第十三章 三角形第4讲 三角形中求角思想方法培优练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第4讲 三角形中求角思想方法 板块一 思想方法(一)方程思想 方法技巧 当问题中角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化. 典例 精讲 【例1】如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,∠1=∠A,∠2=∠C,求∠A 的度数. 【例2】如图,∠B=∠C,∠ADE=∠AED,∠1=40°.求∠EDC 的度数. 实 战 演 练 1.如图,BD 是△ABC 的角平分线,AE⊥BD 交BD 的延长线于点 E, ∠ADB=2:3,求∠BAC 和∠DAE 的度数. 2.如图,在△ABC 中,D,E 分别为BC,AC 上的点, ∠DAC=20°.求∠B 的度数. 板块二 思想方法(二)参数思想 方法技巧 当图形中涉及到的角较多，关系复杂，但某些角之间存在确定数量关系时，为方便起见，可用参数表示相关联的角，设而不求，使运算和表达变得简单明了。 典例精讲 题型1 运用参数思想探求角的度数 【例1】如图，在△ABC 中，∠BAC=∠B，AD⊥BC 于点 D，AE平分∠DAC交CD 于点E，EF⊥AB于点F，求∠AEF的度数。 题型2 运用参数思想探求角度关系 【例 2】如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且∠ADE=∠AED，试写出∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由。 实战演练 如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点 I。 (1)如图1，写出∠I 与∠A，∠D 之间的数量关系式并证明； (2)如图2，直接写出∠I 与∠A，∠D 之间的数量关系式为 . 板块三 思想方法(三)整体思想 方法技巧 当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以将其视为一个整体，运用整体思想求值. 典 例 精 讲 【例】(1)如图1,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数; (2)如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 实 战 演 练 1.如图,∠ABD 的邻补角∠DBE 的平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I,∠A+∠D=160°.求∠I 的度数. 2.如图,在四边形 ABCD 中,AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC. (1)若∠B+∠C=120°,则∠BAD+∠CDA 的度数为 ,∠AED 的度数为 (直接写出结果)； (2)根据(1)的启发，猜想∠B+∠C 与∠AED 之间的数量关系，并说明理由. 板块四 思想方法(四)特殊到一般 典例精讲 题型 1 图形从特殊到一般 【例】探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系。 如图1，在△ADC 中，DP，CP 分别平分∠ADC 和∠ACD，试探究∠P 与∠A 的数量关系，并说明理由； 探究二：若将△ADC 改为任意四边形 ABCD 呢？ 如图 2，在四边形 ABCD 中，DP，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD。 (1)直接写出∠A+∠B+∠BCD+∠ADC 的度数为 ； (2)请你利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B 的数量关系，并说明理由。 实战演练 题型 2角度从特殊到一般 如图，△ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 F，FH⊥BC 于点 H。 (1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠1-∠2 的度数； (2)若∠A=60°，求∠1-∠2 的度数； (3)若∠A=α，求∠1-∠2 的度数(用含α的式子表示)。 板块五 思想方法(五)分类讨论 方法技巧 当图形的形状或位置不明确，可能出现不同情况时，则需要根据可能出现的情况分类讨论求解。 典例精讲 题型① 高的位置不明确，需分类讨论 【例】在△ABC 中，∠A=50°，BD，CE 是它的两条高，直线 BD，CE 交于点 F.求∠DFE 的度数. 实战演练 1.在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD 是高，∠ABD=20°，求∠ACB 的度数. 2.题 型② 点的位置不明确，需分类讨论 2.如图，点 P 为△ABC 外一点，且在直线 BC 上方（点 P 不在直线 AB，BC，AC 上），连接 PB，PC.若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，对于①α+γ-β；②γ-α-β；③β-α-γ；④360°-α-β-γ，则∠BPC 的度数可能是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②④ 第4讲求角思想方法 板块一 思想方法(一)方程思想 典例精讲 【例1】解:∵BD 平分∠ABC,∴∠1=∠DBC,设∠A=x,则∠ABC=2x,∠2=∠C=2x,在△ABC中,x+2x+2x=180°,x=36°,∴∠A=36°. 【例2】解:设∠EDC=x,∠B=∠C=y,则∠ADE=∠AED=x+y, ∵∠ADC=∠1+∠B, 实战演练 1.解:设∠C=2x,则∠ADB=3x, ∵BD 平分∠ABC,∠ABC=72°, ∴∠ABD=∠CBD=36°, ∵∠ADB=∠DBC+∠C,∴3x=36°+2x, ∴x=36°,∴∠C=72°,∠ADB=108°, ∵AE⊥BE,∴∠E=90°, ∵∠ADB=∠E+∠DAE,∴∠DAE=108°-90°=18°. 2.解:设∠B=∠C=∠ADE=x. ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD, ∴∠CDE=∠BAD. 设∠CDE=∠BAD=y,∴∠AED=x+y, ∴在△ADE 中, 又∵∠AED-3∠BAD=20°,∴x+y-3y=20°②, 由①②可得x=68°.∴∠B=68°. 板块二 思想方法(二)参数思想 典例精讲 【例1】解:∵AE 平分∠DAC, ∴设∠DAE=∠EAC=x,∵AD⊥BC, ∴∠C=90°-2x,∵∠BAC=∠B, ∴∠FAE=∠BAC-∠EAC=45°+x-x=45°. ∵EF⊥AB,∴∠AEF=90°-45°=45°. 【例2】解: 理由如下： 设∠BAD=x,∵∠ADC 是△ABD 的外角, ∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x. ∵∠AED 是△CDE的外角, ∴∠AED=∠C+∠CDE. ∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED, ∴∠ADC-∠CDE=∠C+∠CDE, 即45°+x-∠CDE=45°+∠CDE, 即 实战演练 解： 设∠ABI=∠DBI=x,∠ACI=∠ECI=y, 则x+∠A=y+∠I①, 由①得x-y=∠I-∠A, 代入②中得∠D=2∠I-∠A+180°, 设∠ABI=∠DBI=x,∠ACI=∠ECI=y, 可得∠A+x=∠I+y,即x-y=∠I-∠A ①; 连接AD,易得∠A+2x+∠BDC+180°-2y=360°, 即 由①②,得 板块三 思想方法(三)整体思想 典例精讲 【例】解:(1)连接AB, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠EAB+∠EBA+∠E=180°; (2)360°. 提示:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=360°. 实战演练 1.解:∵BI平分∠DBE,CI 平分∠DCF, ∴可设∠IBD=∠IBE=x,∠ICD=∠ICF=y, 易得： ∠A②, 将①代入②得∠D=360°-2∠A-2∠I+∠A, 2.解:(1)240°,60°; 理由如下：在四边形ABCD中， ∵∠BAD+∠CDA+∠B+∠C=360°, 又∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC, (∠B+∠C)], 在△AED 中,∠AED=180°-(∠EAD+∠EDA)=180°- 板块四 思想方法(四)特殊到一般 典例精讲 【例】解:探究一:∵DP,CP 分别平分∠ADC 和∠ACD, 探究二:(1)360°; ∠B). 实战演练 解:(1)∵BD,CE 是△ABC 的角平分线, (2)∵BD,CE 是△ABC的角平分线, ∴设∠2=∠ABD=x,∠BCE=∠ACE=y, 则∠ABC=2x,∠ACB=2y, ∵∠A=60°,∴2x+2y=120°,∴x+y=60°, ∵FH⊥BC,∴∠1=90°-y, (3)同(2)设∠2=∠ABD=x,∠BCE=∠ACE=y,则∠ABC=2x,∠ACB=2y, ∵∠A=a,∴2x+2y=180°-α, ∵FH⊥BC,∴∠1=90°-y, 板块五 思想方法(五)分类讨论 典例精讲 【例】解：如图1，当△ABC 为锐角三角形时，∠DFE+∠A=180°,∵∠A=50°,∴∠DFE=130°;如图2，图3，当△ABC 为钝角三角形时，∠DFE=∠A=50°. 综上所述,∠DFE=50°或130°. 1.解:(1)如图1,当∠BAC 为锐角时,BD 在△ABC 的内部,此时， 55°; (2)如图2,当∠BAC 为钝角时,BD在△ABC 的外部,此时， 2. A 解:如图1,∠P=β+γ-α;如图2,∠P=α+γ-β;如图3,∠P=γ-α-β.故选 A. 学科网（北京）股份有限公司 $