝180°﹣∠D﹣β，再根据对顶角相等得150°﹣α＝180°﹣∠D﹣β，据此可得∠D的度数． 【解答】解：设∠BAE＝α，∠DCE＝β， ∵AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠EAD＝∠BAE＝α，∠BCE＝∠DCE＝β， ∵∠B＝25°，∠E＝30°， ∴∠AHB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝180°﹣（25°+α）＝155°﹣α，∠CHE＝180°﹣（∠E+∠BCE）＝180°﹣（β+30°）＝150°﹣β， 又∵∠AHB＝∠CHE ∴155°﹣α＝150°﹣β， ∴α﹣β＝5°， ∵∠EGA＝180°﹣（∠E+∠EAD）＝180°﹣（30°+α）＝150°﹣α，∠CGD＝180°﹣（∠D+∠DCE）＝180°﹣∠D﹣β， 又∵∠EGA＝∠CGD， ∴150°﹣α＝180°﹣∠D﹣β， ∴∠D＝30°+α﹣β＝35°． 故答案为：35°． 35．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝40°，则∠G的度数为 　 　 ． 【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠ACM＝∠A+∠ABC，由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出∠ADE＝∠ACM，∠GDE＝∠GFM，结合角平分线的定义，可得出∠GBF∠ABC，∠GFM（∠A+∠ABC），再利用三角形的外角性质，即可求出∠G的度数． 【解答】解：∵∠ACM是△ABC的外角， ∴∠ACM＝∠A+∠ABC． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ACM，∠GDE＝∠GFM． ∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC， ∴∠GBF∠ABC，∠GDE∠ADE∠ACM（∠A+∠ABC）， ∴∠GFM＝∠GDE（∠A+∠ABC）． 又∵∠GFM是△GBF的外角， ∴∠GFM＝∠G+∠GBF，即（∠A+∠ABC）＝∠G∠ABC， ∴∠G∠A40°＝20°． 故答案为：20°． 36．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E、F分别在边BC、AC上，∠FEC＝28°，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，则∠P的度数为　 　 ． 【分析】根据题意可知∠PBC＝∠C，设∠C＝x，表示出∠AEF，根据角平分线的定义，可得∠FEP的度数，根据∠PEC＝∠P+∠PBC列方程，即可求出∠P的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠C∠ABC， 设∠C＝x， 则∠PBC＝x， ∵∠FEC＝28°， ∴∠AFE＝x+28°， ∵∠AEF＝2∠AFE， ∴∠AEF＝2x+56°， ∵EP平分∠AEF， ∴∠FEP＝x+28°， ∵∠PEC＝∠P+∠PBC， ∴x+28°+28°＝∠P+x， ∴∠P＝56°， 即∠P的度数为56°， 故答案为：56°． 压轴突破6 三角形的角度计算与折叠问题 37．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（　　） A．30° B．32° C．35° D．60° 【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【解答】解：如图所示： 由折叠的性质得：∠D＝∠B， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D， ∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B， ∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°． ∴∠B＝30°， 故选：A． 38．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数． 【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 39．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　　） A．α+β B．α+2β C．2α+β D． 【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，再由邻补角的定义可得∠ADF＝180°﹣β，从而可求得∠ADE＝90°，由三角形的内角和可求∠AED，从而可求得∠AEF，再由邻补角的定义即可求∠FEC的度数． 【解答】解：由折叠可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF， ∵∠FDB＝β， ∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β， ∴∠ADE（360°﹣∠ADF）＝90°， ∵∠A＝α， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°α， ∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β， ∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β． 故选：C． 40．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题． 【解答】解：连接AA′． ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°， ∴∠A′BC+∠A′CB＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝140°， ∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°， ∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A， ∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A， ∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°， 故选：A． 41．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由折叠的性质得∠DC'C＝∠C＝22°，由三角形内角和定理得∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，进而可得∠ADC′的度数，由此可对结论①进行判断； ②连接CC'，由折叠的性质得∠DC'E＝∠DCE＝22°，由三角形内角和定理及邻补角定义得∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，则∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，由此可对结论②进行判断； ③设∠CED＝α，由折叠的性质得∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE，则∠CEC'＝2α，进而得∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α，∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝158°﹣α，∠ADE＝180°﹣∠CDE＝22°+α，进而得∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝136°﹣2α，然后可计算∠BEC′﹣∠ADC'的值即可对结论③进行判断； ④当C′E∥AB时，（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠CME＝∠A＝90°，进而得∠CEM＝90°﹣∠C＝68°，再由折叠的性质得∠CED＝∠MED∠CEM＝34°，由此可求出∠CDE的度数；（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠C'ND＝90°，则∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，再由折叠的性质得∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°．由此可对结论④正确，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵点C'落在BC边上， ∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°， ∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°， ∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°， 故结论①正确； ②连接CC'，如图2所示： 由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°， ∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°， 又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°， ∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'， ∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'， 即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°， 故结论②正确； ③设∠CED＝α， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE， ∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α， ∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α， ∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α， ∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α， ∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°， 故结论③正确； ④当C′E∥AB时，有以下两种情况： （ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠CME＝∠A＝90°， ∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°， 由折叠的性质得：∠CED＝∠MED∠CEM＝34°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°； （ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠C'ND＝90°， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE， 在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°， ∴∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°． 综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 42．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °． 【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用∠B表示出∠3，再利用邻补角和四边形的内角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2+∠3． 【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． ∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′， ∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′ ＝2∠B+35°． ∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC ＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）， ∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′ ＝360°﹣2∠C， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC） ＝360°﹣（360°﹣2∠C） ＝2∠C． ∴∠1+∠2+∠3 ＝2∠C+2∠B+35° ＝2（∠C+∠B）+35° ＝2（180°﹣∠A）+35° ＝2（180°﹣65°）+35° ＝265°． 故答案为：265°． 43．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　 　 ． 【分析】先根据三角形外角的性质及∠1+∠2＝228°求出∠A′的度数，进而可得出∠A的度数，由三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE的度数，由折叠的性质得出∠AEF+∠ADG的度数，进而可得出结论． 【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝228°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN， ∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝228°， ∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°， ∴∠A′＝228°﹣180°＝48°， ∴∠A＝∠A′＝48°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣48°＝132°， ∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×132°＝264°， ∴∠3+∠4＝360°﹣264°＝96°． 故答案为：96°． 压轴突破7 三角形中多结论问题 44．如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，连接CO，△ABC的外角∠ACG的平分线与O的延长线交于点E，OD⊥OC交BC于点D．下列四个结论：①OD∥CE；②；③∠AOB＝∠BDO；④∠ACG＝2∠AOE．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，得出CO平分∠ACB，求出，证明∠COD＝∠OCE，根据平行线的判定得出OD∥CE，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出，根据∠ABC+∠BAC≠180°，得出，判定②错误；先求出，，得出∠AOB＝∠BDO，判定③正确；根据∠ACG＝∠BAC+∠ABC，，即可判定④正确． 【解答】解：根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定逐项分析判断如下： ∵∠ABC和∠BAC的平分线交于点O， ∴CO平分∠ACB， ∴， ∵CE平分∠ACG， ∴， ∴， ∵OD⊥OC， ∴∠COD＝90°， ∴∠COD＝∠OCE， ∴OD∥CE，故①正确； ∵， ∠ACG＝∠BAC+∠ABC， 又∵， ∴， ∴， ∵∠ABC+∠BAC≠180°， ∴，故②错误； ∵，， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA） ， ∵∠BDO＝∠DOC+∠BCO ， ∴∠AOB＝∠BDO，故③正确； ∵∠ACG＝∠BAC+∠ABC， ， ∴∠ACG＝2∠AOE，故④正确； 综上分析可知，正确的有①③④． 故选：C． 45．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB∠CGE．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【解答】解：①∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确； ②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等， ∴CA不一定平分∠BCG，故②错误； ③∵∠A＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG， ∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠GCD，故③正确； ④∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC， ∴∠EBC∠ABC，∠DCB∠ACB， ∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB）＝45°， ∵∠CGE＝90°， ∴∠DFB∠CGE，故④正确． 故选：C． 46．如图，AD交BC于点O，∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P，∠B＝∠D，则下列结论：①∠PAO+∠PCE＝90°；②∠PAB∠BCD；③∠P＝90°+∠D；④∠P＝90°∠B；其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用三角形内角和定理可得∠BAO＝∠BCD，即得∠BAO+∠BCE＝180°，再根据角平分线的定义可得，，得到，即可判断①和②；延长AP交BC于点M，由三角形外角性质得∠APC＝∠AMC+∠BCP，∠AMC＝∠B+∠BAM，即得∠APC＝∠BAM+∠B+∠BCP，又由∠B＝∠D，∠BAP+∠BCP＝∠PAO+∠PCE＝90°，可得∠APC＝90°+∠D，即可判断③和④． 【解答】解：∵∠B+∠BAO+∠AOB＝180°，∠D+∠BCD+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，∠B＝∠D， ∴∠BAO＝∠BCD， ∵∠BCD+∠BCE＝180°， ∴∠BAO+∠BCE＝180°， ∵AP平分∠BAO，CP平分∠BCE， ∴，， ∴，故①正确； ∵∠BAO＝∠BCD， ∴，故②正确； 延长AP交BC于点M， 由条件可知∠APC＝∠BAM+∠B+∠BCP， ∵∠B＝∠D，∠BAP+∠BCP＝∠PAO+∠PCE＝90°， ∴∠APC＝90°+∠D，故③正确； ∴，故④不正确； 综上，正确的结论有3个， 故选：C． 47．如图，D是△ABC的边AC上点，连接BD，CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M．△ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G．当∠CBD＝∠A时，有下列四个结论： ①∠CHD与∠G互余； ②∠CBD＝∠BCG； ③∠MHD﹣∠G＝90°； ④∠MHD＝90°+∠A． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【分析】由角平分线的定义可得，，求出∠MCG＝90°，从而得出∠G+∠CMG＝90°，由三角形外角的定义及性质得出∠CMG＝∠CHD，即可得出∠G+∠CHD＝90°，从而判断①；求出∠BCG＝∠A+∠G得到∠BCG＝∠CBD+∠G，即可判断②；由∠A+∠G+∠ACM＝90°以及∠CBD＝∠A结合三角形内角和定理计算即可得出∠MHD＝∠BCH＝90°+∠G，即可判断③；由∠A≠∠G结合③即可判断④， 【解答】解：∵CM平分∠ACB，CF平分∠ACE， ∴，， ∴，即∠MCG＝90°， ∴∠G+∠CMG＝90°， ∵∠CMG＝∠ACM+∠A，∠CHD＝∠BCM+∠CBD，∠CBD＝∠A， ∴∠CMG＝∠CHD， ∴∠G+∠CHD＝90°， ∴∠CHD与∠G互余，故①正确； ∵∠BCG+∠BCM＝90°，∠A+∠G+∠ACM+∠BCG+∠BCM＝180°， ∴∠A+∠G+∠ACM＝90°， ∵∠BCM＝∠ACM， ∴∠BCG＝∠A+∠G， ∵∠CBD＝∠A， ∴∠BCG＝∠CBD+∠G，故②错误； ∵∠A+∠G+∠ACM＝90°，∠CBD＝∠A， ∴∠MHD＝∠BHC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCM＝180°﹣∠A﹣∠ACM＝180°﹣（90°﹣∠G）＝90°+∠G， ∴∠MHD﹣∠G＝90°，故③正确； ∵∠A≠∠G， ∴∠MHD≠90°+∠A，故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 48．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90° ∴∠ADC＝90°﹣∠ABD， 即∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵90°∠ABC＝90°﹣∠ABD＝∠DBC+∠BDC＝∠ABD+∠BDC， ∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD， ∴∠ADB＝45°∠CDB，④错误； 故选：B． 49．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【分析】由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；综合即可得出答案． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线， ∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°， 故①正确； ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， 又∵∠A＝40°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°， 故②正确； ∵CD平分∠ACF， ∴， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∠ABD+∠OBC∠ABC， ∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A＝∠ACF＝2∠DCF， ∴2∠D＝∠A， ∴∠D＝20°， 故③正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°∠A＝110°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°， 故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 50．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；其中正确的是 　 　 ． 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F， 故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C， 故②正确； ③∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 故③错误； 故答案为：①②． 压轴突破8 三角形中角度计算综合探究题 51．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CD交于点F． （1）【问题呈现】如图①，若∠A＝100°，求∠BFC的度数； （2）【问题推广】如图②，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，则∠BFC＝ 　 　 °； （3）【问题拓展】若P，Q分别是线段AB，AC上的点，若∠AQP＝α，∠ACB＝70°，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α的式子表示）． 【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可解答； （2）根据折叠的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理即可解答； （3）设∠A＝x，分情况讨论，①当点H在∠APQ 的平分线的反向延长线上时，②当点H在∠APQ 的平分线上时，延长CH交AB于点N，利用三角形内角和定理即可解答． 【解答】解：（1）∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°， 又∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABC，， ∴． ∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝180°﹣40°＝140°． （2）∵∠1+∠2＝160°， ∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣160°＝200°， 由折叠可得，， ∴200°＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣100°＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°， 又∵BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABC，， ∴， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130． （3）∠PHC+∠BFC＝145°α或∠PHC﹣∠BFC＝35°α． 设∠A＝x， ①如图，当点H在∠APQ 的平分线的反向延长线上时， 则∠APQ＝180°﹣α﹣x， ∴，∠NCB70°＝35°，∠ABC＝180°﹣70°﹣x＝110°﹣x， ∴∠HNP＝∠BNC＝180°﹣∠ABC﹣∠NCB＝35°+x， ∴∠PHC＝180°﹣∠HPN﹣∠HNP＝90°α﹣35°x， 而∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°x， ∴∠PHC+∠BFC＝180°α﹣35°＝145°α； ②如图，当点H在∠APQ 的平分线上时，延长CH交AB于点N， 则同①可得，∠BNC＝180°﹣∠ABC﹣∠NCB＝35°+x，∠APM∠APQ＝90°αx， ∴∠PHN＝180°﹣∠HPN﹣∠HNP＝90°α﹣35°x， ∴∠PHC＝180°﹣∠PHN＝90°α+35°x， 同①可得∠BFC＝90°x， ∴∠PHC﹣∠BFC＝35°α． 52．已知∠MAN＝52°，点B，C分别在AM，AN上． （1）如图1，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠MBC的平分线与∠BCN的平分线交于点O，则α+β＝　 　 °，∠O＝　 　 °； （2）如图2，点E是线段BC延长线上一点，过点E作EF⊥AN，垂足为点F，∠MAN与∠CEF的平分线交于点D，求∠ACE与∠ADE的数量关系； （3）如图3，若点G在∠MAN内部（点G不在线段BC上），∠CGB＝108°，连接BG与CG，∠GBM与∠GCN的平分线交于点H，求∠BHC的度数． 【分析】（1）利用三角形内角和定理及角平分线的定义求解； （2）连接DC并延长于点P，根据∠ACE是△CEF的外角，可得∠CEF＝∠ACE﹣90°，由角平分线的定义可得， ，再根据∠ACP是△ACD的外角，∠ECP是△EDC的外角，依据三角形外角的定义和性质即可求解； （3）分点G在△ABC内与点G在△ABC外两种情况，利用四边形内角和定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠MAN＝52°， ∴α+β＝180°﹣∠MAN＝180°﹣52°＝128°； ∴，， ∴， 故答案为：128，64； （2）连接DC并延长于点P， ∵EF⊥AN， ∴∠EFC＝90°， ∵∠ACE＝∠EFC+∠CEF， ∴∠CEF＝∠ACE﹣∠EFC＝∠ACE﹣90°， ∵， ， ∵∠ACP＝∠DAC+∠ADC，∠ECP＝∠EDC+∠DEC， ∴∠ACE＝∠ACP+∠ECP＝∠DAC+∠ADC+∠EDC+∠DEC ＝∠DAC+∠ADE+∠DEC ， ∴2∠ADE﹣∠ACE＝38°； （3）①点G在△ABC外时，如图，连接BC， 在四边形ABCG中，∠MAN+∠ABG+∠ACG+∠CGB＝360°，∠CGB＝108°，∠MAN＝52°， ∴∠ABG+∠ACG＝200°， ∵∠ABG+∠GBM＝180°，∠ACG+∠GCN＝180°， ∴∠GCN+∠GBM＝160°， ∵， ∴， ∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠CGB＝72°， ∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB） ＝180°﹣（∠GBC+∠GCB+∠GBH+∠GCH） ＝180°﹣（72°+80°） ＝28°； ②点G在△ABC内时，连接BC， 由（1）知，∠ABC+∠ACB＝128°， 在△BCG中，∠GBC+∠GCB+∠CGB＝180°， ∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠CGB＝72°， ∴∠ABG+∠ACG＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠GBC+∠GCB）＝128°﹣72°＝56°， ∵∠ABG+∠GBM＝180°，∠ACG+∠GCN＝180°， ∴∠GCN+∠GBM＝360°﹣56°＝304°， ∴， ∴， ∵∠CGB+∠GBH+∠GCH+∠BHC＝360°， ∴∠BHC＝360°﹣（∠CGB+∠GBH+∠GCH）＝360°﹣（108°+152°）＝100°， 综上可知，∠BHC的度数为28°或100°． 53．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系． （3）在图3中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　 （用x、y的代数式表示）． （4）在图4中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论． 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （3）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （4）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， ∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2中， 设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y， 则有， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， ∴∠P（∠B+∠D）； ∴2∠P＝∠B+∠D； （3）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，设∠C＝x，∠B＝y， 则有， ∴4∠P＝3∠C+∠B， ∴∠P（3x+y）， 故答案为：∠P（3x+y）． （4）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y． 则有∠A+2x＝∠C+180°﹣2y， ∴x+y＝90°（∠C﹣∠A）， ∵∠P+x+∠A+y＝180°， ∴∠P＝90°∠C∠A． 54．综合与实践 在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． 【问题初探】 （1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 　 　 °； 【问题再探】 （2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出∠A+∠ABC，由平角定义∠APD+∠BPE＝120°，又∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°，根据和差即可求解； （2）根据三角形的内角和定理得出∠A+∠ABC，由平角定义∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α，又∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°，根据和差即可求解； （3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC 和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4＝360°，从而求出答案即可； （4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠a＝540°，从而得到答案即可． 【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C＝180°：∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°，∠α＝60°， ∴∠APD+∠BPE＝120°， ∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°， ∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°， 故答案为：100； （2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40° ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°， ∴∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α， ∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°， ∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°， 即∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣180°+∠α＝40°+∠α， ∴∠1+∠2＝40°+∠α； （3）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵∠3+∠2+∠α＝180°， ∴∠3＝∠4＝180°﹣∠2﹣∠α， ∵∠A+∠ABC+∠1+∠4＝360°， ∴140°+∠1+180°﹣∠2﹣∠α＝360°， ∴∠1﹣∠2＝40°+∠α； （4）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵五边形ABEPD的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α＝540°， ∴∠1+∠2＝540°﹣140°﹣∠α， ∴∠1+∠2＝400°﹣∠α． 55．如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E． （1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数； （2）如图2，当点D在线段BC上时， ①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由； ②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由． 【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAD＝30°，进而得∠ADB60°，再根据DE⊥AD得∠ADB+∠EDC＝90°，由此即可得出∠EDC的度数； （2）①当点D在线段BC上时，根据∠B＝90°得∠BAD+∠ADB＝90°，根据DE⊥AD得∠ADB+∠EDC＝90°，由此可得出∠EDC与∠BAD的数量关系； ②设AG，EG分别∠BC于点M，N，设∠BAG＝∠DAG＝α，∠BAD＝2α，进而得∠GMN＝∠AMB＝90°﹣α，由①可知∠EDC＝∠BAD＝2α，则∠DEF＝90°﹣2α，再根据EG平分∠DEF得∠FEG＝45°﹣α，继而得∠GNM＝∠ENF＝45°+α，然后根据三角形内角和定理即可得出∠G＝45°，由此即可得出答案； （3）设AG交BC于点M，GE的延长线交CD于点N，先证明∠EDC＝∠BAD，设∠BAG＝∠DAG＝α，则∠EDC＝∠BAD＝2α，∠GMN＝90°﹣α，∠DEF＝90°﹣2α，根据EG平分∠DEF得∠FEN＝45°﹣α，∠GNM＝45°+α，然后根据三角形内角和定理即可得出∠G＝45°，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∵∠B＝90°， ∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADB+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠BAD＝30°； （2）①∠EDC与∠BAD的数量关系是：∠EDC＝∠BAD，理由如下： 当点D在线段BC上时， ∵∠B＝90°， ∴∠BAD+∠ADB＝90°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADB+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝∠BAD； ②随着点D的运动，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下： 设AG，EG分别∠BC于点M，N，如图2所示： ∵AG平分∠BAD， ∴设∠BAG＝∠DAG＝α， ∴∠BAD＝2α， ∵∠B＝90°， ∴∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α， 由①可知：∠EDC＝∠BAD＝2α， ∵EF⊥BC， 在Rt△DEF中，∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α， ∵EG平分∠DEF， ∴∠FEG∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α， ∵EF⊥BC， ∴∠GNM＝∠ENF＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°； （3）当点D在BC的延长线上时，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下： 设AG交BC于点M，GE的延长线交CD于点N，如图3所示： ∵∠B＝90°，DE⊥AD， ∴∠BAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝∠BAD， ∵AG平分∠BAD， ∴设∠BAG＝∠DAG＝α， ∴∠EDC＝∠BAD＝2α，∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α， ∴∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α， ∵EG平分∠DEF， ∴∠FEN∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α， ∵EF⊥BC， ∴∠GNM＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°． 56．在ABC中，AE平分∠BAC，∠ACB＞∠ABC． （1）如图①，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠EAD的度数　 ； （2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠ABC，∠ACB，∠EAD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图②，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请直接写出∠ABC，∠ACB，∠EPD之间的数量关系． 【分析】（1）先求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出即可； （2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得∠CAE＝90°（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理可得∠CAD＝180°﹣90°﹣∠ACB，然后由∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD代入计算可求解； （3）过A作AG⊥BC于G，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠CAE＝90°∠ABC∠ACB，再根据直角三角形的性质可得∠GAC＝90°﹣∠ACB，进而可求解． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°， ∴∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC80°＝40°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°， 故答案为：10°； （2）∠EAD（∠ACB﹣∠ABC）． 理由：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°（∠ABC+∠ACB）， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣90°﹣∠ACB＝90°﹣∠ACB， ∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°（∠ABC+∠ACB）﹣（90°﹣∠ACB）（∠ACB﹣∠ABC）， 即∠EAD（∠ACB﹣∠ABC）； （3）∠EPD∠ACB∠ABC， 理由是：如图，过A作AG⊥BC于G， ∵PD⊥BC， ∴AG∥PD， ∴∠GAE＝∠EPD， ∵∠CAB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°∠ABC∠ACB， ∵AG⊥BC， ∴∠AGC＝90°， ∴∠GAC＝90°﹣∠ACB， ∴∠GAE＝∠CAE﹣∠CAG＝90°∠ABC∠ACB﹣（90°﹣∠ACB）∠ACB∠ABC， ∴∠EPD∠ACB∠ABC． 57．阅读下面的材料，并解决问题． △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．图1中∠ACD＝∠A+∠B． （1）已知在△ABC中，∠A＝66°，图2﹣图4的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图2，∠O＝ 　 　 ；如图3，∠O＝ 　 　 ；如图4，∠O＝ 　 　 ； （2）在（1）的条件下，如图5，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ 　 　 ； （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的角平分线交于点O1，O2，若∠1＝105°，∠2＝125°，则∠A的度数为 　 　 ． 【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，由三等分线，三角形内角和定理和角平分线交于一点即可解答； （3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数． 【解答】解：（1）如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB ＝（∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣66°） ＝57°， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣57°＝123°； 如图3，∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠CBO∠ABC，∠OCD∠ACD， ∵∠OCD是△OBC的外角， ∴∠OCD＝∠O+∠OBC， ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC∠ACD∠ABC∠A＝33°， 如图4，∵∠EBC是△ABC的外角， ∴∠EBC＝∠A+∠ACB， 同理得∠BCF＝∠A+∠ABC， ∴∠EBC+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝66°+180°＝246°， ∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCF， ∴∠EBC＝2∠OBC，∠BCF＝2∠BCO， ∴∠OBC+∠BCO＝123°， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣123°＝57°； 故答案为：123°，33°，57°； （2）如图5，∵∠A＝66°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣66°＝114°， ∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2， ∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB， ∴∠O2BC+∠O2CB114°＝76°， ∴∠BO2C＝180°﹣76°＝104°， ∵O1B平分∠CBO2，O1C平分∠BCO2， ∴O1O2平分∠BO2C， ∴∠BO2O1104°＝52°， 故答案为：52°； （3）∵∠1＝105°，∠2＝125°， ∴∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°， ∵∠ABC的三等分线分别与∠ACB的角平分线交于点O1，O2， ∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O2CB＝180°﹣105°﹣40°＝35°， ∴∠ACB＝2O2CB＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 故答案为：50°． 58．已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，当∠OCD＝40°时，∠CED的度数为　 　 ； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO； （3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数． 【分析】（1）先求出∠CDO＝50°，再根据角平分线定义求出∠DCE和∠CDE，然后利用三角形内角和定理计算即可； （2）根据角平分线定义求出∠DCE+∠EDF＝45°，利用三角形外角的性质可得∠CFO＝∠EDF+45°，结合已知证明∠EDF＝∠GED，再根据平行线的判定得出结论； （3）由题意可知，分四种情况：①当∠M＝4∠N时，②当∠MCN＝4∠N＝90°时，③当∠MCN＝4∠M＝90°，④∠N＝4∠M，先分别求出∠N，再利用三角形外角的性质求出∠NCO，然后根据角平分线定义计算即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝40°， ∴∠CDO＝90°﹣∠ODD＝90°﹣40°＝50°， ∵，， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝180°﹣20°﹣25°＝135°， 故答案为：135°； （2）证明：∵，， ∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠DCE+∠EDF＝45°， ∵∠CFO＝∠DCF+∠CDO＝∠DCF+2∠EDF＝∠EDF+45°， ∴∠EDF＝∠CFO﹣45°， ∵∠CFO﹣∠GED＝45°， ∴∠GED＝∠CFO﹣45°， ∴∠EDF＝∠GED， ∴GE∥DO； （3）分情况讨论：①当∠M＝4∠N时， ∵CM⊥CN，即∠MCN＝90°， ∴∠M+∠N＝90°， ∴， ∵， ∴∠NCO＝∠COM﹣∠N＝27°， ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝54°， ∴∠CDO＝180°﹣90°﹣54°＝36°， ∵DE平分∠CDO， ∴； ②当∠MCN＝4∠N＝90°时， ∴∠N＝22.5°， ∵， ∴∠NCO＝∠COM﹣∠N＝22.5°， ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝45°， ∴∠CDO＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵DE平分∠CDO， ∴； 当∠MCN＝4∠M＝90°时，则∠M＝22.5°， ∴∠N＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°， ∵MN是∠COD的外角平分线所在直线， ∴， ∴∠NCO＝∠COM﹣∠N＝﹣22.5°，不符合题意，舍去； 当∠N＝4∠M时，同理可得∠M＝18°，则∠N＝72°， 同理可得此时∠NCO＝∠COM﹣∠N＝﹣27°，不符合题意，舍去； 综上，∠CDE的度数为22.5°或18°． 59．如图，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠ODC的平分线交于点P． （1）如图1，当∠AOB＝∠OCD＝60°时，∠P＝ 　 　 ． （2）如图2，当∠AOB＝60°，点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠P的大小是否变化？若变，请说明理由；若不变，请求出∠P的度数． （3）如图3，若∠OCD+∠ODC＝α（0°＜α＜180°），请直接写出∠P的度数（用含α的式子表示）． 【分析】（1）由∠OCD＝60°可得∠ACD＝120°，由角平分线的定义可得∠ECD＝60°，∠PDC＝30°，再根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数； （2）由角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得∠ECD＝∠P+∠PDC，∠ACD＝∠AOB+∠ODC，进而可得，于是得解； （3）由∠OCD+∠ODC＝α可得∠AOB＝180°﹣α，由（2）中的结论可得，进而可得结果． 【解答】解：（1）由条件可知∠ACD＝180°﹣∠OCD＝180°﹣60°＝120°， ， ∵△OCD中，∠AOB＝∠OCD＝60°， ∴∠ODC＝180°﹣∠AOB﹣∠OCD＝60°， ∵DP平分∠ODC， ∴， ∵△PDC中，∠ECD＝∠P+∠PDC， ∴∠P＝∠ECD﹣∠PDC＝60°﹣30°＝30°， 故答案为：30°； （2）∠P的大小不变，∠P＝30°，理由如下： ∵CE平分∠ACD，DP平分∠ODC， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：当∠AOB＝60°，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠P的大小不变，∠P＝30°； （3）若∠OCD+∠ODC＝α， 则∠AOB＝180°﹣（∠OCD+∠ODC）＝180°﹣α， 由（2）可得：． 60．如图1，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠B：∠C＝3：5，在边BC上有一点D从B向C运动，运动到点C处停止． （1）当∠ADB＝90°时，求∠CAD的度数； （2）如图2，把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M，若点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）． ①直接写出∠CAD的取值范围； ②探索∠BDM与∠BAM之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在点D从B向C运动过程中，设∠BAD＝α°，同时将BC绕点B按顺时针方向旋转β°，即∠CBC＝β°，且满足α：β＝2：3，若运动过程中AD、BC所在直线相交于点P，当∠BPD＜120°时，求α的取值范围． 【分析】（1）设∠B＝3x，∠C＝5x，根据三角形内角和定理求出∠B＝30°，∠C＝50°，再根据∠ADB是△ACD的外角，由∠ADB＝∠C+∠CAD，即可求解； （2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点M落在BC上，即AD⊥BC时，当点M落在AB上时，∠CAD的临界值，再根据点M在△ABC 的内部（不包含△ABC 的边），即可得出∠CAD的取值范围为40°＜∠CAD＜50°；②延长AM交BC于点N，由翻折可知：∠AMD＝∠C＝50°，利用三角形外角的性质进行推导即可； （3）设α＝2x，β＝3x，当射线AD与射线BC′交于点P时，利用三角形内角和定理结合∠BPD＜120°，求出α＞12；当射线DA与射线C′B 交于点P时，同理求出α＜108，当直线AD与直线BC平行时，得到α＝60，再结合∠BAD≤100°，即可得出结论． 【解答】解：（1）设∠B＝3x，∠C＝5x， 在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+∠C＝80°，即8x＝80°， ∴x＝10°， ∴∠B＝30°，∠C＝50°， ∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°； （2）①由（1）可得当点M落在BC上，即AD⊥BC 时，∠CAD＝40°， 如图，当点M落在AB上时， 则， ∵点M在△ABC的内部（不包含△ABC 的边）， ∴∠CAD的取值范围为40°＜∠CAD＜50°； ②∠BAM+∠BDM＝20°，证明如下：延长AM交BC 于点N， 由翻折可知：∠AMD＝∠C＝50°， ∵∠AMD是△MND的外角， ∴∠AMD＝∠AND+∠BDM， ∵∠AND是△ABN的外角， ∴∠AND＝∠BAM+∠B， ∴∠AMD＝∠BAM+∠B+∠BDM， ∴∠BAM+∠BDM＝∠AMD﹣∠B＝20°； （3）∵α：β＝2：3，可设α＝2x，β＝3x，如图，当射线AD与射线BC′交于点P时， ∠BPD＝180°﹣∠BAD﹣∠ABP． ＝180°﹣2x°﹣（3x°+30°） ＝150°﹣5x° 且∠BPD＜120°， ∴150°﹣5x°＜120°， ∴x＞6， ∴α＞12；如图，当射线DA与射线CB交于点P时， ∠ABP＝180°﹣∠ABC﹣∠CBC＝150°﹣3x°， ∵∠BPD＝∠BAD﹣∠ABP ＝2x°﹣（150°﹣3x°） ＝5x°﹣150° 且∠BPD＜120°， ∴5x°﹣150°＜120°， ∴x＜54， ∴α＜108，当直线AD与直线BC'平行时，则∠BAD+∠ABC＝180° 2x°+3x°+30°＝180°， ∴x＝30， ∴α＝60， ∵AD、BC所在直线相交于点P， ∴α≠60， 又∵点D从B运动到点C停止， ∴0≤α≤100， ∴12＜α≤100且α≠60． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $