重难点专训07 导数与不等式的证明（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训07 导数与不等式的证明 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型一：简单的函数不等式证明 3 题型二：同构型不等式 4 题型三：比值代换 5 题型四：指对切线放缩 6 题型五：三角函数型不等式的证明 7 题型六：数列型不等式的证明 9 题型七：凹凸反转 10 题型八：拐点偏移问题 11 重难专题分层过关练 14 巩固过关 14 创新提升 16 一、核心思维方向 导数证明不等式的核心围绕“构造验证”与“放缩借力”展开，同时需善用已有结论： 1.直接构造函数验证：通过构造对应函数不等式，借助导数分析函数的单调性、极值或最值，直接证明不等式成立。 2.函数不等式放缩：针对求和/求积型不等式，分两种思路： ①先对单个项放缩，再求和证明； ②先对各项求和，再对和的结果放缩证明。 3.“借式子”巧凑：大题第二问证明时，常利用第（1）问结论，通过赋值、凑配得到符合证明方向的放缩条件；同时联想待证不等式的大小关系，构造函数建立放缩关系。 二、常用构造方法 构造法是解题关键，具体分为四类： 1.直接构造法：证时，转化为证，构造辅助函数，再用导数分析。 2.放缩构造法： 依已知条件针对性放缩； 用常见结论放缩，如： 对数：（，仅取等）； 指数：（，仅取等）； 延伸链：（且）。 3.“形似”构造法：对不等式移项、通分、取对数，使其左右结构一致，再按该结构构造辅助函数。 4.双函数构造法：若单函数难判导数符号、求零点，可分别构造与，通过证（两者取最值的(x)可不同），得。 三、基本证明步骤 1.作差或变形：对原不等式移项、通分等，或直接作差转化为“函数值与0的关系”； 2.构造新函数：按上述构造方法，搭建辅助函数； 3.分析函数性质：用导数研究函数的单调性、极值或最值； 4.推导结论：结合函数性质，证得不等式。 特殊处理：若构造的函数难用导数求解，可分别求不等式左右两端函数的最值，通过“左式最小值>右式最大值”证明。 四、特殊类型证明 1.数列不等式 核心是“函数与数列衔接”： ①先构造函数不等式； ②用正整数()（或数列项表达式）替代函数自变量，将函数不等式转化为数列项不等式； ③处理和/积：“无限和”可裂项相消，“无限积”可取对数化积为和，再求和证明。 2.双参不等式 关键是“减元为单参”： 1.转化关系：从已知条件梳理双参关系式，将双参不等式转化为单参不等式； 2.构造求最值：对单参不等式构造函数，用导数求其单调性与最值； 3.回归证明：将最值代入原双参关系，证得结论。 减元方式：用一参表示另一参，或对双参整体换元。 题型一：简单的函数不等式证明 典例1-1．证明不等式： (1)，； (2)． 典例1-2．求证：． 变式1-1．求证：当时，． 变式1-2．求证：． 题型二：同构型不等式 典例2-1．已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 典例2-2．已知． (1)若的图象在x＝0处的切线过点，求a的值； (2)若，，求证：． 变式2-1．已知函数，当时，证明：． 变式2-2．已知函数在上没有极值. (1)求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 题型三：比值代换 典例3-1．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 典例3-2．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求a的值； (3)若实数m，n满足，证明：. 变式3-1．已知函数. (1)若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值. (2)若函数存在两个零点，设 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：. 变式3-2．已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足. (1)令函数，求证：在上是减函数； (2)若在上单调递减，求实数取值范围； (3)对任意正数，试比较与的大小. 题型四：指对切线放缩 典例4-1．已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论极值点的个数； （3）若是的一个极小值点，且，证明：. 典例4-2．已知函数，曲线在点（1，f(1)）处的切线的斜率为2 (1)设，若函数在[m，＋∞）上的最小值为0，求m的值； (2)证明：． 变式4-1．设函数．已知当时，存在，使得． (1)讨论的导函数的零点个数； (2)证明：当时，． 变式4-2．已知，（n为正整数，）． (1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点； (2)当时，证明：． 题型五：三角函数型不等式的证明 典例5-1．（1）证明：当时，. （2）若，求的取值范围. 典例5-2．已知函数，为的导数 (1)讨论的单调性； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若，证明：． 变式5-1．已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，求在上的值域； (2)当时，讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 变式5-2．设函数. (1)当时，讨论的单调区间； (2)已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型六：数列型不等式的证明 典例6-1．已知函数，正实数数列满足，，数列的前n项和为． (1)求证：； (2)求证：． 典例6-2．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)求证：对任意的且，都有：，（其中为自然对数的底数） 变式6-1．已知数列满足：，，．求证： (1)； (2)． 变式6-2．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 题型七：凹凸反转 典例7-1．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 典例7-2．已知，. (1)求函数的单调区间； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，都有成立. 变式7-1．已知函数． （1）讨论的单调性． （2）当时，证明：． 变式7-2．已知函数，m，． (1)当时，求的最小值； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，证明：，． 题型八：拐点偏移问题 典例8-1．已知函数 (1)求函数在处切线方程； (2)若有两解，，且，求证：． 典例8-2．已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 变式8-1．已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 变式8-2．若是函数的两个零点，且，求证：且． 【答案】证明见解析 【详解】方法一：比值代换 因为，由题意结合可知，，， 所以． 令，则，，代入上式得， ．对于，其等价于，即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即得证． 对于，其等价于，即，即． 令，则，构造函数，则， 在上单调递减，所以，即得证． 方法二：差值代换 由可得． 设函数，则， 当，，则函数在上单调递减， 当，，则函数在上单调递增， 所以，则有，，则，且，． 对于，即，即，即， 令，则，则只需证． 令，则，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，则，即成立． 对于，其等价于，即，即． 左边分子、分母同时除以，得，令，则， 则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以在上单调递减，所以，即成立． 巩固过关 1．已知函数，若有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 2．已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 3．设函数． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，； 4．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 5．已知函数． (1)求的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：． 6．已知． (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 7．已知函数． (1)判断的单调性，并说明理由； (2)证明：．（证明时可使用下列结论：当时，成立）． 8．已知函数. (1)若，求实数k的取值范围； (2)证明：. 创新提升 1．设，函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)求证：当，时． 2．已知函数. (1)若函数在处的切线方程为，求实数； (2)若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 3．已知函数． (1)证明：． (2)若只有一个零点，求的取值范围． (3)设是的两个零点，证明：． 4．已知函数在区间上有定义，记为的导函数，为的导函数.若，则称为上的“”函数.已知是上的“”函数. (1)求的取值范围； (2)已知直线为曲线在原点处的切线，求的最大值； (3)证明：当时，. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训07 导数与不等式的证明 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型一：简单的函数不等式证明 3 题型二：同构型不等式 4 题型三：比值代换 9 题型四：指对切线放缩 14 题型五：三角函数型不等式的证明 19 题型六：数列型不等式的证明 25 题型七：凹凸反转 29 题型八：拐点偏移问题 34 重难专题分层过关练 39 巩固过关 39 创新提升 46 一、核心思维方向 导数证明不等式的核心围绕“构造验证”与“放缩借力”展开，同时需善用已有结论： 1.直接构造函数验证：通过构造对应函数不等式，借助导数分析函数的单调性、极值或最值，直接证明不等式成立。 2.函数不等式放缩：针对求和/求积型不等式，分两种思路： ①先对单个项放缩，再求和证明； ②先对各项求和，再对和的结果放缩证明。 3.“借式子”巧凑：大题第二问证明时，常利用第（1）问结论，通过赋值、凑配得到符合证明方向的放缩条件；同时联想待证不等式的大小关系，构造函数建立放缩关系。 二、常用构造方法 构造法是解题关键，具体分为四类： 1.直接构造法：证时，转化为证，构造辅助函数，再用导数分析。 2.放缩构造法： 依已知条件针对性放缩； 用常见结论放缩，如： 对数：（，仅取等）； 指数：（，仅取等）； 延伸链：（且）。 3.“形似”构造法：对不等式移项、通分、取对数，使其左右结构一致，再按该结构构造辅助函数。 4.双函数构造法：若单函数难判导数符号、求零点，可分别构造与，通过证（两者取最值的(x)可不同），得。 三、基本证明步骤 1.作差或变形：对原不等式移项、通分等，或直接作差转化为“函数值与0的关系”； 2.构造新函数：按上述构造方法，搭建辅助函数； 3.分析函数性质：用导数研究函数的单调性、极值或最值； 4.推导结论：结合函数性质，证得不等式。 特殊处理：若构造的函数难用导数求解，可分别求不等式左右两端函数的最值，通过“左式最小值>右式最大值”证明。 四、特殊类型证明 1.数列不等式 核心是“函数与数列衔接”： ①先构造函数不等式； ②用正整数()（或数列项表达式）替代函数自变量，将函数不等式转化为数列项不等式； ③处理和/积：“无限和”可裂项相消，“无限积”可取对数化积为和，再求和证明。 2.双参不等式 关键是“减元为单参”： 1.转化关系：从已知条件梳理双参关系式，将双参不等式转化为单参不等式； 2.构造求最值：对单参不等式构造函数，用导数求其单调性与最值； 3.回归证明：将最值代入原双参关系，证得结论。 减元方式：用一参表示另一参，或对双参整体换元。 题型一：简单的函数不等式证明 典例1-1．证明不等式： (1)，； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设，，则． 令，得． 当时，，从而在内单调递增； 当时，，从而在内单调递减． 所以当时，在区间上取最大值． 所以，所以，，． （2）设，则．令，得． 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减． 所以当时，取最小值． 所以，所以，． 典例1-2．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】设，分别为一阶、二阶、三阶导数， ， ， ， 则在单调递增，所以， 则在单调递增，所以， 则在单调递增，所以， 则，即. 变式1-1．求证：当时，． 【答案】证明见解析. 【详解】令，，则，所以单调递增的， ∴，即，∴. 变式1-2．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：，则， 设， 则． 令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以当时，，可得下表． 2 － 0 ＋ 减 最小值 增 则，即， 所以． 题型二：同构型不等式 典例2-1．已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解：（）（）， 令，则， 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以，. 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以 综上所述，当时，，； 当时，所以，. （2）方法一：隐零点法 因为，，所以，欲证，只需证明， 设，（），， 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即，因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以 所以，因此. 方法二：（同构） 因为，，所以，欲证，只需证明， 只需证明， 因此构造函数（）， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增： 所以，所以， 所以， 因此. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是根据，利用放缩法消元为，从而只需证明，再构造函数而得证. 典例2-2．已知． (1)若的图象在x＝0处的切线过点，求a的值； (2)若，，求证：． 【答案】(1)a＝1 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 所以，， 因为的图象在x＝0处的切线过点， 所以，即a＝1． （2）要证，即证， 即证， 因为，，所以，， 设，则可化为， 因为，在上是减函数， 所以问题转化为，时，即， 即，时， 设，因为，则在上是增函数， 所以， 所以在上是增函数，所以， 所以，时， 即，时． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．证明不等式的方法是分析法，即对不等式进行变形，寻找不等式成立的条件，难点是首先对不等式同构变形后引入函数，利用函数的单调性再化简不等式，然后取对数后再引入新函数，确定单调性，利用函数的单调性得出证明．考查了学生逻辑思维能力，创新意识，属于难题． 变式2-1．已知函数，当时，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】，设， 则，设在上单调递减，上单调递增， ∴， ∴ 其中，， 因为，所以， 令得：，令得：， 所以在上单调递减，在上单调递增． 在处取得极小值，也是最小值， ∴， ∴ 即． 【点睛】同构法对函数进行变形，常用的变形有，，，等. 变式2-2．已知函数在上没有极值. (1)求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以. 因为在上没有极值，且，所以在上恒成立. 设，则. 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当时，要证，只需证对恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以，所以； 当时，要证，只需证对恒成立， 因为在上单调递减，且，所以. 故. （2）由（1）知在上单调递增. 因为，所以，即. 设，则，所以在上单调递增， 所以等价于. 因为，所以， 所以，所以恒成立. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即，故的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题解题的难点在于第二问，解题的关键在于两点：1、利用函数单调性化简不等式，在化简不等式时要注意括号里代数式的取值范围与函数单调区间的包含关系；2、整理不等式同构函数，在同构函数时要注意整体思想的应用. 题型三：比值代换 典例3-1．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 典例3-2．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求a的值； (3)若实数m，n满足，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若，则，定义域为， ， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2），令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使恒成立，需满足. 设， 则，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，当且仅当时等号成立， 若满足，必有， 故. （3）要证明， 即证明， 令，由，得，不等式化为. 由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 所以，整理得，从而成立； 同理，要证明，即证明， 即. 令，因为，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，整理得，从而成立. 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，对所证不等式进行变形，先证不等式左边，只需证明，令，不等式化为，，二元问题转化为单元问题，同理再变形不等式右边，证明出结论 变式3-1．已知函数. (1)若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值. (2)若函数存在两个零点，设 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)． (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，由在上单调递减， 得，恒成立，即恒成立， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以的最小值为. （2）（ⅰ）函数的定义域为，， 令，求导得，函数在上单调递减， 而，则当时，，即；当时，，即， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，，当时，， 由函数存在两个零点，得，解得， 所以实数m的取值范围是. （ⅱ）由（1）知当时，，当时，， 由（ⅰ）知，则，， 由，得， ，整理得， 两式相减得，因此； 记，令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 整理得，而 ，即， 因此，即， 所以. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 变式3-2．已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足. (1)令函数，求证：在上是减函数； (2)若在上单调递减，求实数取值范围； (3)对任意正数，试比较与的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）依题意，得. ，又 在上恒成立，在上是减函数. （2）在上单调递减，恒成立， 又由， 令， ， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以 ，根据均值不等式， 当且仅当时等号成立，此时， ， 又因为，所以. （3），由（1）知在上是减函数： 所以，即， 要想比较与的大小. 考虑，根据可得 令，则， 因为， 则， . 题型四：指对切线放缩 典例4-1．已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论极值点的个数； （3）若是的一个极小值点，且，证明：. 【答案】（1）（2）当时，无极值点；当时，有一个极值点（3）证明见解析 【解析】（1）求导得到，，，得到切线方程. （2）求导得到，讨论和两种情况， 时必存在，使，计算单调区间得到极值点个数. （3），即，代入得到，设，确定函数单调递减得到，令，确定单调性得到答案. 【详解】（1）当时，，，所以，. 从而在处的切线方程为，即. （2），， ①当时，，在上是增函数，不存在极值点； ②当时，令，， 显然函数在是增函数，又因为，， 必存在，使， ，，，为减函数， ，，，为增函数， 所以，是的极小值点， 综上：当时，无极值点，当时，有一个极值点. （3）由（2）得：，即， ， 因为，所以， 令，，在上是减函数， 且，由得，所以. 设，，， ，，所以为增函数， 即，即，所以， 所以，所以， 因为，所以，， 相乘得， 所以， 结论成立. 【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 典例4-2．已知函数，曲线在点（1，f(1)）处的切线的斜率为2 (1)设，若函数在[m，＋∞）上的最小值为0，求m的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），由题得， 所以，所以， 所以， 令，则， 当时．，h(x)在（0，1）上单调递减；当时，h(x)在（1，＋∞）上单调递增， 所以，所以，所以g(x)在（0，＋∞）上单调递增， 又，所以． （2）证明：由（1）知时，恒成立， 令，所以恒成立， 所以，故，当且仅当时等号成立， 所以当时，， 要证，只需证， 由（1）知，即，当且仅当时等号成立， 即证当时，，即证， 令，，则， 令，，则在（0，＋∞）上恒成立， 所以k(x)在（0，＋∞）上单调递增，所以，即， 所以m(x)在（0，＋∞）上单调递增，所以， 即成立， 所以成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用前问结论，放缩证明不等式恒成立的问题，需要构造函数求导分析函数的单调性与最值，结合三角函数的取值范围分析，属于难题 变式4-1．设函数．已知当时，存在，使得． (1)讨论的导函数的零点个数； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上没有零点；当时，的在上有唯一零点. (2)证明见解析. 【详解】（1）因为，所以，，又因为， 当时，，此时没有零点； 当时，存在，使得，且令， ，得到在上单调递增， 即在上单调递增，又因为存在，使得， 又，根据零点存在定理以及的单调性， 可知导函数的在上有唯一零点. （2）由已知得，， 因为，所以，， 当时，，单调递减 ，当时，，单调递增； ，得，所以，； 则， 设，得， 令，此时，时，， 时，，，， 所以，， 所以，当时，，题目得证. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的放缩，通过放缩，对不等式进行化简，进而把问题转化为证明成立，最后通过讨论证明不等式，属于难题. 变式4-2．已知，（n为正整数，）． (1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点； (2)当时，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）当时， 记，则 所以在区间上单调递增 而， 所以存在，使得，即 当时，，单调递减 当时，，单调递增 又，， 所以在上没有零点，在上有一个零点， 综上所述，函数在内只有一个零点. （2）当时，， 要证， 即证， 令，则， 所以在单调递减，，即， 要证只需证， 令，则， ∴在单调递减，在单调递增， ∴，即， ∴，即， 所以成立， ∴原命题得证. 【点睛】本题考查利用导数证明函数的零点个数，以及利用导数证明不等式恒成立，解决第二问的关键是利用进行放缩，以及利用同构构造函数进行证明，属综合困难题. 题型五：三角函数型不等式的证明 典例5-1．（1）证明：当时，. （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【详解】（1）令，，则， 令，， 则， 所以即在上单调递减，且， 所以存在使得， 当时，；当时，； 故在单调递增，在单调递减， 又， 所以在上恒成立， 故当时，. （2）令， 因为，所以，解得， 当时，，因为，，所以， 令，，则 即在上单调递减，故， 所以当时，成立； 当时，，因为，，所以， 令，，则， 由（1）知，当时，，即； 当时，因为，所以， 即在单调递增，又，所以当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故当时，成立； 综上所述，的取值范围为. 典例5-2．已知函数，为的导数 (1)讨论的单调性； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，且， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意； 当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. （3）要证， 只要证， 只要证，， 因为，则， 所以只要证对任意，有， 只要证对任意，有（※）， 因为由（2）知：当时，若，则， 所以，即①， 令函数，则， 所以当时，所以在单调递增； 则，即， 由①②得， 所以（※）成立， 所以成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 变式5-1．已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，求在上的值域； (2)当时，讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， ∵，∴， ∴在上单调递减， 又，， 所以在上的值域为. （2），令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴， 当时，， ∴，则在上有且仅有1个零点． 当时，令，， ∴在上单调递增， ∴，即，又， ∴在上有1个零点，又， 令，则， ∴在上单调递减， ∴， ∴， ∴在上有一个零点． 综上所述，时，有一个零点， 时，有2个零点. （3）当时，， 设， 当时，， 又由（2）知，∴， 当时，， 设，则， ∴在单调递增，∴， ∴，即在单调递增，， 综上，，即当时，，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 变式5-2．设函数. (1)当时，讨论的单调区间； (2)已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)减区间，增区间 (2)（i），（ii）证明见详解 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间为， 单调减区间为. （2）（i），由，解得， ， 记，，， 记，则，， 因为恒成立，故， 则，解得， 所以的取值范围是. （ii）当时，等号成立； 下面证明当时，， 当时，有，故，此时，符合题意； 现考虑当时，成立，等价于证明， 不妨先证明，设，则， 故在上单调递增，于是，故， 于是，而， 故， 故当时，成立； 于是当时，成立； 取，当时，， 设， 且， 故是奇函数， 所以是偶函数，于是当时，成立， 综上，，即成立. 题型六：数列型不等式的证明 典例6-1．已知函数，正实数数列满足，，数列的前n项和为． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数，数列中，，由，得， 则，要证，即证，即证， 只证，令函数，求导得， 函数在上单调递增，，因此，； 要证，即证，只证， 令，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，即，函数在上单调递增，，即， 所以成立. （2）由（1）知，，则，而， 则当时，， ，而， 所以. 典例6-2．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)求证：对任意的且，都有：，（其中为自然对数的底数） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：由函数，可得，则， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）解：由函数，要证明不等式， 即证，即证， 设，则，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得最大值，且，即， 即，所以不等式成立. （3）解：由（2）知，令，则， 因为， 所以， 即， 又因为在上为单调递增函数，所以 变式6-1．已知数列满足：，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）用数学归纳法证明． 当时，； 假设当时，． 当时，． 所以，所以， 所以． 由得， 即， 所以，所以（）． 又，所以． （2）设，， 则，， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增， 所以，解得， 所以 ． 变式6-2．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 而，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，当从大于0的方向趋近于0或趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）取，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 题型七：凹凸反转 典例7-1．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以，又，所以函数在处的切线方程为. （2）因为，则， 令，则，所以在区间上单调递减， 又，，所以，使得，即， 当时，，当时，， 得到在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，又，得到， 又，当且仅当时取等号，又，则， 所以，得证. （3）因为，由，得到， 又，得到，即， 所以要证，即证，即证， 令，则在区间上恒成立，所以， 即证在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，所以，即，命题得证. 【点睛】关键点点晴，对于第（2）问，利用导数与函数单调性间的关系，结合零点存在性原理，求出函数的“隐零点”，进而得到，再结合，利用基本不等式，即可求解；对于第（3）问，利用同构思想，将问题转化成求证，通过换元，转化成在上恒成立，构造函数，利用导数，求出函数最小值，即可求解. 典例7-2．已知，. (1)求函数的单调区间； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，都有成立. 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【详解】（1） 解：因为，所以， 当，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 解：原不等式等价于，即对一切恒成立， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以实数a的取值范围为； （3） 证明：原问题等价于证明， 由（1）可知，的最小值是，当且仅当时取到， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，当且仅当时取到， 所以对一切，都有成立． 变式7-1．已知函数． （1）讨论的单调性． （2）当时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见详解. 【详解】（1） 的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增. 当时，若，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，要证 ，即证，即证. 令函数，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 令函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，所以， 即，从而 得证. 变式7-2．已知函数，m，． (1)当时，求的最小值； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，证明：，． 【答案】(1)0 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 由，可得或，由，可得， 即在和上单调递增；在上单调递减， 时，，时，， 故时，取得极小值也即最小值，为. （2）当时，，函数的定义域为，， 当时，恒成立，故在上为增函数； 当时，由，可得， 故当或时，； 即在和上单调递增； 当时，， 即在上单调递减. 综上，当时，在上为增函数； 当时，在和上单调递增, 在上单调递减. （3）当时，, 要证，，只需证， 即证在上恒成立. 设，依题意，只需证在时，. 因，，由，可得，由，可得， 故在上单调递减，在上单调递增, 则在时取得极小值也是最小值，为； 因，，由，可得， 由，可得，由，可得， 故在上单调递增，在上单调递减， 则在时取得极大值也是最大值，为. 因，即在上成立，故得证. 即，． 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题. 证明不等式型如的恒成立问题，一般方法有： （1）构造函数法：即直接构造，证明； （2）比较最值法：即证明即可； （3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较. 题型八：拐点偏移问题 典例8-1．已知函数 (1)求函数在处切线方程； (2)若有两解，，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，则，又， 所以处切线方程为：，即. （2）因为，所以当时，，即单调递增， ，，即单调递减. 又，，时，， 先证， 由可知：，要证， 也就是要证：， 令，， 则， 所以在区间内单调递增，，则，即，即； 再证， 由（1?）可知曲线在点处的切线方程为， 令， 则，时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值为0， 故当时，，即，， 则，即， 又，， ∴. 综上，成立，得证. 典例8-2．已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 【答案】(1)的极小值是，无极大值； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的极小值是，无极大值； （2）的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个相异正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，解题关键是利用极值点的定义确定极值点是一个方程的解，从而利用韦达定理把极值点与参数联系起来，然后把进行消元，变为的函数. 变式8-1．已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解. 变式8-2．若是函数的两个零点，且，求证：且． 【答案】证明见解析 【详解】方法一：比值代换 因为，由题意结合可知，，， 所以． 令，则，，代入上式得， ．对于，其等价于，即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即得证． 对于，其等价于，即，即． 令，则，构造函数，则， 在上单调递减，所以，即得证． 方法二：差值代换 由可得． 设函数，则， 当，，则函数在上单调递减， 当，，则函数在上单调递增， 所以，则有，，则，且，． 对于，即，即，即， 令，则，则只需证． 令，则，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，则，即成立． 对于，其等价于，即，即． 左边分子、分母同时除以，得，令，则， 则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以在上单调递减，所以，即成立． 巩固过关 1．已知函数，若有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数定义域为，由，得， 今，求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当时，恒成立， 由函数有两个不同的零点，得直线与函数的图象有两个不同的交点，则， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，不妨设，且， 两式相减得，两式相加得， 欲证，只证，即证，即证， 设，不等式等价于， 设，求导得， 函数在上单调递增，则，即不等式成立， 所以. 2．已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 当时；当时， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 方程解的个数，转化为与交点的个数， 由于在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，解得.且时，；时，，    所以，当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. （2）要证， 不妨设，即证， 两边同时除以并化简，即证， 令，则，设， ，令，则在上恒成立， 得在上单调递增， 故，故在上单调递增. 所以，从而命题得证. 3．设函数． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，； 【答案】(1)单调增区间为；单调减区间为； (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 导函数为， 由，可得；由，可得． 即有的单调增区间为；单调减区间为； （2）当时，要证明，只需证明． 由（1）可得在递减， 可得当时，，即有； 设， 当时，，可得在单调递增，即有， 即有，则原不等式成立； 即当时，． 4．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 令函数，求导得， 而，函数在上都单调递增，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即，， 当时，，即；当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以. 5．已知函数． (1)求的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，在上是增函数，故在上无极值点． 当时，令，则． 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以当时，取得极大值． 综上可知，当时，无极值点； 当时，有唯一极大值点． （2）由（1）可知，当时，，不恒成立，故只需考虑． 由（1）知，， 若恒成立，只需即可， 化简得，所以的取值范围是． （3）设， 当单调递增； 当单调递减； 所以，所以 因为，所以， 则有， 从而， 所以． 6．已知． (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）的定义域为，且， 因为曲线在点处的切线与直线垂直. 所以，解得． （2）由题意可得，， 因为函数有两个极值点，， 即在上有两个不等实根，， 则，， 由题意得，解得. 则 令，其中， ， ，，故在上单调递减； 所以，即， 故得证． 7．已知函数． (1)判断的单调性，并说明理由； (2)证明：．（证明时可使用下列结论：当时，成立）． 【答案】(1)在内单调递增，理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），令， 则，即 ， 所以在上单调递增， 即当时，，所以在内单调递增． （2）由（1）得，当时，， 所以当时，． 又当时，成立， 所以当时，， 即． 所以当时，． 8．已知函数. (1)若，求实数k的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）若，则由题对恒成立， 因为， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 所以实数的取值范围为：. （2）证明：由（1）可得对恒成立，且当且仅当时， 所以，即， 所以 . 创新提升 1．设，函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)求证：当，时． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，而, ， 令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故 （2）时，， 关于的方程化为， 令，,， ， 令，解得或1， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减， 关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，则在,上恰有两个不相等的实数根 则，即，解得：， 实数的取值范围是， （3）设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 令．则， 依次取，3，，． 累加求和可得， 当时，， ， ， 故， 即 2．已知函数. (1)若函数在处的切线方程为，求实数； (2)若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析 【详解】（1）因为在处的切线斜率为0， 所以，即；此时切点坐标为，所以. （2）①因为， 当时，在单调递增，只有一解，显然不符合题意； 当时，设，则. 由；由. 所以即在上单调递增，在上单调递减. 因为函数存在两个极值点. 所以需有两解，所以为必要条件，即为必要条件， 当时，时，时，， 分别在及各有一零点，综上：. ②因为或 而， 所以，而， 所以， 令，所以，所以在上单调递减， 所以，所以. 3．已知函数． (1)证明：． (2)若只有一个零点，求的取值范围． (3)设是的两个零点，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证明：． 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以， 所以，故． （2）由，得． 设，则， 当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为在处取得极小值，且极小值为， 当时，，当时，． 若只有一个零点，则的取值范围是． （3）证明：因为是的两个零点，所以， 则，则， 因为，所以， 所以． 设， 则，当时，，当时，， 所以， 所以， 即． 4．已知函数在区间上有定义，记为的导函数，为的导函数.若，则称为上的“”函数.已知是上的“”函数. (1)求的取值范围； (2)已知直线为曲线在原点处的切线，求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由已知， 则，， 又，则， 由已知是上的“”函数， 则， 即， 解得； （2）由已知，， 则， 又直线为曲线在原点处的切线， 则， 设，即， 所以，， 由（1）得， 则恒成立， 所以在上单调递减，且， 即当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即的最大值为； （3）设，， 则， ， ，恒成立，恒成立， 设，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 即， 所以， 即在上单调递增， 所以， 即函数在上单调递增， 所以， 即成立. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $