1.2.3&1.2.4 &1.2.5相反数、绝对值、有理数的比较大小【八大考点+八大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

1.2.3&1.2.4 &1.2.5相反数、绝对值、有理数的比较大小 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一.相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 知识点二.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 知识点三.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 知识点四.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 知识点五.相反数的表示方法 ⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 知识点六.绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。 ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 知识点七.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 知识点八.绝对值的化简 当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a 【题型归纳】 题型一：相反数的定义 【例1】．（25-26七年级上·全国）5月2日的世界泳联跳水世界杯总决赛上，中国跳水女将全红婵与陈芋汐凭借出色的表现获得女子双人10米跳台的冠军．10的相反数是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】10的相反数是， 故选：B 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可解答． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在数轴上表示互为相反数的两个点是（   ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据数轴即可得到点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，再根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴点和点表示的数互为相反数． 故选：B 题型二：化简多重符号 【例2】．（25-26七年级上·全国）化简下列各数： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 9 【分析】本题考查了去括号，括号前是正号，去掉括号后，括号内的数不变，括号前是负号，去掉括号后，括号内的数要变号. 观察括号前是正号还是负号来进行化简. 【详解】解：（1）括号前一个号，括号里的数+3.15要变号，即， 故答案为：. （2）括号前一个号，括号里的数要变号，即， 故答案为：. （3）先去小括号，小括号前是“+”号，括号里的数不变号，即，再去中括号，括号前是，括号里的数要变号，即， 故答案为：9. （4）先去小括号，小括号前是号，括号里的数要变号，即，再去中括号，括号前是，括号里的数12要变号，即， 故答案为：. 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国）（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是关键，只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 题型三：相反数的应用 【例3】．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是相反数和有理数的加法，解题关键是熟记相反数的性质． 依据相反数的定义可得到，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． ∴． 故选A． 【跟踪训练2】．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字互为相反数，则的值为（     ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据题意可得先找出x和y的相对面，根据相对表面上所标的数字互为相反数即可得到x和y的值， 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 故选：C． 题型四：绝对值的概念和求法 【例4】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．绝对值相等的两个数一定相等 C．负数的绝对值是它的相反数 D．有理数的绝对值一定大于0 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和绝对值的相关概念． 根据绝对值的相关概念逐一判断即可． 【详解】A．一个数的绝对值一定是0或正数，原说法错误； B．绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原说法错误； C．负数的绝对值是它的相反数，原说法正确； D．有理数的绝对值一定不小于0，原说法错误； 故选：C 【跟踪训练1】．（2025七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国）写出下列各数的绝对值：，，，． 【答案】，，，， 【详解】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质计算即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【解答】解：，，，，． 题型五：绝对值的几何意义 【例5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴表示的意义是表示6的点与原点之间的距离，式子在数轴上的意义是表示6的点与表示2的点之间的距离．类似的，式子在数轴上的意义是 ． 【答案】数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 【分析】本题考查了绝对值的含义和应用．根据绝对值的概念结合题目所给的例子可以直接写出答案． 【详解】解：根据题意可得数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 故答案为：数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·北京·开学考试）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质，根据题意得出x和y的值，然后得出结论即可． 【详解】由题可知，， ， ， 或， 或． 故答案为：或． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·山东济南·期末）可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．则： 与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为 【答案】 【分析】本题考查绝对值几何意义的应用，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为． 故答案为：． 题型六：化简绝对值 【例题6】．．（25-26七年级上·全国·周测）有理数在数轴上的位置如图所示．请化简下列式子： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】根据有理数在数轴的位置，判断出正负性，再依据绝对值的性质对式子进行化简. 【详解】解：（1）由数轴可知，a在原点的左侧，所以, b在原点的右侧，所以 所以 （2）由数轴可知，b，c在数轴的右侧， 所以 所以 所以 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了数轴的应用和绝对值的化简，重点掌握绝对值的性质, 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 【跟踪训练2】（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 题型七：有理数的比较大小 【例7】．（25-26七年级上·全国）比较大小： （1） 0；         （2） ；         （3） ； （4） ；         （5） ；         （6） ． 【答案】 【分析】本题主要查了有理数的大小比较，绝对值的性质． （1）根据有理数的大小比较法则解答，即可； （2）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （4）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （5）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （6）先将两个数进行化简，再根据有理数的大小比较法则解答，即可． 【详解】解：（1）根据正数大于0，0大于负数，则 ． 故答案为：． （2）∵，且， ∴； 故答案为：．        （3），且， ∴； 故答案为：． （4）∵，且， ∴； 故答案为：． （5）∵，且， ∴； 故答案为：． （6）∵，且， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·北京）比较有理数的大小： ① ；② ； ③ ；④0 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小，也考查了绝对值的性质．有多重符号和绝对值的先化简，再根据有理数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：①，， ∴； ②∵， ∴； ③，， ∴，即； ④∵， ∴． 故答案为：①；②；③；④． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）比较大小： ； ； ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 > > < 【分析】本题主要考查有理数比较大小. 比较大小需要先化简各表达式，再比较数值大小；分三步处理每组数值，分别处理符号、绝对值，最后比较结果. 【详解】解：①∵左边，右边，且 ②∵左边，右边且 ③∵左边右边且 故答案为： 题型八：绝对值、有理数的综合问题 【例8】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 【答案】(1)，或； (2)，，． 【分析】本题主要考查了有理数数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，难点是分类讨论． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （2）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作表示的点到1和的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，； 有最小值，最小值为：； 可以看作表示的点到的距离与到2的距离以及到4的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知有理数，0，，，，． (1)在数轴上表示：，，，； (2)比较大小：______；（填“”“”或“”号） (3)整数集合：｛______…｝． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，有理数的分类，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接在数轴找出各数即可； （2）根据负数大小比较方法求解； （3）按照整数包括正整数和0和负整数即可求解． 【详解】（1）解：数轴表示为： （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：在有理数，0，，，，中，整数有，0，， 故答案为：，，． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 【答案】(1)，B (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、比较有理数的大小等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接观察数轴即可解答； （2）在数轴上用点分别表示有理数和6即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由数轴可知，A点表示的有理数是，表示有理数的点是B． 故答案为：，B． （2）解：用数轴上的点分别表示有理数和6如下： （3）解：根据（2）的数轴可知：将，6，，0，用“”连接的结果是：． 故答案为：． 【跟踪训练3】．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．正整数和负整数统称整数 B．－4和互为相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D．任何有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的相关概念，解题的关键是熟练掌握并熟记有理数的相关概念．根据有理数的相关概念，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、正整数和负整数，零统称整数，故A不正确，符合题意； B、－4和互为相反数，故B正确，不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，故C正确，不符合题意； D、任何有理数都可以用数轴上的点表示，故D正确，不符合题意； 故选：A． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用相反数的定义化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义分别对各选项进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q．若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的一个是（   ） A．p B．q C．m D．n 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，相反数，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．根据可以得到、的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 【详解】解：， 和互为相反数， 原点在线段的中点处， 离原点最远的点是， 绝对值最大的数是， 故选：A． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，即，也就是，所以，因此选项A不符合题意； B．若，则，即，所以，因此选项B不符合题意； C．若，则，即，所以，因此选项C符合题意； D．若，则，即，所以，，因此选项D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∵ ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·四川乐山）下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】A 【分析】依次分析每个说法，根据相反数、绝对值的性质判断其正确性．本题主要考查相反数和绝对值的性质，熟练掌握“互为相反数的两数绝对值相等、正数和的绝对值等于本身、负数的绝对值等于其相反数”是解题的关键． 【详解】解：（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，而绝对值是数在数轴上所对应点到原点的距离 互为相反数的两数的绝对值相等，（1）说法正确． （2）正数的绝对值是它本身，的绝对值是（也等于本身 ），负数的绝对值是它的相反数（不等于本身 ） 一个数的绝对值等于本身，这个数是正数或，即不是负数，（2）说法正确． （3）当时，；当时，（因为是负数，是正数，正数大于负数 ） 若，则，（3）说法正确． （4）当，时， ，但，， （4）说法错误． 故选：A ． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 二、填空题 8．（2025七年级上·全国·专题练习）若的相反数为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数为9， ， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上A，B两点表示的数互为相反数，且点A与点B之间的距离为6个单位长度，则点A表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数，数轴，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件数轴上、两点在原点的两侧，且到原点的距离相等，且点与点之间的距离为6个单位长度可得点到原点的距离为3个单位长度，则可得所求． 【详解】解：数轴上、两点表示的数互为相反数， 数轴上、两点在原点的两侧，且到原点的距离相等． 又点与点之间的距离为6个单位长度， 点到原点的距离为3个单位长度， ∵点在原点左侧时， ∴它所表示的数是． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国）化简下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 3 【分析】本题考查了绝对值的化简．直接利用绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的位置如图所示．则a b， ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，关键是能根据数轴得出． 根据数轴即可求解． 【详解】解：从数轴可知：， ∴， 故答案为：，． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是 ． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小关系，根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （1）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （2）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小，即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意，画出数轴如下： 由数轴可知：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵表示数的点在原点的两侧， ∴， 画出数轴如图： ∴； 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，有理数的大小比较； （1）先化简各数，再根据负数小于正数比较大小即可； （2）先化简各数，再根据负数小于正数比较大小即可； （3）先化简各数，再根据两个正数比较大小的方法比较即可； （4）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，， ∴，，而， ∴. 14．（25-26七年级上·全国）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)(2)11(3)(4)5.8(5)(6)20 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，正确掌握相反数的定义和绝对值的意义是解题关键． （1）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （2）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （3）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （4）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （5）原式先去小括号得，再去中括号得，最后化去绝对值符号即可得答案． （6）原式先去小括号得，再去中括号得 ，最后化去绝对值符号即可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的相关知识，包含数轴的应用，绝对值的概念，有理数的大小比较，整数的确定，正确对这些数进行大小比较是解决本题的关键． （1）根据可得；由，且，可得，，据此在数轴上标注即可； （2）利用数轴比较大小即可； （3）由可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴数a，b，，在数轴上的位置如图： （2）解：由（1）中的数轴可知，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴不小于且小于b的整数有． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， (1)若a与d互为相反数，则 ； (2)若，则c 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是 ． 【答案】(1) (2)小于；c与d 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：a与d互为相反数，由题意可得：， ∴a在数轴上表示，d在数轴上表示4， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴c小于0， ∴a、b、c、d中，可能互为相反数的是c与d， 故答案为：小于；c与d． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知为有理数，且它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试判断的正负性． (2)在数轴上标出的相反数的位置． (3)根据数轴化简： ①________；②________； ③________；④________； ⑤________；⑥________． (4)若，求的值． 【答案】(1)是负数，是正数； (2)见解析 (3)①，②b，③c，④，⑤b，⑥c (4)，， 【分析】本题考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值，相反数，正负数，熟练掌握数轴和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据相反数的定义即可在数轴上表示； （3）根据绝对值的性质即可得出结论； （4）根据绝对值的性质再结合正负数即可得出结论． 【详解】（1）解：由数轴可得， ∴是负数，是正数； （2）解：如图即为所求： （3）解：∵， ∴， ∴①；②；③；④；⑤；⑥， 故答案为：①，②b，③c，④，⑤b，⑥c； （4）解：∵，， ∴． 18．（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有最小值，最小值为 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题思想． （1）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （3）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，求与之间的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3&1.2.4 &1.2.5相反数、绝对值、有理数的比较大小 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一.相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 知识点二.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 知识点三.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 知识点四.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 知识点五.相反数的表示方法 ⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 知识点六.绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。 ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 知识点七.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 知识点八.绝对值的化简 当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a 【题型归纳】 题型一：相反数的定义 【例1】．（25-26七年级上·全国）5月2日的世界泳联跳水世界杯总决赛上，中国跳水女将全红婵与陈芋汐凭借出色的表现获得女子双人10米跳台的冠军．10的相反数是（   ） A．10 B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在数轴上表示互为相反数的两个点是（   ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 题型二：化简多重符号 【例2】．（25-26七年级上·全国）化简下列各数： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国）（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 题型三：相反数的应用 【例3】．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字互为相反数，则的值为（     ） A． B． C．5 D．4 题型四：绝对值的概念和求法 【例4】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．绝对值相等的两个数一定相等 C．负数的绝对值是它的相反数 D．有理数的绝对值一定大于0 【跟踪训练1】．（2025七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（　　） A． B．2024 C． D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国）写出下列各数的绝对值：，，，． 题型五：绝对值的几何意义 【例5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴表示的意义是表示6的点与原点之间的距离，式子在数轴上的意义是表示6的点与表示2的点之间的距离．类似的，式子在数轴上的意义是 ． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·北京·开学考试）已知，且，则 ． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·山东济南·期末）可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．则： 与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为 题型六：化简绝对值 【例题6】．．（25-26七年级上·全国·周测）有理数在数轴上的位置如图所示．请化简下列式子： （1） ． （2） ． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【跟踪训练2】（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 题型七：有理数的比较大小 【例7】．（25-26七年级上·全国）比较大小： （1） 0；         （2） ；         （3） ； （4） ；         （5） ；         （6） ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·北京）比较有理数的大小： ① ；② ； ③ ；④0 ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）比较大小： ； ； ．（填“>”“<”或“=”） 题型八：绝对值、有理数的综合问题 【例8】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知有理数，0，，，，． (1)在数轴上表示：，，，； (2)比较大小：______；（填“”“”或“”号） (3)整数集合：｛______…｝． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 【跟踪训练3】．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．正整数和负整数统称整数 B．－4和互为相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D．任何有理数都可以用数轴上的点表示 2．（2025七年级上·全国·专题练习）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q．若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的一个是（   ） A．p B．q C．m D．n 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川乐山）下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 7．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025七年级上·全国·专题练习）若的相反数为9，则的值为 ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上A，B两点表示的数互为相反数，且点A与点B之间的距离为6个单位长度，则点A表示的数为 ． 10．（25-26七年级上·全国）化简下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的位置如图所示．则a b， ． 12．（25-26七年级上·全国）给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是 ． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 14．（25-26七年级上·全国）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 15．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， (1)若a与d互为相反数，则 ； (2)若，则c 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是 ． 17．（25-26七年级上·全国）已知为有理数，且它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试判断的正负性． (2)在数轴上标出的相反数的位置． (3)根据数轴化简： ①________；②________； ③________；④________； ⑤________；⑥________． (4)若，求的值． 18．（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $