湖南省永州市宁远县第三中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期宁远三中高三开学考试 数学 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 2．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 4．双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 8．已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ） 机构名称 甲 乙 分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5 D. 事件互为对立事件 10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 11．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ） A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体 D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________. 13.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________． 14.已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________． 四，解答题：本题共5个小题，共77分。 15，如图，在中，AD平分，且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 16，如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 17，已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线的标准方程； （2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 18，高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列. 19，已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； 答案 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】由题意得众数为，极差，均值，中位数，故D正确. 故选：D. 2．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为， 又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为. 故选：B 3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，， 所以该渐近线的方程为，所以， 解得或（舍去），所以， 此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为. 故选：A 4．双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由焦距为4可得，即， 所以，可得，即； 则的渐近线方程为. 故选：B 5．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】C 【解析】由于， 故，，……，，， A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，A错误； B选项，原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，B错误； C选项，原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，C正确； D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即， ，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即， 由于，第25百分位数变大，D错误. 故选：C 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为. 直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为， 由解得，或 所以，或，. 不妨设，，又， 所以，. 在△AMN中，， 由余弦定理得， 即， 则，所以，则， 所以. 故选:C. 7．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”， 事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”， 事件为“此人患了流感”． 由题可知，，，， ， 由条件概率公式可得， ，， 由题意可得，即，解得， 故选：D. 8．已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】如图所示，取的中点，连接，可得， 由，可得，所以，则， 可得， 则， 在与中, 由余弦定理可得：， 因为，所以， 即，解得，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ） 机构名称 甲 乙 分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5 D. 事件互为对立事件 【答案】BD 【解析】对于选项A，甲机构测评分数的平均分， 乙机构测评分数的平均分，所以选项A错误， 对于选项B，甲机构测评分数的方差， ，所以选项B正确， 对于选项C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95， 又，所以乙机构测评分数的第一四分位数为92，所以选项C错误， 对于选项D，因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事件互为对立事件，所以选项D正确， 故选：BD. 10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 【答案】BC 【解析】对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件与会同时发生，不互斥，A错误； 对于B，由题意知共有事件个数，事件与的个数均为个， 故，, 则，，即，B正确， 对于C，，C正确； 对于D，，D错误， 故选：BC 11．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ） A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体 D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为 【答案】ABD 【解析】连接与线段上任意一点，过作交于， 所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对； 由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形， 若为各线段上的中点时，四边形为菱形， 此时截面最小面积为； 根据正方体对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大， 当与重合时，截面最大面积为； 综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对； 令交于，交于，交于， 显然是各交线的中点，若是中点，连接， 所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错； 其体积，D对. 故选：ABD 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________. 【答案】 【解析】函数的图象在处的切线的切点为， 因为，所以切线斜率为，切线方程为，即， 设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为， 切线方程为，即， 由题，解得，，斜率为. 故答案为：. 13.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】在三棱锥中，平面， 由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为， 则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为， 则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，令线段的中垂面交于， 则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形， 而，因此， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 14.已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________． 【答案】 【解析】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为， 设点，则， 点到的两条浙近线的距离之积为， 解得：，故双曲线方程为：， 故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为． 故答案为：． 四，解答题：本题共5个小题，共77分。 15，如图，在中，AD平分，且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】（1）在中，，在中，. 因为AD平分，且，所以. （2）由正弦定理及（1）可知. 因为，，所以， . 因为 ， 所以. 16，如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】（1）因为，，所以. 因为为正方形，所以， 又因为，所以. 因为，所以. 因为，故，而为线段的中点， 所以， 又因为，所以. 而，故； （2）因为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，，，， ∴，， 设为平面的法向量，则 所以取，则，而， 故直线与平面所成角的正弦值为 17，已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线的标准方程； （2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设，两点的坐标分别为，， 则，，两式相减得. 即， 又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴. 即抛物线的标准方程为. （2）设直线：与抛物线：交于点，， 则， ，∴， ∴，， 由得，即，， 直线为，∴过定点. 18，高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件， 若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左， ∴理论上，小球落入4号容器的概率. （2）落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 19，已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析； 【解析】（Ⅰ），∵曲线在处的切线与直线平行， ∴，即，故； （Ⅱ）函数的定义域为. 当时，恒成立，故在上单调递增； ② 当时，，令，得. ∵，∴方程有两不等实根. ∵，，∴. 令，得或；令，得. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 另法（常规方法）：讨论的符号. 当，即时，恒成立，则，在上递增； ② 当，即或时，方程有两不等实根. （i）当时，由知，则恒成立，故在上递增； （ii）当时，由知， 令，得或；令，得. 故在、上递增，在上递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $