第十三章 三角形（必考点分类集训）-2025-2026学年人教版八年级数学上册必考点分类集训系列

第十三章 三角形全章知识清单10个知识点 【人教版2024】 13.1 三角形的概念 1 【知识点1 三角形的概念】 1 【知识点2 三角形的分类】 2 13.2 与三角形有关的线段 3 【知识点3 三角形的三边关系】 3 【知识点4 三角形的稳定性】 3 【知识点5 三角形的中线】 3 【知识点6 三角形的角平分线】 3 【知识点7 三角形的高】 3 13.3 三角形的内角与外角 5 【知识点8 三角形的内角和】 5 【知识点9 直角三角形的性质及判定】 5 【知识点10 三角形的外角】 5 13.1 三角形的概念 【知识点1 三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【知识点2 三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【典例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】下列说法正确的是（　　） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．等边三角形一定是等腰三角形 【典例3】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（　　） A． B． C． D． 13.2 与三角形有关的线段 【知识点3 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点4 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【知识点5 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点6 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点7 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【典例4】三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 【典例5】有四段长度分别为3cm，4cm，6cm，9cm的铁丝，任意取出其中的三段，可以组成（　　）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例6】下列物体中，没有利用三角形的稳定性的是（　　） A．伸缩门 B．衣架 C．折叠伞的骨架 D．塔吊 【典例7】如图，△ABC中，AB＝2BD，∠ACF＝∠BCF，AB⊥CE，下列选项不正确的是（　　） A．CF是△CDE的角平分线 B．CE是△BCE的高 C．CD是△ABC的中线 D．S△ACD＝S△BCD 【典例8】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【典例9】如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF 13.3 三角形的内角与外角 【知识点8 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点9 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【知识点10 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【典例10】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠BCD＝36°，则∠A的度数为（　　） A．36° B．44° C．27° D．54° 【典例11】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的角平分线与BC交于点E，过点A作BC边上的高，交BC于点D，若∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【典例12】如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，下列结论中正确的是（　　） A．∠A＜∠2＜∠1 B．∠A＜∠1＜∠2 C．∠2＜∠1＜∠A D．∠1＜∠2＜∠A 【典例13】如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD＝108°，，则∠A的度数为（　　） A．36° B．70° C．82° D．72° 【典例14】如图，在△ABC中，BE，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BE的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．以下结论：①∠A＝2∠F，②∠BEC＝3∠F，③∠BEC＝90°∠A，④∠BEC+∠F＝180°．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形全章知识清单10个知识点 【人教版2024】 13.1 三角形的概念 1 【知识点1 三角形的概念】 1 【知识点2 三角形的分类】 2 13.2 与三角形有关的线段 3 【知识点3 三角形的三边关系】 3 【知识点4 三角形的稳定性】 4 【知识点5 三角形的中线】 4 【知识点6 三角形的角平分线】 4 【知识点7 三角形的高】 4 13.3 三角形的内角与外角 7 【知识点8 三角形的内角和】 7 【知识点9 直角三角形的性质及判定】 7 【知识点10 三角形的外角】 8 13.1 三角形的概念 【知识点1 三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【知识点2 三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【典例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 【典例2】下列说法正确的是（　　） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．等边三角形一定是等腰三角形 【解答】解：A、一个直角三角形可能是等腰三角形，选项说法错误，不符合题意； B、等腰三角形可以是锐角三角形、可以是直角三角形、也可以是钝角三角形，选项说法错误，不符合题意； C、一个钝角三角形可能是等腰三角形，选项说法错误，不符合题意； D、等边三角形一定是等腰三角形，说法正确，符合题意； 故选：D． 【典例3】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵三角形按边分类可分为：不等腰三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为腰与底不等的等腰三角形和等边三角形， ∴选项A，C正确，不符合题意； ∵三角形按角分类可分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形， ∴选项B正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意． 故选：D． 13.2 与三角形有关的线段 【知识点3 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点4 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【知识点5 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点6 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点7 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【典例4】三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜4﹣2a＜5+3， ∴2＜4﹣2a＜8， ∴﹣2＜a＜1． 故选：D． 【典例5】有四段长度分别为3cm，4cm，6cm，9cm的铁丝，任意取出其中的三段，可以组成（　　）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：任意取出其中的三段，可以有以下四种取法： 3cm、4cm、6cm，3cm、4cm、9cm，3cm、6cm、9cm，4cm、6cm、9cm． 3+4＞6，能组成三角形； 3+4＜9，不能组成三角形； 3+6＝9，不能组成三角形； 4+6＞9，能组成三角形． ∴可以组成2个不同的三角形． 故选：B． 【典例6】下列物体中，没有利用三角形的稳定性的是（　　） A．伸缩门 B．衣架 C．折叠伞的骨架 D．塔吊 【解答】解：A、伸缩门，没有利用三角形的稳定性，符合题意； B、衣架，利用了三角形的稳定性，不符合题意； C、折叠伞的骨架，利用了三角形的稳定性，不符合题意； D、塔吊，利用了三角形的稳定性，不符合题意， 故选：A． 【典例7】如图，△ABC中，AB＝2BD，∠ACF＝∠BCF，AB⊥CE，下列选项不正确的是（　　） A．CF是△CDE的角平分线 B．CE是△BCE的高 C．CD是△ABC的中线 D．S△ACD＝S△BCD 【解答】解：A、∵∠ACF＝∠BCF， ∴CF是△ABC的角平分线；没有条件能证明CF是△CDF的角平分线，说法错误，故符合题意； B、∵AB⊥CE， ∴CE是△BCE的高，说法正确，故不符合题意； C、∵AB＝2BD， ∴CD是△ABC的中线，说法正确，故不符合题意； D、∵AB＝2BD， ∴CD是△ABC的中线， ∴S△ACD＝S△BCD，说法正确，故不符合题意； 故选：A． 【典例8】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【解答】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 【典例9】如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF 【解答】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE， 故选：B． 13.3 三角形的内角与外角 【知识点8 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点9 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【知识点10 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【典例10】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠BCD＝36°，则∠A的度数为（　　） A．36° B．44° C．27° D．54° 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BCD＝2×36°＝72°． ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣36°＝54°． 在△BAC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， 即∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠A+54°+72°＝180°， ∴∠A＝27°． 故选：C． 【典例11】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的角平分线与BC交于点E，过点A作BC边上的高，交BC于点D，若∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝45°， ∵AD⊥BC，∠B＝50°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝5°． 故选：A． 【典例12】如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，下列结论中正确的是（　　） A．∠A＜∠2＜∠1 B．∠A＜∠1＜∠2 C．∠2＜∠1＜∠A D．∠1＜∠2＜∠A 【解答】解：∵∠1是△CDP的一个外角，∠2是△ABD的一个外角， ∴∠1＝∠2+∠DCP，∠2＝∠A+∠DBA， ∴∠2＜∠1，∠A＜∠2， ∴∠A＜∠2＜∠1． 故选：A． 【典例13】如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD＝108°，，则∠A的度数为（　　） A．36° B．70° C．82° D．72° 【解答】解：∵∠B+∠A＝∠ACD，∠B∠A， ∴∠A+∠A＝108°， ∴∠A＝72°． 故选：D． 【典例14】如图，在△ABC中，BE，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BE的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．以下结论：①∠A＝2∠F，②∠BEC＝3∠F，③∠BEC＝90°∠A，④∠BEC+∠F＝180°．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【解答】解：由题意，∵CF平分∠ACD，BE平分∠ABC， ∴，∠FBC∠ABC． 根据三角形外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠FCD＝∠FBC+∠F， ∴∠F＝∠FCD﹣∠FBC∠ACD∠ABC（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，即∠A＝2∠F，故①正确． 由①，根据三角形内角和定理，， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BEC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A＝90°+∠F， ∵∠F不一定是45°， ∴∠BEC≠3∠F，故②错误． ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，． 根据三角形内角和定理，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）． 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴，故③正确． 由知，由③知∠BEC＝90°∠A． ∴∠BEC+∠F＝90°∠A∠A＝90°+∠A． ∵∠A不一定是90°， ∴∠BEC+∠F≠180°，故④错误． 综上，正确的是①③． 故选：B． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $