专题04 利用空间向量解决空间距离问题（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题04 利用空间向量解决空间距离问题 3大高频考点概览 考点01 空间点点距离问题 考点02 空间点线距离问题 考点03 空间点面距离问题 地 城 考点01 空间点点距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)在直角坐标系中，，沿轴把直角坐标系折成的二面角，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，先证平面，即有，再由余弦定理求，最后应用勾股定理求线段长. 【详解】    由题设，如上图，，，，由都在平面内，则平面，平面，所以，，所以.故选：B 2．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距(　　)    A．50 m B． m C．60 m D．70 m 【答案】D 【分析】把向量拆分为,再平方可得|． 【详解】因为,所以||2==||2+||2+||2+2() =302++402+2(0+0+30·40·cos60°)=4900,于是||=70m,故甲、乙两人相距70m.选D. 【点睛】线段长度，即向量模常用方法是用平方处理，如本题通过向量分拆再用平方可求得向量模||． 二、多选题 3．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（    ） A．二面角 的平面角的正切值为 B．三棱锥 体积为 C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D．线段 的最小值为 【答案】ACD 【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D． 【详解】如图，设交于点， 平面，平面，则，同理， 又，，平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是二面角的平面角，由已知，， 所以，A正确； 由正方体性质知，B错； 如图，设交于点，由且得，即，， 由平面，平面，得，同理可得， 而，平面，所以平面，（易得实际上等边是的中心） 以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面， 为圆心，设是圆周上一点，则， 圆面积为，C正确；延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点，因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立， 以为原点，o 轴建立空间直角坐标系，如上图， 则，，，∴， ，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 4．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，则， 所以，设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则，设，则，所以， 解得，所以，即. 四、解答题 5．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明异面直线的垂直关系； （2）利用空间向量的坐标运算求线段的长度. 【详解】（1）    因为直三棱柱中，平面, 平面,所以,且, 所以原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则 ,所以,则，所以. （2）因为,所以,则. 6．(24-25高二上·河北唐山开滦市第二中学·期中)如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求： (1)试用向量表示，并求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出，再利用数量积的运算律求出值. （2）由表示，再利用数量积的运算律求出向量的模. 【详解】（1）令正六边形的中心为，连接， 则四边形为菱形，，所以； ； 由，得，， 所以 . （2）由（1）知，，， 所以. 地 城 考点02 空间点线（线面）距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【详解】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，因为且四边形是菱形，所以，且，即，所以，设点到直线的距离为，所以，故选：D. 2．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离. 【详解】在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，E、F分别为的中点，则，，， ，，所以，，，    设平面的法向量为，则，即，取，则，， 所以是平面的一个法向量，又因为， 所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，分别为的中点，则且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 则点F到平面的距离即为直线到平面的距离. 故选：B. 3．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，根据空间中点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题意易知直线面，所以到面的距离即为直线到平面的距离. 建立如图所示坐标系，则：   ，，，，, 所以，设面的法向量，则： ，即，取，则，所以 所以到面的距离.故选：D 4．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”，平面，，，，，分别为棱，，的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】依题意，如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，设平面的法向量为， 所以，取，所以点到平面的距离. 故选：B 二、多选题 5．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（    ）    A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为3 C．若，则的最小值为 D．若，则点到的距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断到平面的距离为定值，又的面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出到的距离，再用二次函数的性质求出最值. 【详解】    对A，若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误； 若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确；若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，所以，所以，所以点到的距离，所以当时，，故D正确.故选：ACD. 6．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可. 【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系， 则，， 则，所以，故A正确；，则，所以，所以点E到直线的距离为，故B错误；因为平面，所以即为平面的一条法向量，则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；设平面的法向量为，则有，可取，则点到平面的距离为，故D错误.故选：AC.    7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．直线到平面的距离是 C．点到直线的距离为 D．平面与平面所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】由线面垂直得证线线垂直，判断A，由直角三角形求点线距判断C，建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面距判断B，结合正方体的性质得平面的法向量，由法向量夹角求二面角判断D． 【详解】平面，平面，所以，A错； 以为原点，分别以为轴建立直角坐标系，如图，则，，，，，，设平面的一个法向量是， 则，取，得， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，即为，B正确； 是直角三角形，，因此到直线的距离等于，C正确； 由正方体的性质，可得平面，平面，，， ，， 所以平面与平面所成角的余弦值为，D正确．故选：BCD． 三、填空题 8．(24-25高二上·河北唐山开滦市第二中学·期中)已知空间中三点的坐标分别为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合点到直线的向量公式，即可求解. 【详解】由点，可得， 所以点到直线的距离为， 所以点C到直线的距离为. 9．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知点，，，则点到直线的距离是 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量中点到线的距离公式，结合向量数量积与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为点，，，所以，， 则，，所以点到直线的距离是 . 10．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知四棱锥平面，底面是为直角， 的直角梯形，如图所示，且，点为的中点，则到直线的距离为 .    【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到直线的距离. 【详解】由题意知，平面，平面，所以， 又，故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，    则，得，所以， 记，则，， 所以到直线的距离为. 11．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论： ①当点是中点时，直线 平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】对①：由线面平行的判定定理进行判断即可；对②：把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可；对③和④：都属动点问题，把几何问题转化为空间向量的问题，对于③，只需证明有解即可；对于④，只需求出点到直线距离的最小值即可. 【详解】对①，如图所示: 因为是中点，，所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接， 所以，而平面，平面，所以直线平面，故①正确； 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，对②，，分别是棱，的中点，所以，平面，平，故平面， 故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，，， ，， 由得，故②正确； 对③，设，，， 则，， 由，得， 得，由，故存在点，使得，故③正确； 对④，由③得到的投影为， 故到的距离， 面积为，， 由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错．故答案为：①②③ 四、解答题 12．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据三线合一得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，证明出； （2）作出辅助线，得到，由线面平行的判定得到结论； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面的距离公式得到答案. 【详解】（1）因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥，三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥，因为，平面， 所以⊥平面，因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接，因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故，又平面，平面，所以平面；    （3）由（2）知，平面，故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则，由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为， 所以，设平面的法向量为， 则，解得，令得，故，    所以到平面的距离，故到平面的距离为. 13．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． (1)证明：平面． (2)若，求点到平面的距离． (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离； （3）设，利用垂直关系构造线面角，并利用三角函数表示边长，并表示线面角的正弦值，利用三角函数求解最大值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以． 因为，且，平面，所以平面． （2）在中，，．以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向， 过点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 得，，．设为平面的一个法向量， 则取，得， 所以点到平面的距离． （3）取为的中点，连接，过点作，垂足为，连接． 易知平面，平面BCD，所以，则． 设，则，， 因为，平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 故，当且仅当时，取得最大值， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 地 城 考点03 空间点面距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系即可得结果. 【详解】由题意可知：点A到平面xOy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3. 故选：C. 2．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在长方体中，，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 3．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出点A坐标以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离即可. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设为平面的一个法向量，则 可取， 则点到平面的距离为．故选：B. 二、多选题 4．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)长方体，，则下列说法中正确的是（    ） A．长方体外接球的表面积等于 B．是线段上的一动点，则的最小值等于3 C．点到平面的距离等于 D．二面角的正切值等于2 【答案】ABD 【分析】由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项A；把矩形和放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项B；以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，判断C；作，交于点，则为二面角的平面角，求解即可判D. 【详解】对于A，长方体外接球的直径，故外接球的表面积为，故选项A正确；对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则，连接交于点，当点，，三点共线时，最小，则，故，所以， 由余弦定理可得，， 所以，即的最小值为，故B正确； 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 所以 设平面的一个法向量为，则，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离为，故C错误； 作，交于点，由于，平面，平面， 所以，则为二面角的平面角，在中，，所以， 在中，，D正确.故选：ABD 三、填空题 5．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)若平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】表示，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，， 故点到平面的距离为：. 6．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知正方体的所有棱长均为1，为线段上的动点，则到平面的最大距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，从而求出点到平面的距离，求出最大值. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，，设平面的法向量为， 则，令得，， 故，故点到平面的距离为 ，故当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 7．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】以长方体中的顶点为原点建立空间直角坐标系，设点坐标，根据抛物线的定义可得未知数间的关系，由已知点坐标得到平面法向量和向量，从而求得点到面的距离关系式得到最小值，从而得到三棱锥的体积的最小值. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，∵平面平面， ∴点到面的距离为点到直线的距离∴由抛物线的定义可知：， 易知，∴，, 设是平面的其中一个法向量，则， 令，得，平面的法向量为，又，则到平面的距离，所以的最小值为，∵点分别为的中点且，，∴， 所以三棱锥的体积的最小值：． 故答案为：4. 四、解答题 8．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面角得到，故，证明出，得到⊥平面，，从而平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）平面，与平面所成角为45°， ，， 又为中点，. 平面，平面，. ，，平面， 平面， ∵平面，， 又，平面， 平面， ∵平面，， ，，，平面， 平面，∵平面， ，，平面， 平面. （2）平面，平面， . 又，故两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形， ∴，∵，∴，， 则，，，，，， 设平面的法向量为，，即 取，则，，，， 点到平面的距离. 9．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点P的位置，如图②． (1)证明：； (2)若平面，且，求点C到平面的距离 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用等积法结合条件即得. 【详解】（1）证明：在图1中，因为，且为的中点， ，又为的中点，所以， 在图2中，，且，平面， 平面，又平面，所以； （2）因为平面，平面， 所以 ，又平面， 所以平面，连接，则 ， 因为，为等边三角形， 所以，，， 所以，取的中点，连接，则， 设点到平面的距离为， ，即，解得，即点到平面的距离为． 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)如图，在三棱锥中，分别为的中点，.    (1)证明：： (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【详解】（1）因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. （2）因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系，    则，故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. （3）设，其中，由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有，故，故. 11．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设平面的法向量为， 则，令，则，则，    直线平面夹角的正弦值为； （3）由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为. 12．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解； （3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，    所以.又因为平面平面，平面， 所以面； （2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则， 设平面的法向量为，由，得， ，点到平面的距离 （3）设 所以点到面的距离为定值. ， 解得：或. 13．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析． (2)存在，． 【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距后结合已知可得结果． 【详解】（1）取中点，如图，连接， ∵是中点，∴且， 又，， ∴且， ∴是平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵，，，∴，所以， 又平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面，又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，， ， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以． 14．(24-25高二上·河北邯郸·期中)球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．    (1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． (2)如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）求出线段所对的正四棱柱外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长. （2）①根据给定条件可得平面，再在直角三角形中求出；②利用球的截面性质确定球心，求出球半径，进而求出球面距离. 【详解】（1）正四棱柱的外接球直径，球半径， 因此球心与点构成正三角形，弦所对球过的大圆圆心角为，弧长为， 所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为. （2）①在直角梯形中，，，，， ，，则为正三角形， 在棱锥中，平面，而平面，则， 又，平面，则平面， 而平面，因此，， 在中，，，， 所以点到底面的距离为. ②取中点，则为外接圆圆心，令正的外接圆圆心为， 连接，则，平面，平面， 于是，， 在中，，因此棱锥的外接球半径， 有，球的弦所对大圆的圆心角为， ，即是钝角，而， 则，在大圆中所对劣弧长为， 所以，两点在球上的球面距离为.    试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用空间向量解决空间距离问题 3大高频考点概览 考点01 空间点点距离问题 考点02 空间点线距离问题 考点03 空间点面距离问题 地 城 考点01 空间点点距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)在直角坐标系中，，沿轴把直角坐标系折成的二面角，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距(　　)    A．50 m B． m C．60 m D．70 m 二、多选题 3．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（    ） A．二面角 的平面角的正切值为 B．三棱锥 体积为 C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D．线段 的最小值为 三、填空题 4．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 四、解答题 5．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 6．(24-25高二上·河北唐山开滦市第二中学·期中)如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求： (1)试用向量表示，并求的值； (2)求． 地 城 考点02 空间点线（线面）距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”，平面，，，，，分别为棱，，的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（    ）    A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为3 C．若，则的最小值为 D．若，则点到的距离的最小值为 6．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．点到平面的距离为 7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．直线到平面的距离是 C．点到直线的距离为 D．平面与平面所成角的余弦值为 三、填空题 8．(24-25高二上·河北唐山开滦市第二中学·期中)已知空间中三点的坐标分别为，则点到直线的距离为 . 9．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知点，，，则点到直线的距离是 . 10．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知四棱锥平面，底面是为直角， 的直角梯形，如图所示，且，点为的中点，则到直线的距离为 .    11．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论： ①当点是中点时，直线 平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 12．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 13．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． (1)证明：平面． (2)若，求点到平面的距离． (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 地 城 考点03 空间点面距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在长方体中，，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)长方体，，则下列说法中正确的是（    ） A．长方体外接球的表面积等于 B．是线段上的一动点，则的最小值等于3 C．点到平面的距离等于 D．二面角的正切值等于2 三、填空题 5．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)若平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为 . 6．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知正方体的所有棱长均为1，为线段上的动点，则到平面的最大距离为 ． 7．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ． 四、解答题 8．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 9．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点P的位置，如图②． (1)证明：； (2)若平面，且，求点C到平面的距离 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)如图，在三棱锥中，分别为的中点，.    (1)证明：： (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 11．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 12．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 13．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 14．(24-25高二上·河北邯郸·期中)球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．    (1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． (2)如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $