四川省乐山第一中学校2026届高三上学期9月月考数学试卷

乐山一中高2026届高三(上)9月月考数学测试卷 命题人： 审题人： 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合, 则A∩B= ( ) A.{-1,2} B. {1,2} C.{1,4} D.{-1,4} 2.命题 的否定是() C. 3.已知{an}为正项等比数列，且 设 Tn为该数列的前n项积，则2T₅= ( ) A. 8 B. 16 C. 32 D.64 4. 设正实数a,b满足a+b=1,则( ) 有最小值2 有最大值 有最小值 有最小值 5.某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有 () A. 144种 B.72种 C. 36种 D. 24种 6.若则的大小关系为() A. a>c>b B. b>c>a C. c>a>b D. c>b>a 7.已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100，16).现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在(96，112)和(92，108)的概率为()(运算结果保留小数点后两位)参考数据：若X服从正态分布(μ，σ²)，则 A. 0.57 B. 0.75 C.0.80 D. 0.84 8.已知函数 在区间(1，2)上有最小值，则实数a的取值范围是 ( ) A. a>-3 D. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。 9.某种产品的广告支出费(单位：万元)与销售量(单位：万件)之间的对应关系如下表. 广告支出x/万元 1.2 2.6 4 5.4 6.8 销售量y/万件 1.4 6 7.3 11.8 13.5 根据表中的数据可得回归直线方程. 则以下说法中正确的是 () A.第三个样本点对应的残差 B.在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C.销售量的变化有97%是由广告支出费引起的 D.用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量 10. 已知 (常数m>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则() A. n=10 B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中x¹⁵的系数为45m⁸ D.若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 11.已知函数 若方程有四个不同的零点，它们从小到大依次记为, 则( ) 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12. 已知 Sn、 Tn分别为等差数列{an}、{bₙ}的前n项和, 则 13.甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，各局比赛的胜负互不影响，现采取7局4胜制，则甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率是 . 14. 已知定义在R 上的函数f(x)满足,且 关于点(-2,0)对称, 当时, 则 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知, 四棱锥P-ABCD, 底面ABCD是正方形, M为棱PD的中点, 平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,PA=AB=1. (1)求证: PA⊥平面ABCD; (2)求平面ACM 与平面PAB夹角的余弦值. 16. (15分) 已知曲线 在点处的切线的斜率为1. (1)求实数a的值； (2)求函数的单调区间与极值. 17. (15分) 已知各项均不为0的数列{an}中, (k是常数, k≠0), 且是与的等比中项. (1)求证: 是等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设 数列{bₙ}的前n项和为Sₙ，求证： 18.(17分)在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见.从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持.国内也再次掀起足球热潮.某地足球协会组建球队参加业余比赛.该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计(乙参加过的比赛均分出了胜负)：乙 球队 总计 胜 负 未参加比赛 30 b 70 参加比赛 c 10 f 总计 70 e n (1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联? (2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2，0.4，0.3，0.1，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为： 0.4, 0.3, 0.4, 0.2. 则: ①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率； ②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员? 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.(17分)青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率.考察图所示的光滑曲线()上的曲线段 ，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段 运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为Δθ (它等于 的倾斜角与 的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A 处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为 其中 (1)求单位圆上圆心角为( 的圆弧的平均曲率； (2)已知函数 求曲线的曲率的最大值； (3)已知函数 若曲率为0时x的最小值分别为 求证： 学科网（北京）股份有限公司 $乐山一中高2026届高三（上）9月月考数学测试卷参考答案 一、单选题 1.已知集合A={-1,1,2,4,B={xx-1≤1}，则A∩B=() A.{-1,2} B.1,2} C.{1,4} D.{-1,4) 【答案】B【难度】0.85 【分析】方法一：求出集合B后可求AOB 【详解】[方法一]：直接法因为B={x0≤x≤2}，故A∩B=红，2}，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 x=-1代入集合B={xk-1≤1，可得2≤1，不满足，排除A、D: x=4代入集合B={xx-≤}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法： 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解. 2.命题xeR,x2+X 2a<0"的否定是() 3 A.3xeR,x2+x-是-a≥0B.xeRx2+x-}a<0 C.3xERx2+x-}-n<0D.xeR,x2+x-是-a≥0 【答案】D 3.己知{a}为正项等比数列，且a244=4,设T.为该数列的前n项积，则T=() A.8 B.16 C.32 D.64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质计算. 【详解】因为{a}是正项等比数列，所以4=a,a=4,a=2(-2舍去)， T=a442a,4,4=4=2=32. 故选：C 4.设正实数a,b满足a+b=1,则() A. 上+上有最小值2 B.√a+√b有最大值√2 c.a励有最小值时 D.a2+有最小值5 【答案】B【难度】0.65 试卷第1页，共14页 【分析】将+化为a+b)+3,展开后利用基本不等式即可求得上+的最小值，判断A:将a+B平 11、 a b a b a b 方后利用基本不等式即可判断B:利用基本不等式即可判断C;由基本不等式可推出d+心≥a+),即可 2 判断D. 【都1对于A日后a6为21会822 b=4, a b a b 当且仅当名号时，结合a+6-1,即a=b-时取等号， 即上+}有最小值为4，A错误： a b 对于B,(a+√b)2=a+b+2Wab≤1+(a+b)=2,则a+√b≤√2， 当且仅当a=b时，结合a+b=1,即a=b=时取等号，即√a+万有最大值2，B正确： 对于C,历≤}当且仅当a=b时，结合a6=1,即a6=时取等号。 2 即V历有最大值；，C错误： 对于D,因为d+b2≥2ab,.2(a2+b2)≥(a+b)2, 即a+b'≥a-号当且仅当a-b时，结合a+6-1,即a=b时取等号， 22 即2+b2有最小值；，D错误，故选：B 5.某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告， 要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有() A.144种 B.72种 C.36种 D.24种 【答案】B【难度】0.65 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有 两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有A种方法， 然后将3个不同的商业广告排成一列有A种方法， 3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可， 所以总共有：AAA2=72种方式.故选：B 66.若a=log47,b=log58,c=glog3,则ab,c的大小关系为() A.a>cb B.b>ca C.c>a>b D.c>ba 答案：C 试卷第2页，共14页 7.已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100,16).现从该机械生产出的 所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在(96,112)和(92,108)的概率为()（运算结果保 留小数点后两位)参考数据：若X服从正态分布（山，。），则 PL-o<X<L+o)=0.6827,P(L-2o<X<L+2o)=0.9545,P(L-36<X<L+3G)=0.9973 A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.84 【答案】C【难度】0.65 【分析】由正太分布概率计算及概率乘法公式即可求解 【详解】P(96<X<112)=P(u-o<X<u+3o)=0.84,P(92<X<108)=P(u-2o<X<L+2o)=0.9545, 故所求概率P=0.84×0.9545=0.80178≈0.80，故选：C 8.已知函数(x)=3x2-2nx+(a-1)x+3在区间(L,2)上有最小值，则实数a的取值范围是() Aa>3B.-g9sa<-10C. 3<a<-3 D.-10<a<-3 【答案】D【难度】0.65 【分析】求出函数f(x)的导数f'(x),再求出'(x)在区间(L,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正 的a值范围. 【详解】函数f)=3x2-2mr+a-x+3,求导得f)=6x-2+a-1=6x+a-)x-2 1 由f(x)=3x2-2lnr+(a-1)x+3在区间1,2)上有最小值， 得'(x)在区间(L,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令h(x)=6x2+(a-)x-2,h(0)=-2<0,则h(x)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， [△=(a-1)2+4×6×2>0 因此h)=6+a-1-2<0,解得-10<a<-3,所以实数a的取值范围是-10<a<-3.故选：D h(2)=6×4+2(a-1)-2>0 二、多选题 9.某种产品的广告支出费（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应关系如下表. 广告支出x万元 1.2 2.6 5.4 6.8 销售量万件 1.4 6 7.3 11.8 13.5 根据表中的数据可得回归直线方程)=2.14x+à，R2≈0.97，则以下说法中正确的是() A.第三个样本点对应的残差已，=-0.7 B.在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 试卷第3页，共14页 C.销售量的变化有97%是由广告支出费引起的 D.用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】残差的计算、相关指数的计算及分析、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得à，可得线性回归方程，求解残差判断A与 B；由相关系数的意义判断C:由样本的取值范围会影响回归方程的使用范围判断D. 【详解】x=12+2.6+4+54+6.8-4,万-14+6+73+1.8+135-8， 5 5 将其代入回归方程)=2,14x+à中得8=2.14×4+a,得a=-0.56, 故回归直线方程为=2.14x-0.56,所以e=7.3-(2.14×4-0.56)=7.3-8=-0.7,A正确 由于R2≈0.97，所以该回归模型拟合的效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的 带状区域中，B错误 在线性回归模型中，2表示解释变量对于预报变量的贡献率，R2≈0.97，则销售量的变化有97%是由广告支 出费引起的，C正确 由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而20万元远大于表格中广告支出费的值，故用该回归方程 不能准确地预测广告支出费为20万元时的销售量，故D错误。 故选：AC 10.已知am+ (常数m>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则() A.n=10 B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C.展开式中x5的系数为45m8 D.若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】ACD【难度】0.65 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调 性，逐项检验，可得答案 4n-5r 【详解】由x2+ 则其展开式的通项为Th=C:(x2》 对于A,根据题意可得C=C,由组合数的性质可知n=10,故A正确： 试卷第4页，共14页 1 对于B,由 则展开式中奇数项的二项式系数之和为21=512，故B错误； 对于C,由4x10-5r =15解得r=2,则展开式中x5的系数为m0-2C。=45m,故C正确： 2 对于D,令x=1,则展开式中各项系数之和(m+1)°=1024=20，解得m=1, 40-5r 可得展开式的通项为工1=Cx?，即每项系数均为该项的二项式系数， 10 1 易知展开式中第6项为二项式x2+ ④ 的中间项，则其系数最大，故D正确， 故选：ACD 1 x2+x+5,x<0 11.已知函数f(x)= 4 ,若方程f(x)=(k∈R)有四个不同的零点，它们从小到大依次记为 |Inx-1,x0 ,X2,3,x4,则() A0号 B.e<x<e2 C.X+x2=-1 D.0<x<4 【答案】ACD【难度】0.4 【分析】作出函数f(x)的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A；结合对数函 数性质可判断B；结合二次函数图象的性质可判断C；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D. 1 x2+x+,x<0 【详解】画出函数∫(x)= 4 的图像如下： Inx -1,x)0 f(x) 2 要使方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x,x2,x,x, 转化为函数)的图象与y-女有四个不同的交点，由图象，得0<k<子故A正确： 当x<0时，侧=+子则+名=2x(=-1,故c正痛 当0<x<e时令)}，即1-子解得x=e,e<气<e:妆B错误： 3 Inx-1=Inx,-1,<e<x,..1-Inx;Inx -1,+=nx=2,=e2, 义<<0，=()()当y=(y-子>0,0<香故D正确， 2 试卷第5页，共14页 故选：ACD, 【点睛】方法点睛：将方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的零点问题转化为函数f(x)的图象与y=k有四个不同 的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题 三、填空题 l2.已知Sn、In分别为等差数列{an}、{b}的前n项和， =n+1 【答案】品 甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为号 乙胜的概率为 各局比赛的胜负互 不影响，现采取7局4胜制，则甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率是 【答案1 【分析】利用独立事件概率公式，即可求解 【详解】由条件可知，第5局甲胜，前4局甲胜3局， 故答案为： 64 243 14.已知定义在R上的函数)满足f1+2)=f0-2),且f(x+)关于点(2,0)对称，当 2026 01时，f()=2-1,则∑(k+1)f()= k=1 答案：1014 四、解答题 15.(23-24高二上·河北石家庄·期末)已知，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是正方形，M为棱PD的中点， 平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,PA=AB=1. D (I)求证：PA⊥平面ABCD; (2)求平面ACM与平面PAB夹角的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 试卷第6页，共14页 ②3 3 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】(1)由面面垂直得到线面垂直； (2)建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而求出面面角的余弦值 【详解】(1)平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,PAC平面PAB,PA⊥AB, ·.PA⊥平面ABCD. (2)由题意和(1)知，AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0) 所以Mo号}ac=au0.w(o2 易知平面PAB的一个法向量为AD=(0,1,0). 设平面ACM的法向量为n=(x,y,), AC=(x,y,z)1,1,0)=x+y=0 则 aw-o--心 令y=-1,得x=1,-=1,则n=1,-1,1) 设平面ACM与平面PAB的夹角为日， n.AD 则c0s8= 1,-11)(0,10_1=5 AD V1+1+1 √33 所以平面4CM与平面PAB的夹角的余弦值为 3 ZA M A D立 16. 己知曲线y=f(x)=-x+ax2在点(f)处的切线的斜率为1 试卷第7页，共14页 (1)求实数a的值： (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 【答案】(1)1 (②递减区何为（←m,0.(2+,递增区间为02：极小值为0，极大值为 【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义，即求得答案： (2)由(1)可得函数导数，令'(x)=-x2+2x<0,以及f'(x)=-x2+2x>0,即可求得单调区间，进而求 得极值， 【详解】1)由y=fx)=+a,得f()=-+2ax, 3 由线y=)=+a在点（Lf@)处的切线的斜率为1， 故f'(1)=-1+2a=1,.a=1: （2)由（1)知y=1=专+，)=-+2x, 令f'(x)=-x2+2x<0,则x<0或x>2: 令f'(x)=-x2+2x>0,则0<x<2: 故函数的单调递减区间为(0,0)，(2，+0)，单调递增区间为(0,2)； 故函数的极小值为了0=0，极大值为f(2)-青 2022全国模拟预测)已知各项均不为0的数列a}中，4=)，a13a a(k是常数，k≠0)，且 4是a与41的等比中项 (1)求证： 是等差数列，并求{a}的通项公式： a. (2②设b,=a.4,数列私，}的前n项和为S,求证：s3 10 6 1 【答案】(1)证明见解析，a=3m- (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】(1)对已知等式变形结合等差数列定义即可得证，进一步得4表达式（含参），结合4=a,4,即可求 解。 试卷第8页，共14页 (2)由列项相消法先求得S表达式，进一步即可得证. ka 【详解】(1)由a,13a+k,得。 1-13 11-3 1ak,即 a+a k' 数列 1 是以2为首项， a 三为公差的等差数列， =2+元-1)= +2k-3 k ，即a.=3+22。. 由a是a与a:的等比中项，得g=44,即无广=1、是 (2k+6-22k+30 解得k=1,六a,=3-1 1 1一= 11-1） (2):6,=a,a.3n-13m+233n-13m+2' 双=Aa++a=追5君对司) 3n-13n+2 -111）-11 323+269n+6 .1111 EnEN,0≤g6e069mt66即0S<6 18.(2025?全国？模拟预测)在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见.从体育场建设到电力保障，从 赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，…，中国制造为世界杯提供了强有力的支持.国内也再次掀起足球热 潮.某地足球协会组建球队参加业余比赛.该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对 球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）： 球队 乙 总计 胜 负 未参加比赛 30 b 70 参加比赛 c 10 f 总计 70 e (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？ (2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为： 0.2,0.4,0.3,0.1,当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4,0.3,0.4,0.2.则： ①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率； ②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率； 试卷第9页，共14页 ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？ 附表及公式： P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 【答案】(1)认为该球队胜利与乙球员参赛有关联： 20034②音：®答案见解折。 【难度】0.65 【知识点】独立性检验解决实际问题、计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】(1)应用卡方公式计算卡方值，结合独立检验的基本思想得结论： (2)①应用全概率公式求概率；②由贝叶斯公式及条件概率公式求概率：③应用贝叶斯公式及条件概率公式 求概率，并比较大小，即可得结论 【详解】(1)依题意，b=40,c=40,e=50,f=50,n=120, 零假设为H。：球队胜利与乙球员参赛无关， 则观测值x=120x30X1040×40=1656>10.828, 70×50×70×50 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为该球队胜利与乙球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001； (2)①设A表示“甲球员担当边锋”；A,表示“甲球员担当中锋”；A表示“甲球员担当后腰”；A,表示“甲球员 担当后卫”；B表示“球队输掉某场比赛”. P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BIA)+P(A)P(BA)+P(A)P(BIA) =0.2×0.4+0.4×0.3+0.3×0.4+0.1×0.2=0.34. P4P4）P4P814:0204 P(B) 0.3417 ©为P(41B)=PL4B）_P4)P(84)_04x036 P(B) P(B) 0.3417’ P(41B)= P(A,B)P(A)P(B1A)_0.3×0.46 P(B) P(B) 0.3417 试卷第10页，共14页