第十三章三角形全章基础必刷7个专题（60题）（必考点分类集训）-2025-2026学年人教版八年级数学上册必考点分类集训系列

第十三章 三角形全章基础必刷7个专题（60题） 【人教版2024】 基础必刷1 三角形的概念 1 基础必刷2 三角形的边角关系 2 基础必刷3 三角形的稳定性 3 基础必刷4 三角形的中线的应用 4 基础必刷5 三角形的高线的应用 6 基础必刷6 三角形内角和定理的应用 8 基础必刷7 三角形外角性质的应用 11 基础必刷1 三角形的概念 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 3．图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法： 甲：P是锐角三角形； 乙：Q是等边三角形； 则对于这两种说法，正确的是（　　） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 4．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（　　） A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形 6．如图，AD、CE为等边△ABC 的两条高，且AD与CE相交于点P，则图中的直角三角形共有 　 　 个． 7．如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有 　 　 个三角形． 基础必刷2 三角形的边角关系 8．下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，2cm，7cm C．1cm，1cm，2cm D．3cm，4cm，5cm 9．若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 10．已知三角形三边长分别为2，x，8，若x为奇数，则这样的三角形个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 11．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 12．已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，如果第三边长为x cm（x是整数），则三角形周长最大为　 　 cm． 13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 　 　 ． 14．【代数推理】设△ABC的三边长是a、b、c，周长是x，其中a＝4，b＝6． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）当c为奇数时，求x的最大值和最小值． （3）若x小于18的偶数，判断△ABC的形状． 基础必刷3 三角形的稳定性 15．下列实例中，没有应用到“三角形稳定性”的是（　　） A．三角支架 B．钢架桥 C．起重机 D．活动挂架 16．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里运用的几何原理是 　 　 ． 17．如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上　 　 根木条． 基础必刷4 三角形的中线的应用 18．如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 19．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为38，则△BCD的周长是（　　） A．23 B．35 C．33 D．53 20．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（　　） A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm 21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 22．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 23．如图，BD，CE分别为△ABC，△BCD的中线，若△ABD的面积为16，则△CDE的面积为（　　） A．4 B．8 C．2 D．16 24．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　 ． 25．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm） 基础必刷5 三角形的高线的应用 26．如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 27．如图，△ABC中AB边上的高线为（　　） A．AD B．CE C．AF D．BG 28．下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为点E、F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则是（　　） A． B． C． D． 30．如图，△ABC是等腰三角形，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若AB边上的高是6，求DE+DF的值． 31．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，CD⊥AB，则CD的长为：　　 ． （2）如图2，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，则△ABC的高CD与AE的比是：　　 ． （3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°（∠A＜∠ABC），点D，P分别在边AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F．若BC＝10，求DE+DF的值． 32．如图1，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB．垂足分别为E、F、H． （1）PE，PF，CH有怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图2，P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； （3）若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3时，则AB边上的高CH＝　 　 ，点P到AB边的距离PE＝　 　 ． 基础必刷6 三角形内角和定理的应用 33．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（　　） A．140° B．60° C．70° D．80° 35．如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD，∠A＝60°，下列式子中正确的是（　　） A．∠A+∠D＝∠E B．2∠D＝3∠A C．∠E＝3∠A D．5∠D＝4∠E 36．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于　 　 ． 37．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高线，∠ABD＝30°，则∠C的度数为　 　 ． 38．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点F是两条高线的交点，若∠A＝70°，∠FBC＝15°，则∠FCB＝　 　 ． 39．如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度数． 40．如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝72°，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F． （1）求∠DAC的度数． （2）求∠AFB的度数． 41．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数； （2）若∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度数． 42．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是△ABC的高线，AD与BE交于点F，过点F作FG∥BC交AC于点G，连接CF． （1）求证：； （2）若∠CAD＝∠DCF＝29°，∠FBC＝43°，求∠DFC的度数． 43．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且不与点A、B重合，CE与BD交于点O． （1）若CE是△ABC的高，且∠OBC＝32°，则∠BOC的度数为 　 　 °； （2）若CE是△ABC的角平分线，∠BOC＝130°，求∠A的度数． 44．在△ABC的CA、BA的延长线上任取两点D、E，联结DE． （1）如图1，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E； （2）如图2，∠AED和∠ACB的平分线交于点F，求证：．（提示：可直接利用（1）的结论） 45．（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，则∠DCE＝ 　 °； （2）如图2，若△ABC为一般三角形（AB＞AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，求∠DCE的度数（用含α的代数式表示）； （3）如图3，若△ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角，AB＜AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB延长线上一点，且∠ACE＝∠AEC，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由． 基础必刷7 三角形外角性质的应用 46．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝　 　 ． 47．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　 　 ． 48．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°，则∠A＝ 　 　 ． 49．如图，在△ABC中，∠A＝64°，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC、∠OCB角平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB的度数是　 　 °． 50．如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为　 　 ． 51．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为 　 ． 52．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　 　 ． 53．如图，点D，E分别在线段AB，BC上，连接AE，CD相交于点F，若∠A＝30°，∠C＝20°，∠B＝55°，则∠EFD的度数为　 　 ． 54．如图，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，已知∠A2、∠A1、∠A的和为84°，则∠A＝　 　 °． 55．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC延长线上一点，∠BAE＝3∠EAC，∠BCE＝3∠ECD，则∠AEC的度数为 　 　 ． 56．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数； （2）直接写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系． 57．如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在边BC上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D． （1）求证：∠DAC＝∠CED； （2）若∠AFD＝60°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数． 58．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边BC，AC上的点， （1）若∠ADE＝∠ACB，求证：∠BAD＝∠CDE； （2）若∠ADE＝∠AED，求证：∠BAD＝2∠CDE． 59．如图1，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）． （1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数； （2）试证明：； （3）如图2，若CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E，且α﹣β＝30°，求∠DCE的度数． 60．【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝　 　 ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是　 　 ； 【继续探索】 （2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形全章基础必刷7个专题（60题） 【人教版2024】 基础必刷1 三角形的概念 1 基础必刷2 三角形的边角关系 4 基础必刷3 三角形的稳定性 7 基础必刷4 三角形的中线的应用 8 基础必刷5 三角形的高线的应用 13 基础必刷6 三角形内角和定理的应用 19 基础必刷7 三角形外角性质的应用 30 基础必刷1 三角形的概念 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 2．下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可． 【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误； ②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误； ③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 3．图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法： 甲：P是锐角三角形； 乙：Q是等边三角形； 则对于这两种说法，正确的是（　　） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【分析】根据三角形按边分类，即可求解． 【解答】解：根据三角形按边分类可得： 三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 4．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 5．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（　　） A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形 【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠ACB在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 【解答】解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 故选：D． 6．如图，AD、CE为等边△ABC 的两条高，且AD与CE相交于点P，则图中的直角三角形共有 　 　 个． 【分析】根据AD、CE为等边△ABC的两条高得到∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠ADC＝90°，即可得到△ADC，△ADB，△CEA，△CEB，△PDC，△PEA是直角三角形即可得到答案． 【解答】解：由题意可得： ∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴△ADC，△ADB，△CEA，△CEB，△PDC，△PEA是直角三角形， 共有6个． 故答案为：6． 7．如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有 　 　 个三角形． 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：△PAE，△PBE，△PCE，△PDE，△PAB，△PAC，△PAD，△PBC，△PBD，△PCD共10个， 故答案为：10． 基础必刷2 三角形的边角关系 8．下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，2cm，7cm C．1cm，1cm，2cm D．3cm，4cm，5cm 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、2+3＝5，长度是2cm，3cm，5cm线段不能构成三角形，故A不符合题意； B、5+2＝7，长度是5cm，2cm，7cm线段不能构成三角形，故B不符合题意； C、1+1＝2，长度是1cm，1cm，2cm线段不能构成三角形，故C不符合题意； D、3+4＞5，长度是3cm，4cm，5cm线段能构成三角形，故D符合题意． 故选：D． 9．若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 【分析】首先根据三角形的三边关系确定x的取值范围，再去绝对值计算即可解答． 【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴5＜x＜9， ∴|x﹣5|﹣2|x﹣12| ＝x﹣5+2x﹣24 ＝3x﹣29， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 10．已知三角形三边长分别为2，x，8，若x为奇数，则这样的三角形个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到6＜x＜10，因此x＝7或9，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣2＜x＜8+2， ∴6＜x＜10， ∵x为奇数， ∴x＝7或9， ∴这样的三角形个数为2个． 故选：A． 11．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 【分析】连接BD，构造△ABD和△BCD，利用三角形三边关系作答． 【解答】解：如图，连接BD， 在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm， 在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm， 所以5cm＜BD＜11cm． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 12．已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，如果第三边长为x cm（x是整数），则三角形周长最大为　 　 cm． 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；将第三边的长加上另外两边长即可得出周长． 【解答】解：设第三边长为x cm． 则有7﹣3＜x＜7+3， 即4＜x＜10． ∴第三边最大为9， 因此x＝9． 故周长为3+7+9＝19（cm）． 故答案为：19． 13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 　 　 ． 【分析】分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到6﹣4＜x＜6+4， ∴2＜x＜10， 若2x＝4，则x＝2； 若2x＝6，则x＝3； 若x＝2×4，则x＝8； 若x＝2×6，则x＝12， ∵2＜x＜10， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 14．【代数推理】设△ABC的三边长是a、b、c，周长是x，其中a＝4，b＝6． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）当c为奇数时，求x的最大值和最小值． （3）若x小于18的偶数，判断△ABC的形状． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和x的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求c的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6， 所以2＜c＜10． 故周长x的范围为12＜x＜20． （2）∵a＝4，b＝6，c为奇数， ∵12＜x＜20， ∴x最大为19，最小为13． （3）∵周长为小于18的偶数， ∴x＝16或x＝14． 当x为16时，c＝6； 当x为14时，c＝4． 当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形； 当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形． 综上所述，△ABC是等腰三角形． 基础必刷3 三角形的稳定性 15．下列实例中，没有应用到“三角形稳定性”的是（　　） A．三角支架 B．钢架桥 C．起重机 D．活动挂架 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【解答】解：A、三角支架应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、钢架桥应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、起重机应用到三角形的稳定性，不符合题意； D、活动挂架没有应用到三角形的稳定性，符合题意； 故选：D． 16．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里运用的几何原理是 　 　 ． 【分析】根据三角形的稳定性求解即可． 【解答】解：由题意可得，这里运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 17．如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上　 　 根木条． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：如图，根据三角形具有稳定性可知：要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上3根木条， 故答案为：3． 基础必刷4 三角形的中线的应用 18．如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据三角形的中线，周长的计算得到BC＝2CD＝6，AC＝4，根据△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD，得到△ABD与△ACD的周长之差为AB﹣AC，由此即可求解． 【解答】解：△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝3，则BC＝6， ∴AC＝16﹣AB﹣BC＝16﹣6﹣6＝4， ∵△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD， ∴AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， 故选：A． 19．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为38，则△BCD的周长是（　　） A．23 B．35 C．33 D．53 【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，由△ABD的周长为38，AB＝18，求出AD+BD＝20，进而得出△BCD的周长． 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， ∵△ABD的周长为38，AB＝18， ∴AD+BD＝38﹣AB＝38﹣18＝20， ∴CD+BD＝AD+BD＝20， ∵BC＝15， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝15+20＝35． 故选：B． 20．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（　　） A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm 【分析】根据题意得到AB＝AC+3，根据中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：由题意得，AB＝AC+3， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为16cm， ∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝16（cm）， 则AC+DC+AD＝13（cm）， ∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝13（cm）， 故选：A． 21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由三角形中线的定义得到BD＝CD，进而得到△ABD和△ADC的周长的差等于AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ADC的周长多3， ∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3， ∵AB+AC＝13， ∴AB＝8． 故选：D． 22．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是10cm2， ∴△ABD的面积＝△ABC的面积5（cm2）， ∵E是AB的中点， ∴△BDE的面积＝△ABD的面积2.5（cm2）， 故选：C． 23．如图，BD，CE分别为△ABC，△BCD的中线，若△ABD的面积为16，则△CDE的面积为（　　） A．4 B．8 C．2 D．16 【分析】根据三角形中线平分三角形面积得到S△CBD＝S△ABD＝16，进而可得． 【解答】解：∵BD是△ABC的中线，CE是△CDE的中线， ∴S△CBD＝S△ABD＝2S△CDE＝16， ∴S△CDE＝8， 故选：B． 24．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　 ． 【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABDS△ABC，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，则有S△BCFS△BEC＝5，进而问题可求解． 【解答】解：连接FC，如图所示： ∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15， ∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABDS△ABC， ∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF， ∴S△AEF＝S△BDF， ∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF， ∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF， ∴S△BCFS△BEC＝5， ∵S△BCFBC•FH6FH＝5， ∴FH． 故答案为：． 25．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm） 【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再根据AC+CD＝60，AB+BD＝40，即可得出x和y的值． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC， ∴BD＝CD， 设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x， ∵AC＞AB， ∴AC+CD＝60，AB+BD＝40， 即4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm． 基础必刷5 三角形的高线的应用 26．如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可． 【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上， 所以正确画出AC边上的高的是D选项， 故选：D． 27．如图，△ABC中AB边上的高线为（　　） A．AD B．CE C．AF D．BG 【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高）得出答案． 【解答】解：如图，∵CE⊥BA延长线于E， ∴△ABC中AB边上的高线是线段CE． 故选：B． 28．下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解． 【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误； ②直角三角形有三条高，故错误； ③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确； ④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误； 故选：A． 29．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为点E、F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则是（　　） A． B． C． D． 【分析】在△ABC中，因为AD是中线，所以△ABD和△ADC的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【解答】解：在三角形ABC中，AD是中线， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝S△ADC． ∵DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为点E、F，AC＝4cm，AB＝6cm， ∴AB•DEAC•DF， ∴6DE4DF， ∴． 故选：B． 30．如图，△ABC是等腰三角形，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若AB边上的高是6，求DE+DF的值． 【分析】连接AD，根据三角形的面积公式即可得到AB•DEAC•DFAB×6，根据等腰三角形的性质进而求得DE+DF的值． 【解答】解：连接AD， ∵AB边上的高是6， ∴S△ABCAB×6， ∵S△ABDAB•DE，S△ADCAC•DF， ∴AB•DEAC•DFAB×6， ∵AB＝AC， ∴AB（DE+DF）AB×6， ∴DE+DF＝6． 31．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，CD⊥AB，则CD的长为：　　 ． （2）如图2，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，则△ABC的高CD与AE的比是：　　 ． （3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°（∠A＜∠ABC），点D，P分别在边AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F．若BC＝10，求DE+DF的值． 【分析】（1）利用面积法求出CD即可． （2）如图2中，利用面积法求出高CD与AE的比即可． （3）如图，利用面积法求出DE+DF＝BC，可得结论． 【解答】解：（1）如图1中， ∵CD⊥AB， ∴S△ABC•AC•BC•AB•CD， ∴CD； 故答案为：； （2）如图2中， ∵S△ABCAB•CDBC•AE ∴， ∴2CD＝AE， ∴CD：AE＝1：2； 故答案为：1：2； （3）∵S△ABP，，， ∵S△ABP＝S△ADP+S△BDP， ∴， 又∵BP＝AP， ∴， 即DE+DF＝BC＝10． 32．如图1，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB．垂足分别为E、F、H． （1）PE，PF，CH有怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图2，P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； （3）若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3时，则AB边上的高CH＝　 　 ，点P到AB边的距离PE＝　 　 ． 【分析】（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC＝S△ABP+S△ACPAC×（PE+PF），同时可表示出S△ABCAC×BH，从而可得到PE+PF＝BH． （2）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP＝S△ACP+S△ABC即可得出PE＝PF+PH； （3）先根据直角三角形的性质得出AC＝2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH＝7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF＝CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE＝PF+CH． 【解答】解：（1）PE+PF＝CH． 理由：如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABPAB•PE，S△ACPAC•PF，S△ABCAB•CH． 又∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PEAC•PFAB•CH． ∵AB＝AC， ∴PE+PF＝CH． （2）如图，PE＝PF+CH．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABPAB•PE，S△ACPAC•PF，S△ABCAB•CH， ∵S△ABP＝S△ACP+S△ABC， ∴AB•PEAC•PFAB•CH， 又∵AB＝AC， ∴PE＝PF+CH； （3）∵在△ACH中，∠A＝30°， ∴AC＝2CH． ∵S△ABCAB•CH，AB＝AC， ∴2CH•CH＝49， ∴CH＝7． 分两种情况： ①P为底边BC上一点，如图1． ∵PE+PF＝CH， ∴PE＝CH﹣PF＝7﹣3＝4； ②P为BC延长线上的点时，如图2． ∵PE＝PF+CH， ∴PE＝3+7＝10． 故答案为：7；4或10． 基础必刷6 三角形内角和定理的应用 33．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∴5x+2x+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 34．如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（　　） A．140° B．60° C．70° D．80° 【分析】由折叠得到∠A与∠F的关系，再利用平角、四边形的内角和得到∠FDB+∠FEC的度数． 【解答】解：∵△DEF是由△DEA折叠而成的， ∴∠A＝∠F＝30°． ∵∠A+∠ADF+∠AEF+∠F＝360°， ∴∠ADF+∠AEF＝360°﹣∠A﹣∠F＝300°． ∵∠BDF＝180°﹣∠ADF， ∠FEC＝180°﹣∠AEF， ∴∠FDB+∠FEC＝180°﹣∠ADF+180°﹣∠AEF ＝360°﹣（∠ADF+∠AEF） ＝360°﹣300° ＝60°． 故选：B． 35．如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD，∠A＝60°，下列式子中正确的是（　　） A．∠A+∠D＝∠E B．2∠D＝3∠A C．∠E＝3∠A D．5∠D＝4∠E 【分析】先根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得∠A、∠D和∠E，然后代入各选项判断即可． 【解答】解：∵BD和分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°， ∴根据角平分线的定义， ． ∴根据三角形内角和定理，∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣60°＝120°． ∵BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD， ∴∠CBE+∠BCE（∠CBD+∠BCD）60°＝30°． ∴∠E＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣30°＝150°． A．∠A+∠D＝60°+120°＝180°≠150°＝∠E，所以A选项错误，不符合题意； B．2∠D＝2×120°＝240°≠180＝3∠A，所以B选项错误，不符合题意； C．∠E＝150°≠180°＝3∠A，所以C选项错误，不符合题意； D．5∠D＝600°＝4∠E，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 36．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于　 　 ． 【分析】根据题意，可设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°，根据三角形的内角和定理，列方程解答． 【解答】解：设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°， 列方程得，x+2x+2x﹣20°＝180°， 解得x＝40°． 答：这个三角形的最小角度数为40°． 故答案为：40°． 37．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高线，∠ABD＝30°，则∠C的度数为　 　 ． 【分析】首先画出图形，根据三角形高的定义可得∠ADB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，然后再根据三角形内角和定理可得∠C的度数． 【解答】解：如图1，∵BD为AC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠A＝60°， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠C60°， 如图2，∵BD为AC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠BAD＝60°， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠C＝30°， 综上所述：∠C的度数为：60°或30°． 故答案为：60°或30°． 38．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点F是两条高线的交点，若∠A＝70°，∠FBC＝15°，则∠FCB＝　 　 ． 【分析】先根据三角形内角和定理求得∠BCE，∠ACD，根据∠BCF＝∠BCE﹣∠ACD求解即可． 【解答】解：∵CD是AB边上的高，BE是AC边上的高， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠A＝70°，∠FBC＝15°， ∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠BCF＝∠BCE﹣∠ACD＝75°﹣20°＝55°， 故答案为：55． 39．如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度数． 【分析】由三角形的内角和定理，结合垂线的定义可求解∠ADC的度数，根据角平分线的定义可求解∠DAC，∠BAC的度数，利用三角形的内角和定理可求解∠C，∠B的度数． 【解答】解：∵EF⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∵∠F＝15°，∠ADE+∠F+∠DEF＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∵AD平分∠BAC，∠1＝40°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠1＝80°， ∴∠DAC＝40°， ∵∠ADE+∠C+∠DAC＝180°， ∴∠C＝180°﹣40°﹣75°＝65°， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°． 40．如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝72°，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F． （1）求∠DAC的度数． （2）求∠AFB的度数． 【分析】（1）先根据已知条件求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠DAC即可； （2）先根据）∠BAC＝∠BAD+∠DAC，求出∠BAD，再根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠ABC和∠ABF，最后再次利用三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】解：（1）∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠DAC＝90°， ∵∠C＝72°， ∴∠DAC＝90°﹣72°＝18°； （2）∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝58°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝58°﹣18°＝40°， ∵∠BAC+∠C+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣58°﹣72°＝50°， ∵BE是角平分线， ∴， ∵∠ABF+∠BAD+∠AFB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣25°﹣40°＝115°． 41．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数； （2）若∠C﹣∠B＝30°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可； （2）根据（1）的结论，三角形内角和定理，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝70°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝40°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠DAE＝60°﹣40°＝20°； （2）由（1）可得， ∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE ＝90°﹣∠B∠BAC ＝90°﹣∠B（180°﹣∠B﹣∠C） ＝90°﹣∠B﹣90°∠B∠C （∠C﹣∠B） 30° ＝15°． 42．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是△ABC的高线，AD与BE交于点F，过点F作FG∥BC交AC于点G，连接CF． （1）求证：； （2）若∠CAD＝∠DCF＝29°，∠FBC＝43°，求∠DFC的度数． 【分析】（1）由角平分线定义得到∠DAC∠BAC，由三角形的外角性质推出∠ADB＝∠ACB∠BAC，由平行线的性质推出∠DFG＝∠ADB＝∠ACB∠BAC； （2）由三角形内角和定理求出∠BFC＝108°，由直角三角形的性质求出∠AFE＝61°，由对顶角的性质得到∠BFD＝∠AFE＝61°，即可求出∠DFC的度数． 【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠DAC∠BAC， ∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC， ∴∠ADB＝∠ACB∠BAC， ∵FG∥BC， ∴∠DFG＝∠ADB＝∠ACB∠BAC； （2）解：∵∠DCF＝29°，∠FBC＝43°， ∴∠BFC＝180°﹣29°﹣43°＝108°， ∵BF是△ABC的高， ∴∠AEF＝90°， ∵∠CAD＝29°， ∴∠AFE＝90°﹣29°＝61°， ∴∠BFD＝∠AFE＝61°， ∴∠DFC＝∠BFC﹣∠BFD＝108°﹣61°＝47°． 43．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且不与点A、B重合，CE与BD交于点O． （1）若CE是△ABC的高，且∠OBC＝32°，则∠BOC的度数为 　 　 °； （2）若CE是△ABC的角平分线，∠BOC＝130°，求∠A的度数． 【分析】（1）由三角形角平分线的定义得∠EBO＝∠OBC＝32°，由三角形高的定义得∠BEO＝90°，进而根据三角形外角性质即可求解； （2）由三角形内角和定理得∠OBC+∠OCB＝50°，进而由三角形角平分线的定义得∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝100°，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠EBO＝∠OBC＝32°， ∵CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB， ∴∠BEO＝90°， ∴∠BOC＝∠BEO+∠EBO＝90°+32°＝122°， 故答案为：122； （2）由条件可知∠OBC+∠OCB＝180°﹣130°＝50°， ∵BD、CE是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×50°＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°． 44．在△ABC的CA、BA的延长线上任取两点D、E，联结DE． （1）如图1，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E； （2）如图2，∠AED和∠ACB的平分线交于点F，求证：．（提示：可直接利用（1）的结论） 【分析】（1）在△ABC和△ADE中，利用三角形内角和定理和对顶角的性质进行证明即可； （2）先根据（1）中所证的结论得到：∠DEA﹣∠ACB＝∠B﹣∠D，再角平分线的定义证明，然后在△DEH和△CHF中，利用三角形内角和定理和对顶角的性质进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝∠D+∠E+∠DAE＝180°，∠BAC＝∠DAE， ∴∠B+∠C＝∠D+∠E； （2）由（1）可知：∠B+∠C＝∠D+∠E， ∴∠E﹣∠C＝∠B﹣∠D，即∠DEA﹣∠ACB＝∠B﹣∠D ∵∠AED和∠ACB的平分线交于点F， ∴， ∵∠DEH+∠D+∠DHE＝∠HCF+∠F+∠CHF＝180°，∠DHE＝∠CHF， ∴∠DEH+∠D＝∠HCF+∠F，即， ∴ ． 45．（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，则∠DCE＝ 　 °； （2）如图2，若△ABC为一般三角形（AB＞AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，求∠DCE的度数（用含α的代数式表示）； （3）如图3，若△ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角，AB＜AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB延长线上一点，且∠ACE＝∠AEC，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【分析】（1）如图1，∠ACE＝∠AEC，可得，由内角和可求∠B＝60°，根据外角定理求∠ECB＝∠DEC﹣∠B＝15°，于是∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝30°； （2）如图，由∠ACE＝∠AEC，得，由外角定理，，于是； （3）如图，由∠ACE＝∠AEC，得，由外角定理得，所以． 【解答】解：（1）如图1， ∵∠ACE＝∠AEC， ∴， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠DEC＝∠B+∠ECB， ∴∠ECB＝∠DEC﹣∠B＝75°﹣60°＝15°， ∴． 故答案为：30； （2）如图，∵∠ACE＝∠AEC， ∴， ∵∠AEC＝∠ECB+∠B， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴； （3）如图，∵∠ACE＝∠AEC， ∴， ∵∠ABC＝∠ECB+∠BEC， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴． 基础必刷7 三角形外角性质的应用 46．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝　 　 ． 【分析】由三角形内角和定理求出∠A＝50°，由三角形的外角性质和角平分线的定义推出∠E∠A＝25°． 【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×65°＝130°， ∴∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE∠ACD， ∵∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠ACD＝∠E+∠CBE， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴（∠A+∠ABC）＝∠E+∠CBE， ∵∠ABC＝2∠CBE， ∴（∠A+2∠CBE）＝∠E+∠CBE， ∴∠E∠A50°＝25°． 故答案为：25°． 47．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　 　 ． 【分析】延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得，即可得解． 【解答】解：如图，延长PC交BD于点E，设AC与BP交于点F． ∵∠ABD、∠ACD的平分线交于点P， ∴根据角平分线的定义，∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠A+∠1+∠AFB＝∠P+∠3+∠PFC，∠AFB＝∠PFC， ∴∠A+∠1＝∠P+∠3① ∵∠5＝∠2+∠P，∠5＝∠4﹣∠D， ∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D② ①﹣②，得∠A﹣∠P＝∠P+∠D， ∴． ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴， 即∠P的度数为19°， 故答案为：19°． 48．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°，则∠A＝ 　 　 ． 【分析】由三角形的外角性质推出∠BDC＝∠C+∠B+∠A，即可求出∠A的度数． 【解答】解：延长BD交AC于E， ∵∠BDC＝∠C+∠CED，∠CED＝∠A+∠B， ∴∠BDC＝∠C+∠B+∠A， ∵∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°， ∴∠A＝80°． 故答案为：80°． 49．如图，在△ABC中，∠A＝64°，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC、∠OCB角平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB的度数是　 　 °． 【分析】，设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，得到x+y＝80°，即可求出∠OBC，可得∠ABC的度数，然后根据三角形的内角和解决问题． 【解答】解：∵OP是∠BOC的平分线，PC是∠OCB角平分线， 设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y， ∵∠P＝100°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°， ∵BO平分∠ABC，∠A＝64°， ∴∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣64°＝76°． 故答案为：76． 50．如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为　 　 ． 【分析】根据三角形外角性质得出∠3＞∠2，∠2＞∠1，即可得出答案． 【解答】解：在△BDE中，∠3＞∠2， 在△ABC中，∠2＞∠1， ∴∠1＜∠2＜∠3， 所以∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为：∠1＜∠2＜∠3． 故答案为：∠1＜∠2＜∠3． 51．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为 　 ． 【分析】如图，利用三角形的外角求得∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝15°即可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠ADC＝45°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝15°， ∴∠α＝∠BAC﹣∠BAD＝75°， 故答案为：75°． 52．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　 　 ． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故答案为：90°． 53．如图，点D，E分别在线段AB，BC上，连接AE，CD相交于点F，若∠A＝30°，∠C＝20°，∠B＝55°，则∠EFD的度数为　 　 ． 【分析】根据∠DFE＝∠A+∠ADF，∠DFE＝∠A+∠ADF求解即可． 【解答】解：由条件可知∠ADF＝∠B+∠C＝55°+20°＝75°， ∴∠DFE＝∠A+∠ADF＝30°+75°＝105°． 故答案为：105°． 54．如图，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，已知∠A2、∠A1、∠A的和为84°，则∠A＝　 　 °． 【分析】根据三角形的外角和，角平分线的定义，则∠A＝2∠A1，∠A1＝2∠A2，根据已知∠A2、∠A1、∠A的和为84°，求出∠A，即可． 【解答】解：由条件可知∠ABA1＝∠A1BC，∠ACA1＝∠A1CD， ∵∠ABC+∠A＝∠ACD，， ∴2∠A1BC+2∠A1＝2∠A1CD＝∠ACD， ∴2∠A1BC+2∠A1＝∠ABC+∠A＝∠ACD， ∴2∠A1＝∠A； 由条件可知，， ∵∠A1BC+∠A1＝∠A1CD，， ∴2∠A2BC+2∠A2＝∠A1CD， ∴2∠A2BC+2∠A2＝∠A1BC+∠A1＝∠A1CD， ∴2∠A2＝∠A1， ∴4∠A2＝2∠A1＝∠A， ∵∠A2、∠A1、∠A的和为84°， ∴∠A+∠A1+∠A2＝4∠A2+2∠A2+∠A2＝84°， ∴∠A2＝12°， ∴∠A＝4∠A2＝4×12°＝48°． 故答案为：48． 55．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC延长线上一点，∠BAE＝3∠EAC，∠BCE＝3∠ECD，则∠AEC的度数为 　 　 ． 【分析】由三角形的外角性质推出∠ECD＝∠EAC+∠AEC，得到∠BCD∠BAC+∠AEC，推出∠AEC∠ABC，即可得到∠AEC的度数． 【解答】解：∵∠BAE＝3∠EAC，∠BCE＝3∠ECD， ∴∠EAC∠BAC，∠ECD∠BCD， ∵∠ECD＝∠EAC+∠AEC， ∴∠BCD∠BAC+∠AEC， ∴（∠BAC+∠ABC）∠BAC+∠AEC， ∴∠AEC∠ABC90°＝22.5°． 故答案为：22.5°． 56．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数； （2）直接写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系． 【分析】（1）先得出∠ECD＝∠B+∠E＝68°，根据EC平分∠ACD，可得∠ACE＝∠ECD＝68°，再根据∠BAC＝∠ACE+∠E，即可作答； （2）根据EC平分∠ACD，可得∠ACE＝∠ECD，结合∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACE+∠E，即可求解． 【解答】（1）解：∵∠B＝42°，∠E＝26°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝42°+26°＝68°， ∵EC平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝68°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+26°＝94°； （2）解：∠BAC＝∠B+2∠E，证明如下： ∵EC平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD， 又∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E ＝∠ECD+∠E ＝∠B+∠E+∠E ＝∠B+2∠E， 即：∠BAC＝∠B+2∠E． 57．如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在边BC上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D． （1）求证：∠DAC＝∠CED； （2）若∠AFD＝60°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用三角形的外角性质，可得出∠DAC＝∠B+∠C，∠CED＝∠B+∠D，再结合∠C＝∠D，即可证出∠DAC＝∠CED； （2）由∠AFD＝60°得出∠DFC＝120°，再由∠DFC＝3∠B，可求出∠AFD及∠B的度数，在△ADF中，利用三角形内角和定理，可求出∠C，∠D的度数，再在△BED中，利用三角形内角和定理，即可求出△BED的度数． 【解答】（1）证明：∵∠DAC是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠B+∠C， ∵∠CED是△BDE的外角， ∴∠CED＝∠B+∠D， 又∵∠C＝∠D， ∴∠DAC＝∠CED； （2）解：∵∠AFD＝60°， ∴∠DFC＝120°， ∵∠DFC＝3∠B， ∴， ∵∠CAD＝∠B+∠C，∠C＝∠D， ∴∠B+∠C+∠C+∠AFD＝180°，即40°+∠C+∠C+60°＝180°， ∴， ∴∠D＝40°， ∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 58．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边BC，AC上的点， （1）若∠ADE＝∠ACB，求证：∠BAD＝∠CDE； （2）若∠ADE＝∠AED，求证：∠BAD＝2∠CDE． 【分析】（1）由三角形的外角性质推出∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，即可证明∠BAD＝∠CDE； （2）由三角形的外角性质推出∠ADE＝∠C+∠CDE，∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，即可证明∠BAD＝2∠CDE． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠CDE； （2）∵∠AED＝∠C+∠CDE，∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE＝∠C+∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD， ∴∠C+2∠CDE＝∠B+∠BAD， ∵∠B＝∠C， ∴∠BAD＝2∠CDE． 59．如图1，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）． （1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数； （2）试证明：； （3）如图2，若CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E，且α﹣β＝30°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）先根据三角形内角和求出∠ACB，再根据角平分线的定义得出∠ACE，然后根据高线的定义即可求出∠ACD，最后根据角的和差即可得出答案； （2）先根据三角形内角和求出∠ACB，再根据角平分线的定义得出∠ACE，然后根据高线的定义即可求出∠ACD，最后根据角的和差即可得出答案； （3）利用第（2）小题的结论，先构造内角平分线CE′，再根据角平分线的定义求出∠ECE′＝90°，然后根据角的和差即可得出答案． 【解答】解：（1）∵α＝70°，β＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°． ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB70°＝35°． ∵CD是高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°． ∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°． （2）由题意，得∠ACB＝180°﹣（α+β）． ∵CE是∠ACB的平分线， ∴． ∵CD是高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α． ∴． （3）如图，作∠ACB的平分线CE′， 则同（2）可得． ∵CE是∠ACF的平分线， ∴． ∴∠DCE＝∠ECE′﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 60．【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝　 　 ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是　 　 ； 【继续探索】 （2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数． 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，可得∠CBE+∠BCF＝180°+∠A，则根据∠N＝180°﹣（∠CBN+∠BCN），然后计算求解即可； （3）由题意知，、、∠A＝2∠M，当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①∠NBM＝3∠M，②∠NBM＝3∠N，③∠M＝3∠N，④∠N＝3∠M四种情况求解即可． 【解答】解：（1）如图①，由条件可知： ， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°， ∴； 如图②，由条件可知： ， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM， ∴2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），整理得，∠A＝2∠M． 故答案为：140°，∠A＝2∠M． （2）∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB， ∴， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A， ∴， ∴； （3）由题意知，∠NBM＝90°，，∠A＝2∠M， ∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当∠NBM＝3∠M时，∠NBM＝3∠M， ∴∠M＝30°， ∴∠A＝2∠M＝60°； ②当∠NBM＝3∠N时，， ∴∠A＝120°； ③当∠M＝3∠N时，， ∴∠A＝135°； ④当∠N＝3∠M时，， ∴∠A＝45°． 综上所述，∠A的度数为30°或120°或135°或45°． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $