专题05 直线的方程及直线的交点与距离公式（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题05 直线的方程及直线的交点与距离公式 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角及斜率 考点02 直线的方程 考点03 两条直线平行、垂直位置关系 考点04 有关点线的距离及最值问题 地 城 考点01 直线的倾斜角及斜率 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．(22-23高二上·河北唐山开滦第一中学·期末)直线的倾斜角为 A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)直线的倾斜角是 A． B． C． D． 5．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河北张家口·期中)三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)经过，两点的直线的倾斜角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．135° 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（   ） A． B． C．3 D． 11．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知直线经过点，，，则的倾斜角为（   ） A． B． C．0 D． 12．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 16．(24-25高二上·河北张家口·期中)如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 17．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)直线的方程为，若直线过原点和二、四象限，则    (　　) A． B． C． D． 二、多选题 18．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 19．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   20．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为 C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为 地 城 考点02 直线的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)无论取何值，直线恒过定点，则点为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是（    ） A．y=2x-1 B．y=-2x-1 C．y=-2x+1 D．y=2x+1 二、多选题 7．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线过点 B．直线与直线平行 C．直线在轴上的截距为2 D．直线与直线垂直 8．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 9．(24-25高二上·河北张家口·期中)直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)下列说法在确的是（   ） A．若方程表示直线，则 B．分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D．直线与相交于点，则过点，的直线方程为 三、填空题 11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)直线关于x轴对称的直线方程为 . 四、解答题 12．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知的三个顶点分别为． (1)求边的中线和高所在直线的方程； (2)若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 13．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 14．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 15．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知的顶点，若边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程． 16．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 17．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 18．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 19．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 地 城 考点03 两条直线平行、垂直位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知直线与直线平行，则（    ） A．±2 B．2 C．-2 D． 2．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知直线与.若，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)若直线与平行，则（   ） A． B． C． D．2 4．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知直线与平行，则实数（   ） A．或1 B．3或 C． D．1 5．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线，，若；，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知直线与垂直，则实数的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 8．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知直线与直线，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．5 二、多选题 9．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)下列选项正确的是（   ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．若直线：与：平行，则与的距离为 D．直线的倾斜角的取值范围是 10．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．直线过定点，直线过定点 D．当，平行时，两直线的距离为 11．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 三、填空题 12．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)已知直线，若，则 . 13．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)若直线与互相垂直，则 . 14．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)若直线与直线平行，则实数m的值为 . 15．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 16．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 17．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)若直线与直线平行，则与之间的距离为 ． 18．(22-23高二上·河北唐山开滦第一中学·期末)若直线与直线平行，则 . 四、解答题 地 城 考点04 有关的点线的距离及最值问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知，两点到直线：的距离相等，则（   ）. A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 2．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知点，直线，则点A到直线l的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)平行线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 7．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线与，若，则，之间的距离是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D．   11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．的最大值为3 二、解答题 12．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线的方程及直线的交点与距离公式 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角及斜率 考点02 直线的方程 考点03 两条直线平行、垂直位置关系 考点04 有关点线的距离及最值问题 地 城 考点01 直线的倾斜角及斜率 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程直接确定倾斜角. 【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为. 故选：B. 2．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由斜率公式得出，进而得出直线的倾斜角. 【详解】，因为倾斜角，所以 故选：B 3．(22-23高二上·河北唐山开滦第一中学·期末)直线的倾斜角为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为． ∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°． 故选D． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 4．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)直线的倾斜角是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为 ，则 ， 倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为， 选：D 5．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题的斜率,故倾斜角的正切值为-1,又,故 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线斜率为直线倾斜角的正切值,属于基础题型. 6．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，进而求倾斜角. 【详解】由题，直线方程可化为，则斜率为，所以倾斜角为， 故选：C. 7．(24-25高二上·河北张家口·期中)三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【详解】显然，则，即，解得. 故选：D. 8．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 9．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)经过，两点的直线的倾斜角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】C 【分析】根据两点的横坐标相等，可知该直线斜率不存在，即可求得直线的倾斜角. 【详解】解:因为，，所以经过两点的直线斜率不存在，所以倾斜角为. 故选：C. 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用斜率坐标公式计算得解. 【详解】由直线l经过点，，得直线l的斜率. 故选：C 11．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知直线经过点，，，则的倾斜角为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角的定义求解即可. 【详解】直线经过点，，故直线 的方程为：，倾斜角为.故选：B 12．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】，设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为，故选：D 13．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线的倾斜角与斜率有关，先求直线斜率，再得到倾斜角. 【详解】直线，直线斜率为0，所以直线倾斜角为. 故选：D. 14．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线方向向量的意义求得答案. 【详解】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为，而A、B、C中向量与不共线，，所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：D 15．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的一般方程求得相应斜率即可得出倾斜角. 【详解】易知直线的斜率为，又倾斜角，可得倾斜角. 故选：D 16．(24-25高二上·河北张家口·期中)如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案. 【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以． 故选：D. 17．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)直线的方程为，若直线过原点和二、四象限，则    (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化直线的方程为斜截式方程，根据直线过原点和二、四象限，即可得到答案. 【详解】由题意，化直线的方程为斜截式方程， 因为直线过原点和二、四象限，所以，且，所以,，故选D. 【点睛】本题主要考查了直线的斜截式方程的应用，其中解答中把直线的方程化为直线的斜截式方程，根据直线斜率和在轴上的截距列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 二、多选题 18．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解. 【详解】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确； 故选：ACD. 19．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】分析两直线的斜率以及在轴上的截距，可得出、的符号，即可得出合适的选项. 【详解】直线的斜率为，该直线在轴上的截距为，直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 对于A选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，A不满足条件； 对于B选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，B满足条件； 对于C选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，C满足条件； 对于D选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，D不满足条件. 故选：BC. 20．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为 C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为 【答案】CD 【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 地 城 考点02 直线的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据已知得到所求为，化简即可得解. 【详解】过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：A. 2．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为，故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即，故选：C 3．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程. 【详解】设该直线方程为，由点在该直线上，则，即 即该直线方程为 故选：C 4．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)无论取何值，直线恒过定点，则点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程化为，令，解之即可得解. 【详解】解：直线可化为， 令，解得，即直线恒过定点. 故选：C. 5．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 6．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是（    ） A．y=2x-1 B．y=-2x-1 C．y=-2x+1 D．y=2x+1 【答案】C 【分析】与y=(x+1)垂直且过(0,1)，即可得所求方程的斜率，进而写出直线方程 【详解】与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2，又过点(0,1)∴所求直线方程为y=-2x+1 故选：C 【点睛】本题考查了利用垂直关系求直线方程，由垂直关系求直线的斜率，根据所过的点写出点斜式直线方程 二、多选题 7．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线过点 B．直线与直线平行 C．直线在轴上的截距为2 D．直线与直线垂直 【答案】ABD 【分析】根据截距的定义即可求解AC,根据平行和垂直满足的系数关系即可求解BD. 【详解】选项A．当时，，所以直线过点，故选项A正确. 选项B.直线，直线，故选项B正确. 选项C.直线过点，直线在轴上的截距为，故C不正确. 选项D.由，可得直线与垂直，故选项D正确. 故选：ABD 8．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 【答案】AC 【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可. 【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确； B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误； C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确； D选项，当时，，故点在直线m上，D错误. 故选：AC 9．(24-25高二上·河北张家口·期中)直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件，分截距为和不为两种情况讨论，再利用点斜式和截距式，即可求解. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为时，直线方程为，即， 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为，由题有或， 由，得到，此时直线方程为，即， 由，得到，此时直线方程为，即， 故选：ACD. 10．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)下列说法在确的是（   ） A．若方程表示直线，则 B．分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D．直线与相交于点，则过点，的直线方程为 【答案】BD 【分析】A选项，当不同时为0时，方程表示直线；B选项，两平行线距离即为的最小值，利用两平行线距离公式求出答案；C选项，分截距为0和截距不为0两种情况，利用待定系数法进行求解；D选项，代入，得到，两点确定一条直线，得到答案. 【详解】A选项，当不同时为0时，方程表示直线， 例如，此时表示的是一条直线，故A错误； B选项，直线与平行，故两平行线距离即为的最小值， 即，故两平行线距离为，B正确； C选项，当截距为0时，设直线方程为，将代入得，故直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，将代入得， 则直线l的方程为，即，综上，直线l的方程为或，C错误； D选项，直线与相交于点，故， 两点确定一条直线，则过点，的直线方程为，D正确. 故选：BD 三、填空题 11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线与坐标轴的交点为和，得出关于的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线，令，可得，即直线与轴的交点为， 再令，可得，即直线过点，则点关于的对称点为， 又由，所以直线关于轴的对称直线为，即. 故答案为：. 四、解答题 12．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知的三个顶点分别为． (1)求边的中线和高所在直线的方程； (2)若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）中点坐标公式得到中点坐标，由两点求斜率用点斜式写出中线方程；由斜率得到高的斜率，点斜式写出直线方程； （2）谈论斜率是否存在，当斜率不存在时，符合题意；当斜率不存在时，设出直线方程，由点到直线距离求出斜率，写出直线方程. 【详解】（1）①边的中点为，又直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为，即． ②直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． （2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即， 由题意，原点到直线的距离为2，即，解得，所求直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 13．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则，解得，所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，，则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为，令，；令， 则 ，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 14．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线与直线平行可设其方程为，代入点，求可得结论； （2）求点关于直线的对称点，利用点斜式求反射直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为，因为点在直线上，所以，所以， 所以直线的方程为； （2）设点关于直线的对称点为．由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线方程为，即．    15．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知的顶点，若边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据已知列出方程组，求解即可得出答案； （2）根据已知求出直线的方程，进而联立方程得出的坐标，代入两点式方程化简即可得出答案. 【详解】（1）设，则，由已知可得， 解得，所以点的坐标为. （2）由已知可设直线的方程为，又点A在直线上，所以有，解得， 所以，直线的方程为.联立直线与的方程可得， 点坐标为.将坐标代入两点式方程有，整理可得，. 16．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得 ， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为，则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 17．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是， 即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 18．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为， 所以，解得或.故直线的方程为或. 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 【答案】（1）（2）或 【分析】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程. 【详解】设点则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为 （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即. （2）由条件可知：，的面积为2，则的高为， 又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为. 直线方程为，设，则有，即或，又， 解得： 或 ，则直线为：或    地 城 考点03 两条直线平行、垂直位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知直线与直线平行，则（    ） A．±2 B．2 C．-2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】直线与直线平行，时不合题意， 不等于0时，则，所以. 故选：A 2．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知直线与.若，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以， 此时两直线方程分别为， 不重合，符合题意，所以. 故选：B 3．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)若直线与平行，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可. 【详解】由题意可得：，解得，若，则直线、，两直线平行，综上所述：. 故选：A. 4．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知直线与平行，则实数（   ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线建立方程，验根，可得答案. 【详解】由题意可得，可得，，解得或， 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 故选：C. 5．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 6．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线，，若；，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两直线平行可构造方程求得的值，由推出关系可得结论. 【详解】若，则，解得：或，经检验，符合. ，，是的必要不充分条件. 故选：B. 7．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知直线与垂直，则实数的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得，故实数的值是. 故选：D. 8．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知直线与直线，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．5 【答案】A 【分析】解方程，再检验即得解. 【详解】解：若，则，所以或． 当时，重合，不符合题意，所以舍去；当时，符合题意． 故选：A 二、多选题 9．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)下列选项正确的是（   ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．若直线：与：平行，则与的距离为 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ACD 【分析】选项A：利用两直线平行的条件求解即可，选项B：利用两直线垂直结合充分必要条件求解即可，选项C:利用两直线平行结合两平行直线的距离求解即可，选项C：利用斜率倾斜角的关系求解即可. 【详解】对于A，所求直线与直线平行， 则可设所求直线方程为（），∵所求直线过点， ∴，解得，故所求直线方程为，故A正确， 对于B，直线与直线互相垂直， 则当两直线斜率存在时,即当两直线其中一条斜率不存在时，解得 故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误， 对于C，∵直线：与：平行， ∴，解得，∴与的距离为，故C正确， 对于D，直线的斜率为，则， 当时，的取值范围是，当时，的取值范围为， 故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．直线过定点，直线过定点 D．当，平行时，两直线的距离为 【答案】AD 【分析】A选项：把的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为，直接判断即可； B选项，把的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D选项，由直线平行时，斜率相等，可求得得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可. 【详解】对于A，当时，那么直线为，直线为，此时两直线的斜率分别为和，所以有，所以，故A选项正确； 对于B，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；对于C，由直线：，整理可得： ，故直线过定点，直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项错误； 对于D，当，平行时，两直线的斜率相等，即，解得：或，当时，两直线重合，舍去；当时，直线为，为，此时两直线的距离，故D选项正确.故选：AD. 11．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】ABC 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，说明两直线有公共点即可；对于C，给出作为反例即可；对于D，由说明两直线不垂直即可. 【详解】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，A错误； 对于B，两直线总有公共点，B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，C错误； 对于D，由于，故两直线不垂直，D正确. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对直线方程相关性质的运用. 三、填空题 12．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)已知直线，若，则 . 【答案】 【分析】根据直线垂直，代入公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 13．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)若直线与互相垂直，则 . 【答案】1 【分析】根据两直线垂直的斜率关系表示计算可得结果. 【详解】易知直线的斜率，则直线的斜率，解得. 故答案为：1 14．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)若直线与直线平行，则实数m的值为 . 【答案】 【分析】对于两条直线和，若它们平行，则满足，且或者.我们将根据这个结论来求解的值. 【详解】对于直线和直线，根据两直线平行的条件， 则，即,解得. 还需要检验或者. 当时，，.，满足条件. 故答案为：. 15．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 16．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值． 【详解】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 17．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)若直线与直线平行，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行求出a，然后由平行直线间的距离公式可得. 【详解】据两直线平行，可得，解得， 所以两直线的方程，，整理得， 根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离． 故答案为： 18．(22-23高二上·河北唐山开滦第一中学·期末)若直线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】根据直线平行的条件即可求出. 【详解】由题意得，解得：，经检验符合题意. 四、解答题 地 城 考点04 有关的点线的距离及最值问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知，两点到直线：的距离相等，则（   ）. A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，两点到直线：的距离相等，所以，所以，所以或， 故选：D. 2．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知点，直线，则点A到直线l的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】点，直线，则点A到直线l的距离,故选：C. 【点睛】点到直线的距离. 3．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)平行线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】方程变形为由平行线间的距离公式可得所求距离． 故选：A. 4．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【详解】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 5．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式求解即可. 【详解】依题意可得，解得，则直线方程为， 而方程，即，所以两条平行线间的距离为. 故选：B. 6．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 【答案】A 【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值. 【详解】设点是点关于直线的对称点，则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直，则，解得，点在直线上，∴，即，∴，当且仅当， 即时，取等号. 故选：A. 7．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】设，直线的方程为，点到直线的距离，， 所以，解得：或，所以点的坐标为或. 故选：A 8．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行求出参数值，然后由平行线间距离公式计算． 【详解】由于两直线平行，所以，，直线为，即，所以它们间的距离为． 故选：B． 9．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线与，若，则，之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解. 【详解】由于，故，解得，故与， 故两直线间距离为， 故选：C 10．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间距离最小，结合点关于直线的对称性即可利用两点间距离公式求解. 【详解】表示点到点和点的距离之和， 令点关于直线的对称点为，则，解得，即， 因此， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号，所以的最小值为. 故选：C    11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．的最大值为3 【答案】A 【分析】判断以为直径的圆与直线线的位置关系即可判断A是否正确；求出满足的点的轨迹方程，在判断与直线关系是否有公共点即可；求出点关于直线的对称点为，利用三角形不等式可求出的最小值；利用三角形不等式即可判断. 【详解】对于A：构造以为直径的圆，其方程为. 因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以在直线不存在点，使得，故A错误; 对于B：设，由可得，， 化简得，即，所以圆心为，半径为， 可判断圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交 所以存在点，使得，故B正确； 对于C项：设关于直线的对称点为， 由可解得，即，则， 所以，故C正确； 对于D项：当点与不共线时，当点与共线时， 此时点，故D正确. 故选:A. 二、解答题 12．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即，所以， 故的最小值为. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $